Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 05-12-2006 18:50:06

Maya_2
Invité

Toboggan ... [Résolu]

Bonsoir, j'aimerais obtenir de l'aide le plus vite possible  concernant ce devoir de Maths , plus particulièrement pour les questions 2f) 3b) et surtout la 4


Voici l'énoncé du problème:
On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce.
Il doit donc vérifier les conditions suivantes:
1) avoir une tangente au point A parrallèle au sol
2) être tangent au sol au point B
Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère orthonormé (Oij) (unité graphique 2.5 cm)
Les coordonnées du point A sont donc (0;2), celles du point B (4;0)
Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure du toboggan et vérifient les conditions de l'énoncé.

1) Une fonction polynome du premier degré peut-elle convenir? Expliquer pourquoi?

2a) f est une fonction définie sur [0;4] par f(x)= -1/4x²+2 et Cf sa courbe représentative dans (Oij). Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.

2b) g est la fonction définie sur [0;4] par g(x)=1/4x²-2x+4 et Cg sa courbe représentative dans (Oij). Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation.

2c)Démontrer que C et Cg, ont en commun le point C de coordonnées (2;1)

2d) Démontrer que C et Cg ont la même tangente T au point C.

2e) Tracer T, puis Cf et Cg sur un même graphique.
Ensuite tracer d'une couleur différente, les deux portions des courbes Cf et Cg représentant le toboggan.

2f)vérifier que la courbe obtenue satisfait aux conditions (1) et (2).

3) On décide de donner au toboggan un profil correspondant à la courbe représentative dans (Oij) d'une fonction polynome (P) du 3ème degré: P(x)=ax3+bx²+cx+d

3a) Trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A.

3b)Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu'elle passe par B, trouver les valeurs de a, b et c.

3c) h est la fonction définie sur [o;4] par h(x)= 1/16x3-3/8x²+2
Etudier les variations de h et donner son tableau de variation.

3d) Sur un nouveau graphique, tracer Ch représentant h dans (O; i,j)

4) Observer les graphiques, puis calculer la pente maximale ( c'est-à-dire le maximum de I f'(x) I ) du toboggan dans chacun des deux cas étudiés et conclure sur le cas le plus favorable.


Merci

#2 05-12-2006 20:11:51

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Toboggan ... [Résolu]

Bonsoir,

En ce qui concerne la question 2 f ... Conditions 1 et 2 satisfaites...
La tangente aux points concernés doit être horizontale, donc dérivée nulle en chacun de ces points...
[tex]f'(x) = -{1 \over 2}x[/tex] [tex]\: f'(0) = ...[/tex]
[tex]g'(x) = {1 \over 2}x - 2[/tex] [tex]\; g'(4) = ....[/tex]

Question 3) b)
On fait appel à la dérivée. [tex]P'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex]
Cette dérivée est nulle aux points A et B puisque les tangentes à la courbe doivent y être horizontales....  Le point A permet de trouver c = 0. On remplace...
Sachant P'(4) = 0 (la tangente en B est horizontale) et que P(4) = 0 (B est sur la courbe) on obtient un système de deux équations du premier degré à deux inconnues a et b... La réponse finale est donnée en clair dans la question suivante...

Question 4)
Formulation pas très claire....
Le maximum de f'(x) ?

Désolé, je suis obligé de m'interrompre... je repasse d'ici 20 min, si d'ici là personne n'a pris la suite.

