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#1 28-09-2011 18:01:12

Saphiraméthyste
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coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Salutations

En remerciant d'avance pour savoir si quelqu'un est au courant d'une formulation directe (mais sans vous la demander)donnant les coefficients binomiaux  [tex]  \binom{ n }{ p }  [/tex]
j'essaye d'utiliser les deux formules
la premiere est tres connue : [tex]  \binom{ n }{ p }  \  = \    \sum_{ i=0 }^{ u } \binom{ u  }{ i }. \binom{ n-u }{ p-i }  [/tex] avec  [tex] u \leq p  \  \  \  [/tex] [tex] 1 \leq p  \lt n \  \  \  [/tex]  [tex] 1 \leq u \leq n-p [/tex]     
la deuxieme je ne l'ai pas trouvée ailleurs qu'ici : [tex] f_n \  = \   \sum_{ i=0 }^{ u  }  \binom{ u }{ i }  \  .\   f_{n-u-i}[/tex]

[tex]  \  \  \  [/tex]
avec [tex] 2u \leq n  \  \  \  [/tex]


[tex] f_n  [/tex] designe la suite de Fibonacci donnée avec a=1 et b=1

[tex] f_n  \  \  = \  \   \left(  2\varphi  \   -\   1\right)^{-1} \  .\   \begin{pmatrix} a.\varphi ^{n-1} \  \  +\  \  b.\varphi ^n \  \  +\  \  \left( -1 \right)^{n}.a.\varphi ^{1-n} \  \  +\  \  \left( -1 \right)^{n-1}.b.\varphi ^{-n}  \end{pmatrix} [/tex]


[tex]  \  \  \  [/tex]

et [tex] \varphi  [/tex] le nombre d'or

Encore une fois merci pour votre information

Dernière modification par Saphiraméthyste (28-09-2011 18:17:34)

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#2 29-09-2011 18:35:36

Saphiraméthyste
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Merci
C'est bon je  suppose qu'elle est connue par ceux qui savent et ne disent jamais rien car personnellement j'ai trouvé des pistes à ce sujet
Avoir une formulation directe est tres important quand à ce post une fois que je l'aurais trouvée je donnerais la réponse

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#3 29-09-2011 18:42:33

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Re,

Je n'ai rien dit personnellement parce que je ne savais pas (et ne sais toujours) ce que tu entends par formulation directe...
Une formule de calcul de [tex]\binom{n}{p}[/tex]  en fonction de n et p ?
Mais je crains de ne pas savoir de toute façon...
Désolé.

@+


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#4 29-09-2011 19:03:07

Saphiraméthyste
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Merci pour votre participation
par formulation directe j'entend ne pas être obligé d'utiliser une factorielle
[tex]  \binom{ n }{ p }  = \  \frac{ n! }{  \left( n-p \right)!.p!  }[/tex]



je sais qu'elle existe je reviendrais pour la donner car ceux qui savent ne disent jamais rien
...je leur demandais juste si ils savaient c'est tout
merci je reviendrais
apres il faudra que je m'occuppe du PGCD sans l'algorithme d'Euclide et là il y a des gens qui le savent et s'ils se cachent ça ne sert à rien
Merci

Dernière modification par Saphiraméthyste (29-09-2011 19:09:32)

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#5 29-09-2011 19:17:50

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Re,

Alors, oui, je ne sais pas...
Pour le PGCD, le passage via les décompositions en produit de facteurs premiers ou le PPCM et le produit des 2 nombres me paraît un peu trop simpliste pour que ce soit là, ta future question...

