La loi des grands nombres

EKawaii · 15-07-2016 11:58:41

Bonjour !

je me pose beaucoup de questions sur la loi des grands nombres et je suis tombé sur votre site via Google ; il y a peu j'ai vu une vidéo où la loi des grands nombres est expliquée sur base de la SOMME de variables aléatoires et non pas sur base de la moyenne. Ca me perturbe : est-ce correct, peut-on faire ça ?

La vidéo https://www.youtube.com/watch?v=HRnYFpdR8WM

A priori je suppose que c'est correct, les quelques autres vidéos de la chaîne sont de grande qualité et j'imagien qu'ils savent ce qu'ils font. Mais j'aurais bien voulu votre avis sur leur dernière vidéo.

Dlzlogic · 15-07-2016 13:30:15

Bonjour EKawali,
Cette vidéo est bien faite. Le débit du présentateur est très rapide, mais je n'ai pas entendu d'anomalie.
Dans l'expression "Théorème des grands nombres", quand on parle de "grands nombre" il s'agit de grand nombre d'expériences (et non pas grande valeur du nombre).
Dans le cas présent, la probabilité calculée pour l'expérience est 0.76 (J'aurais pu dire aussi, l'espérance qui est le produit du gain par la probabilité). Cette valeur est obtenue par somme pondérée. La seule chose qui nous intéresse est la probabilité de succès.
J'ai observé au passage que le présentateur utilise le terme "espérance mathématique" correctement, c'est à dire produit du gain par la probabilité.
S'il fait cette expérience 100 fois, l'espérance est 0.76 x 100 = 76. Ce qu'on obtient aussi en ajoutant des 100 résultats qui seront voisins de 0.76 individuellement mais dont la somme fera 76 (environ) ou la moyenne 0.76 (environ), ce qui revient au même.

Pour résumer, cette vidéo est tout à fait correcte. Faire la somme de 100 (ou 1000) observations, puis diviser par 100 (ou 1000) donne l'espérance, laquelle est très proche de la moyenne arithmétique.

EKawaii · 15-07-2016 13:48:05

entretemps j'ai aussi directement contacté l'auteur qui m'a expliqué que ce qui est important, c'est l'écart relatif entre la somme et la valeur de 76 ou de 760 : l'écart-relatif nous ramène à la moyenne qui se rapproche de 0,76

ce que je me demande c'est pourquoi tout le monde parle de la moyenne et pas de la somme comme ils font : c'est quand même plus clair avec la somme au final :-/

leon1789 · 15-07-2016 14:50:08

Effectivement, la vidéo est un peu speed...

Personnellement, je vois deux imprécisions :

la somme des 1000 observations a toutes les chances d'être plus proche de 760 que ne l'est la somme de 100 observations de 76

A]
c'est incorrect : statistiquement, l'écart (en valeur absolue) entre la somme de 1000 observations et 760 est plus grand
que celui de la somme de 100 observations et 76.
Il est connu que l'écart moyen "somme sur n observations - n * 0.76" est proportionnel à la racine carrée du nombre d'observations.

B]
Ce qui est vrai, c'est que la moyenne empirique "somme des 1000 observations divisée par 1000" est statistiquement plus proche de 0.76
que la moyenne arithmétique "somme des 100 observations divisée par 100" est proche de 0.76.
Il est connu que l'écart moyen "moyenne - 0.76" est proportionnel à l'inverse la racine carrée du nombre d'observations.

EDIT : à ce moment de la vidéo (4min) , la voix parle visiblement du paragraphe A], alors que le petit chat en incrustation en bas à droite indique A] et B]... je n'avais pas vu les quelques secondes où le chat est là... Donc l'auteur de la vidéo sait la chose correctement.

-------------------------
Seconde remarque, plus subtile :
se baser sur un calcul d' espérance pour justifier qu'on joue ou ne joue pas à un jeu n'est pas forcément correct. Dans le cas de la vidéo, ça convient car la situation est "limitée".

Souvent, on dit,
si l'espérance du jeu est positive alors je joue car je vais gagner (sur le long terme) ;
si l'espérance du jeu est négative alors je ne joue pas car je vais perdre (sur le long terme)

Avec ce raisonnement, on peut se mettre à jouer à un jeu d'espérance positive et pourtant finir ruiné avec une probabilité de 1 !
Dois-je continuer en détaillant un exemple d'un tel jeu, ou est-ce hors discussion ?

Dernière modification par leon1789 (15-07-2016 15:35:34)

EKawaii · 15-07-2016 14:57:19

moi je veux bien ton exemple, même si c'est peut-être hors-sujet :)

Dlzlogic · 15-07-2016 15:06:04

EKaxali a écrit :

ce que je me demande c'est pourquoi tout le monde parle de la moyenne et pas de la somme comme ils font : c'est quand même plus clair avec la somme au final :-/

Je pense que la raison est simple, si on a la somme et qu'on ne connait pas le nombre d'observations, alors on n'a aucune information.
J'ajouterai qu'il faut dissocier la loi des grands nombres de la notion de "valeurs numérique", c'est à dire de somme, de moyenne etc. La loi des grands nombres est une loi fondamentale en matière de probabilité, au sens le plus général. Cette vidéo en est une application avec des valeurs numériques.

yoshi · 15-07-2016 15:13:02

Re,

@leon

Dois-je continuer en détaillant un exemple d'un tel jeu, ou est-ce hors discussion ?

Vas-y !
Çà ne me paraît pas du tout hors-sujet; bien au contraire...

@+

freddy · 15-07-2016 20:09:04

Salut,

une réponse est à lire là, mais leon a peut-être un autre exemple en tête.

Par contre, oui, bien sûr, on peut parler de somme.
Exemple : une expérience de Bernoulli de paramètre p, répétée n=10.000 fois est égale à une loi binomiale de paramètre [tex](np,\;np(1-p))[/tex] qu'on peut correctement approximer par une loi normale de paramètre [tex](\mu=np,\;\sigma^2=np(1-p))[/tex], sans omettre la correction de continuité.

Un petit point d'attention : quand Dzl dit que l'expérance mathématique d'une v.a n'existe pas, et soutient qu'on ne peut calculer que celle d'un gain, il faut ignorer ce genre de remarque uniquement frappée au coin d'une ignorance qui s'ignore. Désolé, faut que le dise, voire le répète.

Yassine · 15-07-2016 20:40:01

La "paradoxe" de St-Petersbourg est plutôt lié au problème d'espérance infinie.
Il me semble que l'exemple doit montrer une espérance de gain positive et un ruine certaine. Chose que je formaliserai comme
un processus stochastique $(X_n)$ représentant la fortune du joueur ($X_0$ déterministe et positif) avec $\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0$ et $P\left[\inf \{n\ |\ X_n \leq 0 \} < +\infty \right]=1$.

Dlzlogic · 15-07-2016 20:59:29

Freddy a écrit :

Un petit point d'attention : quand Dzl dit que l'expérance mathématique d'une v.a n'existe pas, et soutient qu'on ne peut calculer que celle d'un gain, il faut ignorer ce genre de remarque uniquement frappée au coin d'une ignorance qui s'ignore. Désolé, faut que le dise, voire le répète.

'Cest pas bien ce que tu fais. J'ai dit que la définition de l'espérance mathématique était le produit de la probabilité par le gain. Ce que dit exactement l'auteur de la vidéo dont il est question.
J'ai longtemps cherché une définition de l'espérance mathématique. Je me souviens de celle de Wiki "ce qu'on s'imagine que peut être résultat" (de mémoire). Je n'en ai pas trouvé d'autre (en tout cas de mémoire).
Je suis sûr que cela ferait avancer les choses si tu donnais une définition de l'espérance mathématique.

freddy · 15-07-2016 21:28:11

Re,

Soit X une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans [tex]\mathbb{N}[/tex], avec [tex]\Pr(X=i)=p_i \ge 0[/tex] et [tex]\sum_i p_i=1[/tex].
Alors [tex]E(X)=\sum_k k\times p_k[/tex] désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire X (si la série est convergente).

yoshi · 15-07-2016 21:43:12

B'soir

@Yassine
En dehors du fait que je ne peux plus utiliser le symbole monétaire US 2 fois dans un post, il y a aussi une différence avec la balise tex :
\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0
Encadré du symbole monétaire US :
$\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0$

Encadré des balises tex :
[tex]\lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0[/tex]

Tu vois ?