@+


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#6 29-09-2011 19:26:37

Saphiraméthyste
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Salut pour le PGCD un mathematicien du nom de Polezzi en 1999 a trouvé une formule interessante utilisant les parties entieres à present en 2011 (j'ai commencé a avoir des resultats mais je n'ai pas fini) je suppose qu'ils ont terminés car on peut obtenir des resultats interessants
L'avantage est de disposer des formulations sans avoir besoin d'un algorithme :
je lui rend hommage même si je ne lui demande pas ses solutions
il me suffit de savoir qu'elles existent

Dernière modification par Saphiraméthyste (29-09-2011 19:29:49)

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#7 08-04-2013 07:39:26

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Bonjour à tous
donc je reviens et sur ce fil apporter un début de réponse après plusieurs mois d'absence

donc je cherchais une autre formulation pour les coefficients binomiaux et qui fasse l'économie de l'emploi de factorielles
[tex]\binom {n}{p}\  =\  \frac {n!}{(n-p)!.p!}   [/tex]

et me demandais si il y avait dans cette autre formulation un rapport avec la suite de Fibonacci

ma réponse actuelle est de dire que si c'est vrai alors le rapport est lointain mais plutôt en rapport avec l'algèbre linéaire en effet:

la suite de Fibonacci est un cas particulier d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2

si je prend le cas général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2
[tex]u_n\  =\  \alpha  u_{n-1} \  +\   \beta  u_{n-2}  [/tex] avec [tex]u_0\  =\  a [/tex] et  [tex]u_1\  =\  b [/tex]
on obtiens l'égalitée
[tex]\begin {pmatrix}u_n  \\  u_{n+1}\end {pmatrix}\  =\    \begin {pmatrix}0  &  1\\  \beta& \alpha \end {pmatrix}^n\  .\  \begin {pmatrix}a  \\  b\end {pmatrix}\   [/tex]

ce qui m'étonne et me pousse à rechercher dans ce domaine là est causé par ces deux égalités

[tex](x+y)^n\  =\  \sum _{i=0}^n  \binom {n}{i}.x^{n-i}.y^i [/tex]
[tex]u_n  \  =\  \sum _{i=0}^k  \binom {k}{i}.u_{n-k-i} [/tex]
pour [tex]n \  \geq  \  2.k [/tex] et [tex]k  \  \in  \  \mathbb{N} [/tex]
alors que [tex](u_n) [/tex] est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 avec deux scalaires unitaires

je reviendrai donc j'espère très vite donner cette formulation que quelqu'un de niveau L1 L2 ou plus doit connaitre obligatoirement mais qu'il ne dira pas (pour ma part j'ai quitté le cursus scolaire à 16ans donc de fait je ne peux la connaitre)...

Dernière modification par sylphynx (08-04-2013 07:52:54)

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#8 08-04-2013 07:57:05

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Re,


je reviendrai donc j'espère très vite donner cette formulation que quelqu'un de niveau L1 L2 ou plus doit connaitre obligatoirement mais qu'il ne dira pas

Tiens.... Curieuse idée ! Et pourquoi donc ?

Post #4, Sphiraméthiste a écrit :

je sais qu'elle existe je reviendrais pour la donner car ceux qui savent ne disent jamais rien
(...)
apres il faudra que je m'occuppe du PGCD sans l'algorithme d'Euclide et là il y a des gens qui le savent et s'ils se cachent ça ne sert à rien

Là, plus de doute, tu es adepte de la "théorie du complot"

La science se partage, pourquoi cacherait-on quelque chose ? Même lorsqu'on prétend à la médaille Fields (et au prix conséquent qui va avec), il y a un moment où on publie ses travaux...

@+


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#9 08-04-2013 08:05:03

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

tout simplement Yoshi pour deux raisons
la premiere est qu'un savoir maths est dependant d'un niveau scolaire:
celui qui aide fait cela en tant que pédagogue afin que l'on avance dans les maths
si on lui demande telle ou telle formule qu'il connait il ne verra pas l'interêt pédagogique de la donner

ET IL A RAISON
à mon avis

non?

la deuxieme c'est que sinon il aurait déjà répondu ici

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#10 08-04-2013 08:13:53

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Re,

Ça demanderait un long développement (et là, je n'ai pas le temps pour l'instant)

la deuxieme c'est que sinon il aurait déjà répondu ici

1. C'est flatteur, mais tu exagères beaucoup l'influence et la diffusion de BibMath...
2. Autre hypothèse : celui qui sait n'est pas encore passé par BibMath (et on rejoint le point 1.) ou personne ne sait...

@plus tard


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#11 08-04-2013 08:20:47

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Yoshi BibMath est connu dans le monde entier
non ils savent!
mais ils ont raison car là j'en suis ua debut du L1 (à 47 ans c'est pas évident) mais savoir un truc bidulle pour le savoir ça c'est pas aimer les maths
or eux ils les aiment!
moi aussi !

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#12 08-04-2013 10:44:33

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Salut,

Non, décidément, ton idée de gens qui savent et ne veulent rien dire, n'a pas de sens, cela confine à la paranoïa...
La formulation des coefficients binomiaux, comme des Arrangements et Combinaisons est donnée en Terminale...
D'accord ?
Et les Maths ne s'arrêtent pas à la Terminale...
Or, que trouve-t-on, entre autres, sur BibMath ?
Tout simplement ceci : un dictionnaire de Maths...
Et si tu le feuillettes, tu t'apercevras qu'il regorge de notions très pointues qui dépassent de loin le niveau Terminale...
Mais ce que tu cherches ne s'y trouve pas !
D'accord ?
Alors, comment ton affirmation peut-elle être compatible avec ce fait ?
Pourquoi définir des notions de très haut niveau et ne pas donner justement, ce que tu cherches ?
Volontairement ? Pour cacher des informations...
Non, ça ne tient pas : si cette formule n'y est pas, c'est que Fred, l'Administrateur propriétaire du site, qui a établit ce dico (et continue à l'enrichir) et dont le niveau est supérieur à M1M2, ne sait pas...

la premiere est qu'un savoir maths est dependant d'un niveau scolaire:
celui qui aide fait cela en tant que pédagogue afin que l'on avance dans les maths
si on lui demande telle ou telle formule qu'il connait il ne verra pas l'interêt pédagogique de la donner

la premiere est qu'un savoir maths est dependant d'un niveau scolaire
Là, tu enfonces une porte ouverte : je ne me vois pas tenter d'expliquer à un élève de 6e ce qu'est un logarithme (sauf s'il me pose la question)... Et même s'il est vrai que ça ne l'avancerait pas beaucoup, vu ce qu'il sait, le vrai obstacle est la capacité intellectuelle à cet âge de comprendre ce dont il est question.
Et s'il me le demande, l'enverrai-je sur les roses en lui disant : tu ne comprendrais pas ?
Non, j'essaierai de lui répondre en ayant conscience de ce qu'il sait (et ne sait pas) et choisir mes mots et mes exemples avec un très grand soin : c'est ce qu'on appelle de la vulgarisation (qui n'a rien de vulgaire d'ailleurs, puisque "vulgaire vient de vulgus, vulgaris : le commun des hommes, la foule) et c'est un art extrêmement difficile !

celui qui aide fait cela en tant que pédagogue afin que l'on avance dans les maths

Oui, le pédago, le vrai (et je sais de quoi je parle), n'a qu'une obsession : partager son savoir, tout son savoir, aussi pointu soit-il, avec qui le sollicite, et le mener sur le chemin tortueux de la connaissance, jusqu'à être son égal, puis le dépasser.
C'est le rêve de tout pédago de former quelqu'un qui le dépassera ensuite et c'est heureux, sinon la connaissance régresserait du moins stagnerait...

si on lui demande telle ou telle formule qu'il connait il ne verra pas l'interêt pédagogique de la donner

C'est une formulation excessive et inexacte, qui doit être considérablement nuancée.
Ceux qui "pondent" des manuels de maths (en toutes langues) ou autres matières :
1. Ne mettent pas d'interdit à la vente ni à la consultation : il te suffit de chercher,
2. Ne se préoccupent pas de savoir, si une maman d'un gamin de CM1 va lui acheter un bouquin traitant de la relativité, sous prétexte que c'est un génie en devenir...
Non, ils écrivent des bouquins de tous niveaux, publient leurs travaux dans des revues scientifiques  en exposant ce qu'ils savent sans restrictions à un bémol près : sauf si ça peut porter atteinte à la sécurité publique (dans ce cas, oui, ils se taisent... enfin, "on" leur demande de se taire).