@freddy Concernant la question qui termine la video, voici ce que j'ai fait en Python strictement (en utilisant le module fraction et je n'ai codé en "dur'" que le -7 et une fois) :

Sommes   Gain        Poids
   2       2          1/36
   3      -7          1/18
   4       4          1/12
   5      -7          1/9
   6       6          5/36
   7      -7          1/6
   8       8          5/36
   9      -7          1/9
  10      10          1/12
  11      -7          1/18
  12      12          1/36

Espérance du jeu des deux dés : 0

Donc, ceux dans les commentaires en réactuion à la video qui annoncent 0 ont raison, si j'ai compris ce qu'on y appelle "poids".

@+

Dernière modification par yoshi (15-07-2016 21:52:30)

Yassine · 15-07-2016 22:13:00

@yoshi
En ajoutant la balise \displaystyle, on arrive au même résultat avec la monnaie de l'oncle Sam : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(X_n) > X_0$
C'est le look and feel $\LaTeX$ qui veut ça (pour ne pas générer des interlignes trop grandes)

Dlzlogic · 15-07-2016 23:03:07

Je ne suis pas très doué dans ce genre de graphisme, alors j'essaye de traduire, et tu me diras si c'est ce que tu as voulu écrire.

Freddy a écrit :

Soit X une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans N , avec Pr(X=i)=pi≥0 et ∑ipi=1 .
Alors E(X)=∑kk×pk désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire X (si la série est convergente).

Soit une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans N. Donc X peut avoir n'importe quelle valeur d'entier naturel, donc positif et illimité.
Par exemple X peut prendre les valeurs 2, 35, 75, 2587, 2865, 5642378. Et aussi toutes les autres valeurs que j'ai pas écrites.
Ou alors X appartient à l'ensemble [0 ; oo[.
Soit pi la probabilité que X = i.
On suppose que X est une variable aléatoire et i un nombre. cette probabilité étant supérieure ou égale à zéro.
On pose aussi que la somme des pi, c'est à dire la somme des probabilités pour tout i est égale à 1.
En d'autre termes, chaque valeur de i pour X (ou réciproquement) est telle que la somme des probabilités est 1. Il me parait sous-entendu que toutes les pi sont égales. La probabilité est la même que X = 35 ou X=2865.
L'espérance est la somme des produits de k * pi.
Comment est défini k ?
Il faut peut-être sous-entendre "pour tout k", mais une somme est constituée d'un certain nombre de termes, nombre connu et fixé.
Désolé, mais je ne comprends pas.

Naturellement, j'ai bien compris ce qu'on voulait dire par "espérance" : c'est la moyenne arithmétique (éventuellement pondérée), avec un "biais".
La définition de "biais" reste à préciser.

Peut-être que si tu donnais un exemple, je comprendrais mieux.

Bonne soirée.

freddy · 15-07-2016 23:21:38

Re,

@yoshi : je te fais confiance sur les calculs (oui, les poids = proba) et donc le jeu est dit équitable. A la roulette avec zéro simple, le jeu est inéquitable puisque 0 fait gagner la banque et perdre tous les joueurs.

@dzl : je suis désolé, tu viens de prouver à toute la communauté que tes connaissances en probabilité sont proches de celles du débutant ... Il n'y a aucun raison que les [tex] p_i[/tex] soient tous identiques, il n'y a aucun raison que X prennent toutes ses valeurs dans [tex]\mathbb{N}[/tex]. J'ai donné une définition générique, c'est tout.
D'ailleurs, si X prend ses valeurs dans [tex]\mathbb{N}[/tex], ce qui est concevable, que dire de ton hypothèse : chaque [tex] p_i[/tex] a la même valeur (=équiprobabilité) ???
Non, tu n'as pas compris ce qu'est une espérance mathématique. Quant à une moyenne (arithmétique), elle est toujours pondérée, pas éventuellement.
A la radio, en même temps que j'écris, j'écoute une chanson de Brassens "Quand on est c..., on est c...". Tu vois, tout vient à point à qui sait attendre.