Dans le cas qui te préoccupe, il n'y a pas de sceau "Secret Défense" qui empêche la diffusion de cette connaissance.

Mon avis est que cette formule personne n'a encore eu l'idée de la chercher et donc qu'elle n'existe pas
Et si tu la trouves, bravo ! Mais je te conseille avant de la diffuser "urbi et orbi" de la faire authentifier par huissier, notaire... planquer l'original et seulement après la diffuser, qu'on ne puisse pas s'attribuer le mérite de tes travaux.

Tout ça, quoique je sois bien persuadé que je ne te convaincrai pas : cette idée de groupes qui savent et ne disent rien est bien trop ancrée en toi. Peut-être même est-ce l'aiguillon nécessaire à poursuite de tes recherches !

Vale tibi !

@+


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#13 08-04-2013 10:53:24

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Yoshi tu as raison je pensais comme ça car évidemment pour moi c'est normal d'avoir cette manière de voir
c'est la manière de voir de quelqu'un qui connait en fait rien de ce milieu
"celui qui ne sait pas pense que les autres savent mais ne veulent rien dire"
n'empêche que si pour résoudre cela il faut un niveau tres élevé par exemple M1 et pour moi même L2  alors il serait completement stupide voire suicidaire de chercher avant de me mettre à ce niveau car il y a des notions fondamentales qui m'échappent et sans lesquelles on peut rien faire!

sinon dans la continuitée de ce fil en vu de sa résolution et compte tenu de ce qui viens d'être ajouté
selon une suite récurrente linéaire d'ordre p selon
[tex]u_{n+p}\  =\  a_0.u_n\  +\  a_1.u_{n+1}\  +\  ...\  +\  a_{p-1}.u_{n+p-1} [/tex]
on obtiens le terme général selon
[tex]\begin {pmatrix}u_n  \\  u_{n+1}\\  ...\\  u_{n+p-1}\end {pmatrix}\  =\    \begin {pmatrix}0  &  1&  0  &  ...  &  0\\  0  &  0&  1  &  ...  &  0\\  ...  &  ...&  ...  &  ...  & ...\\ a_0  &  a_1& a_2  &  ...  &  a_{p-1}    \end {pmatrix}^n\  .\   \begin {pmatrix}u_0  \\  u_1\\  ...\\  u_p\end {pmatrix}[/tex]

et en ce qui concerne l'exponentielle d'une base de [tex]\  \mathbb {R}^m\     [/tex] et qui se présente sous la forme d'une matrice carrée de dimension m et de déterminant non nul avec des composantes réelles
en notant  [tex] a_{ij}  [/tex] les composantes d'une base A et en notant  [tex] a_{ij}^{\{n\}}  [/tex] les composantes de la matrice [tex]   A^n   [/tex] alors
[tex]\displaystyle a_{ij}^{\{n\}} \  =\  a_{ik_{n-1}}. a_{k_{n-1}k_{n-2}}.  a_{k_{n-2}k_{n-3}}. \  ...\  .\  a_{k_{2}k_{1}}. \    a_{k_{1}j}   [/tex]
avec la convention de sommation où tous les indices [tex] k_x   [/tex] prennent toutes les valeurs de 1 à m

l'idée étant de partir de là pour essayer de voir en quoi on peut exploiter cette équation là

[tex]u_n  \  =\  \sum _{i=0}^k  \binom {k}{i}.u_{n-k-i} [/tex]
ici et rien qu'ici [tex] \binom {k}{i} [/tex] est un coefficient de Newton
pour [tex]n \  \geq  \  2.k [/tex] et [tex]k  \  \in  \  \mathbb{N} [/tex]
selon [tex]\begin {pmatrix}u_n  \\  u_{n+1}\end {pmatrix}\  =\    \begin {pmatrix}0  &  1\\  1& 1 \end {pmatrix}^n\  .\  \begin {pmatrix}u_0  \\ u_1\end {pmatrix}\   [/tex]

Dernière modification par sylphynx (08-04-2013 13:36:38)

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#14 08-04-2013 11:17:25

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Yoshi je viens juste de réediter en te donnant raison et pourquoi(je n'avais pas vu ton message)

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#15 08-04-2013 13:35:23

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

je viens encore de réediter pour ceux qui suivent
pour éviter la confusion entre l'écriture d'un coefficient de Newton et l'ecriture d'une matrice de dimension vectorielle 2 et de dimension sectorielle 1
car évidemment il n'y a aucun rapport entre la signification de ces deux écritures

Dernière modification par sylphynx (08-04-2013 13:36:13)

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#16 08-04-2013 14:38:46

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

bon et là j'arrête pour quelques heures - jours -mois -années ...(?)
faudra voir s'il est possible de trouver une méthode pour déterminer une base A et qui soit utile pour ce que je demande,  de [tex]\  \mathbb {R}^m\     [/tex]
telle que 
[tex]\begin {pmatrix} \binom {n}{0}  \\   \binom {n}{1} \\  ...\\   \binom {n}{m}\end {pmatrix}\  =\    A \  .\    \begin {pmatrix}u_0  \\  u_1\\  ...\\  u_m\end {pmatrix}[/tex]
il s'agit ici de coefficients de Newton comme composantes de la matrice de gauche

selon [tex]\begin {pmatrix}u_i  \\  u_{i+1}\end {pmatrix}\  =\    \begin {pmatrix}0  &  1\\  1& 1 \end {pmatrix}^i\  .\  \begin {pmatrix}u_0  \\ u_1\end {pmatrix}\   [/tex]
là par contre il s'agit uniquement d'un produit de matrices

là vite fait et sans réfléchir et compte tenu que les valeurs de [tex]\  u_i\     [/tex] diffèrent toutes entre elles pour  [tex]\  u_0\   \neq \  u_1\      [/tex] j'ai l'idée intuitive de construire ma base A comme étant une exponentielle d'une matrice de Vandermonde construite à partir de ces [tex]\  u_i\     [/tex]   
et comme ils different tous entre eux alors cette matrice deviens une base

mais à ce stade je parie que je me plante totalement bien que cette base existe évidemment mais pas forcément utile pour ce que je demande
sinon en pensant vite et cherchant à me défiler je pose ça comme ça en attendant (je suis pas un robot)

Dernière modification par sylphynx (08-04-2013 14:40:27)

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#17 08-04-2013 15:09:59

yoshi
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Re,

Et si tu utilisais la notation [tex]C_k^i[/tex] pour [tex]\binom {k}{i}[/tex], ça ne te simplifierait pas l'écriture ? ^_^

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#18 08-04-2013 15:15:02

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

yoshi a écrit :

Re,

Et si tu utilisais la notation [tex]C_k^i[/tex] pour [tex]\binom {k}{i}[/tex], ça ne te simplifierait pas l'écriture ? ^_^

@+

oui c'est mieux Yoshi
je crois qu'il vaut mieux que j'aille écouter de la zic et ...
les maths n'en souffriront pas et puis Nina Hagen elle sera contente
merci Yoshi
@+ si le Punk ne meurt pas!

Dernière modification par yoshi (08-04-2013 15:17:12)

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#19 08-04-2013 15:52:59

amatheur
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

salut
je ne sais pas si des équivalents peuvent satisfaire tes exigences, si c'est la cas, la formule de Stirling permet une expression des factoriels.
regarde ça: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling
A+


J'aimais les fées et les princesses,
Qu'on me disait n'exister pas..

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#20 08-04-2013 16:01:07

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

amatheur a écrit :

salut
je ne sais pas si des équivalents peuvent satisfaire tes exigences, si c'est la cas, la formule de Stirling permet une expression des factoriels.
regarde ça: http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Stirling
A+

Salut Camarade Amatheur
en fait non ni même l'utilisation de la fonction Gamma
mais je reviendrai...
merci Camarade
là je vais voir Nina Hagen:
"le Punk saura se faire aimer des maths ou pas mais que ce soit l'un ou l'autre il les aimera toujours"
encore merci Amatheur
j'ai du mal à partir : ça c'est la drogue dure des maths
si j'avais pas le Punk je serai foutu

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#21 17-04-2013 00:54:00

Choukos
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Bonsoir !
Si j'ai compris, ce que tu cherches à faire c'est bien d'exprimer le nombre "k parmis n", en fonction des nombres de Fibonnaci ? Désolé si c'est un peu bêta mais je suis un peu perdu.