EKawaii · 15-07-2016 23:21:55

je m'y perds un peu dans tout ce que vous racontez :( la vidéo est juste alors?

freddy · 15-07-2016 23:22:53

EKawaii a écrit :

je m'y perds un peu dans tout ce que vous racontez :( la vidéo est juste alors?

OUI

EKawaii · 15-07-2016 23:26:37

une réponse claire merci :)

leon1789 · 16-07-2016 09:34:03

Bonjour

Oui, la vidéo est correcte, si on voit bien le petit chat en bas à droite à 4 minutes (si on entend uniquement la voix, il y a contre-sens, comme j'ai expliqué ci-dessus).

leon1789 a écrit :

on peut se mettre à jouer à un jeu d'espérance positive et pourtant finir ruiné avec une probabilité de 1 !

J'ai cherché pour retrouver le jeu... impossible de mettre la main dessus. Ca m'énerve ! Comme on peut s'y attendre, il était question de nombre non limité de tirages pile/face, avec des événements de plus en plus rares.
Ce n'était pas le paradoxe de Saint-P.
En réfléchissant, je me demande même si j'avais bien compris la conclusion de ce jeu. Pourtant, c'était assez clair...
Bref, oubliez ma remarque.

Un premier exemple naïf, c'est celui du défi de lancer consécutivement 100 fois une pièce sur sa face (probabilité 1/2^100)
et de gagner 2^101 euros. Si on paie 1 euro le droit de jouer, alors l'espérance est de $2^{101} \times \frac{1}{2^{100}} - 1 = 1 > 0$. Bien que l'espérance soit positive, je ne me lancerai pas dans ce jeu car il est fort probable (de probabilité $1- \frac{1}{2^{100}}$) que je perde simplement 1 euro. Mais la probabilité $1- \frac{1}{2^{100}}$ n'est pas exactement 1, donc il existe toujours une chance de gagner le gros lot. (et donc cela ne convient pas pour mon fameux exemple)

Au passage, je confirme aussi les calculs de Yoshi pour l'exo de la fin de la vidéo.

freddy · 16-07-2016 10:43:11

Re,

je suis aussi très intéressé. En attendant, on peut lire ceci, c'est assez bien fait.

yoshi · 16-07-2016 11:08:45

Re,

@Yassine
OK pour \displaystyle...
Donc, si je n'utilise pas ma souris pour sélectionner ma formule, puis aller cliquer sur l'icône tex dans la barre d'outils des messages, je dois taper 2 dollars +\displaystyle soit 15 caractères en tout...
Si je tape les balises tex à la main, j'a

Yassine · 16-07-2016 11:22:35

@Yoshi,
La thématique étant toujours aux probabilités, la probabilité que j'aie à taper \displaystyle est quand même très faible (voire nulle me concernant, car je garde la présentation par défaut de Latex). De plus, il me semble que Fred avait répondu qu'il était possible qu'il fasse quelque chose.
Par ailleurs, je rédige régulièrement des papiers en LateX, et j'ai pris l'habitude de taper au kilomètre en utilisant le dollar. Devoir s'arrêter, sélectionner un texte et cliquer sur une icone, c'est une perte de productivité certaine.
Imagine sous Python, si à chaque fois que tu veux taper un mot clé du langage, tu devais sélectionner une zone de texte et cliquer sur un menu !

yoshi · 16-07-2016 11:24:51

Re,

@freddy
texte passionnant et édifiant.