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#22 17-04-2013 01:51:47

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Choukos a écrit :

Bonsoir !
Si j'ai compris, ce que tu cherches à faire c'est bien d'exprimer le nombre "k parmis n", en fonction des nombres de Fibonnaci ? Désolé si c'est un peu bêta mais je suis un peu perdu.

Bonsoir Choukos
non! c'est moi qui suis perdu et bêta! j'en suis pas encore là mon ami
j'essaye de me débarasser de la formule initiale

bonne nuit ami (je ferai mieux de m'enfoncer dans les fondamentaux en maths et pas me fier à mon déclaré  L1 que j'ai trouvé sur un espèce de paquet bonux qui m'a troublé et me trouble à vie) c'est monstrueux (à 47 ans c'est du suicide pur)mais je dois regarder la réalitée en face...en tout cas merci mon ami

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#23 13-05-2013 15:36:32

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

Bonjour à tous
en fait ce serai juste pour poser une petite question, ça entre dans le cadre de ce fil vu que je continue à ce sujet
je vous remercie d'avance pour toute réponse

puis-je sans erreur donner cette convention ?

Soit un polynôme unitaire [tex]p(X)\  =\  a_0\  +\  a_1.X\  +\  ...\  +\  a_{n-1}.X^{n-1}\  +\  X^n[/tex]

[tex]C(p)\  =\  \begin {bmatrix} 0&1&0&... &0\\ 0&0&1&...&0\\ ...&...&...&...&...\\   0&0&0&...&1\\  a_0&a_1&a_2&...&a_{n-1}   \end {bmatrix}[/tex]

est une convention pour la matrice compagnon de ce polynôme unitaire

si A est la matrice compagnon (matrice définie par des composantes [tex]a_{ij} [/tex] ) d'un polynôme unitaire 

[tex]p(X)\  =\  a_{m1}\  +\  a_{m2}.X\  +\  ...\  +\  a_{mm}.X^{m-1}\  +\  X^m[/tex]

alors selon cette convention

les composantes [tex]a_{mj} [/tex] sont les coefficients de ce polynôme

[tex]a_{k,k+1}\  =\  1 [/tex] pour k dans l'intervalle [1,m[
[tex]a_{ij} \  =\  0 [/tex]  pour [tex] i\  \neq  \  m  [/tex]et [tex] j\  \neq  \  i+1  [/tex]

on vérifie : [tex]det(A)\  =\  (-1)^{m+1}.a_{m1} [/tex] donne le determinant de A
en considérant [tex] A^{-1} [/tex] l'inverse de cette matrice et dans la condition que [tex]a_{m1}\  \neq \  0  [/tex]
s'obtiens facilement
soient les composantes [tex]b_{ij} [/tex] de la matrice  [tex] A^{-1} [/tex] alors:
[tex]\displaystyle b_{ij} \  =\  \frac  { (-1)^m.a_{m,j+1}}{ (-1)^{m+1}.a_{m1}}[/tex]  pour  i = 1  et j < m
[tex]\displaystyle b_{ij} \  =\  \frac  { (-1)^{m+1}}{ (-1)^{m+1}.a_{m1}}[/tex]  pour  i = 1  et j = m
[tex]\displaystyle b_{ij} \  =\  1 [/tex]  pour  i = j + 1
[tex]\displaystyle b_{ij} \  =\  0[/tex]  pour [tex] i\  \neq  \  1  [/tex]  et  [tex] i\  \neq  \  j+1  [/tex]

encore merci pour vos réponses

Dernière modification par sylphynx (13-05-2013 22:48:13)

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#24 16-05-2013 17:21:01

sylphynx
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Re : coefficients binomiaux et la suite de Fibonacci

erreur

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