@Yassine
OK pour \displaystyle...
Donc, si je n'utilise pas ma souris pour sélectionner ma formule, puis aller cliquer sur l'icône tex dans la barre d'outils des messages, je dois taper 2 dollars +\displaystyle soit 15 caractères en tout...
Si je tape les balises tex à la main, j'ai 10 caractères... mais en contrepartie 5 utilisations de la touche ALT GR : égalité.
Sans compter qu'un intervenant dans la rubrique cryptographie en a fait l'expérience... Son message codé comportait des dollars : à l'affichage, pfuiittt disparus les dollars...
J'invente un texte :
J'ai crée une martingale qui m'a fait gagner 1000 $ en perdant 2500 $
Le même texte avec le symbole euro et plus dollar :
J'ai crée une martingale qui m'a fait gagner 1000 € en perdant 2500 €

@+

Dlzlogic · 16-07-2016 13:07:50

Bonjour Freddy,
Toujours aussi sûr de toi, et les lecteurs ajouteront probablement d'autres qualificatifs à t'attribuer. Je leur en laisse le soin.
Je ne suis pas un fan de Wiki, mais leur définition de ce qu'on entend généralement par "espérance mathématique" me parait assez clair.

Wiki a écrit :

En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note E ( X ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} (X)} \scriptstyle \mathbb E(X) et se lit « espérance de X ».
Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. De manière plus théorique, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ.
La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe, est la limite presque-sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.

Il est vrai que mes connaissances des probabilités à la Kolmogorov sont proches de celles du débutant. J'ai lu énormément de cours, et à part une liste répétitive du type "Proposition ... Preuve ...", je n'ai vu aucune logique et aucun aboutissement constructif. Par contre, ces cours sont une source inépuisable d'exercices aussi tarabiscotés les uns que les autres. Donc, toutes les recettes de cuisine, utilisation de dés à jouer où on confond (ou assimile) repérage d'une face et nombre entier pouvant être ajouté. Parfois on trouve des arguments complètement faux comme, pour le dernier que j'ai lu, le paradoxe de Bertrand. Ou le jeu de MH, présenté comme un problème de probabilité difficile, bref des tas de raison d'arrêter de lire. Enfin, chose bizarre, les notions et lois fondamentales, comme le hasard, la loi normale, la loi des grands nombres, le TCL, sont traités en annexe, lorsqu'ils sont traités.
Je sais que les statisticiens sont des grands utilisateurs des probabilités, j'imagine mal comment il arrivent à s'y retrouver. Peut-être vas-tu me dire que les statistiques et les probabilités sont deux choses différentes, alors, je répondrai "Ah".

Je te rappelle, Freddy, que tu ne m'as toujours pas dit ce que tu reprochais à mes différents papiers, tant les deux premiers que les suivant qui sont des réactions à des sujets lus sur les forums.
Et toi, il t'es arrivé d'écrire quelque-chose (bien-sûr, à part les insultes systématiques dépourvues de la moindre argumentation) ? As-tu été à ce point vexé que je te propose de simuler le problème des 5000 boites noires de la TV ? ou, y a-t-il autre-chose ? En ce cas sans être particulièrement curieux, j'aimerais bien le savoir ?

yoshi · 16-07-2016 13:30:42

Re,

Désolé, je n'avais pas vu que mon post était passé incomplet, c'est pourquoi le "produit fini" a été publié après ta réponse...

Yassine a écrit :

Par ailleurs, je rédige régulièrement des papiers en LateX, et j'ai pris l'habitude de taper au kilomètre en utilisant le dollar. Devoir s'arrêter, sélectionner un texte et cliquer sur une icône, c'est une perte de productivité certaine.

Là d'accord (mais le contexte n'est pas le même), et l'icône tex ne doit pas exister (d'ailleurs je ne souviens pas d'en avoir vu une) dans MikTex...
Moi, je n'évoquais que notre forum... Si je dois rédiger un bouquin, une étude de plusieurs pages, le problème ne se pose pas, je fais tout en LaTeX et on convertit en pdf (option proposée par MikTex, les autres je ne sais pas) pour publication ou impression...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-07-2016 11:58:41

La loi des grands nombres

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Re : La loi des grands nombres

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