@Tout de suite


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#3 05-12-2006 20:22:14

maya_2
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

re
oui pour la question 4 il faut calculer le maximum de la valeur absolue de f'(x)

#4 05-12-2006 20:38:47

maya_2
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

Je suis vraiment dnavrée (je ne fais pas semblant ) mais je ne vois toujours pas pour la 3.b (pourtant je me creuse la tête!) pouvez-vous m'enclairer un peu plus s'il vous plait ???

merci

#5 05-12-2006 20:42:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Toboggan ... [Résolu]

Re bonsoir,

J'ai compris. Par I f'(x) I, tu entends en fait |f'x)|... ce qui est logique (Au fait ,on obtient la barre verticale avec Alt Gr + touche 6)
Maximum de |f'x)] atteint pour x = 4 :
[tex]|-{1 \over 2} \times 4|= 2[/tex]
Maximum de g'(x) atteint pour x = 0
[tex]|{1 \over 2} \times 0 - 2| = 2[/tex]

ESt-ce que c'était seulement f'(x) ou bien ma supposition est-elle exacte :

....chacun des deux cas étudiés...

f'(x) et g'(x) ?

Peux-tu m'éclairer ? Car comme tu le vois j'ai un souci : mes maximums sont égaux...

[EDIT]Juste avant de poster, je constate que tu confirmes ce à quoi j'ai pensé pour la valeur absolue...[/EDIT]


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#6 05-12-2006 20:57:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Toboggan ... [Résolu]

Re,

Oh la méchante question 3b)...
[tex]P'(x)=3ax^2+2bx+ c[/tex]
Dérivée nulle en x = 0, donc P(0) = c = 0
P(x) s'écrit alors
[tex]P(x)= ax^3+bx^2+d[/tex]

Et P'(x) :
[tex]P'(x) = 3ax^2 + 2bx[/tex]
nulle aussi au point d'abscisse 4 (tangente horizontale)
[tex]P'(4)=48a + 8b = 0 \; \mbox { ou encore }\; 6a + b = 0[/tex]

Le point A est sur la courbe ses coordonnées vérifient P(x) :
[tex]P(0) = d = 2[/tex]

On remplace :
[tex]P(x)=ax^3 + bx^2+2[/tex]

Après on écrit que B est sur la courbe donc que ses coordonnées vérifient P(x), et tu obtiens ta deuxième équation à 2 inconnues...

Ca devrait suffire...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#7 05-12-2006 20:57:39

maya_2
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

C'est seulement pour f de x

et pour la 3 B SVP


PS des que j ai  taper alt et 6 tout les symbole ont changes meme les lettres c pas possible

#8 05-12-2006 20:59:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Toboggan ... [Résolu]

Pat ALT ! ALT GR Et 6 : sur cette touche, il y a 6 le tiret - et | avec un espace au milieu de la hauteur...

[EDIT]C'est bon maintenant pour la 3b) ?
Sachant que les valeurs de a et b sont données dans la question suivante dans l'expression de h(x) ?

A te lire

[/EDIT]


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#9 05-12-2006 21:16:39

maya_2
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

fiou!
vous savez j'ai eu peur toutes les lettres s'étaient interchangées..
sinon merci beaucoup pour votre aide!!


je vous souhaite une bonne soirée

#10 10-02-2010 10:35:03

cesar
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

oui mais comment faites vous pour trouver la valeur de d pour la 3 a  et j'ai aussi un petit probleme pour la 2 d pourriez vous m'aider

#11 10-02-2010 13:19:09

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 946

Re : Toboggan ... [Résolu]

Ave Cesar !

Pour la 2.d.
la valeur de la tangente en un point c'est le coefficient directeur de la tangente en ce point.
Tu calcules f'(2) et g'(2) et tu obtiens le même résultat.
Ces 2 coeff étant les mêmes soit il y a 2 tangentes parallèles, soit il n'y en a qu'une. Or les tangentes à Cf et Cg passant par le même point, la cause est entendue...

Pour 3.b)
Tangente en A parallèle au sol :
1. Donc A est sur la courbe, ses coordonnées vérifient l'équation de la courbe. En calculant P(0), on obtient donc l'ordonnée de A, soit 2.
2. Parallèle au sol = tangente en horizontale <==> P'(0) = 0

Courbe tangente au sol au point B
L'axe des abscisses est tangent en B à la courbe = tangente en horizontale <==> P'(4) = 0

A partir de là :
P'(x)= 3ax²+2bx + c d'où P'(0)=c et c = 0
P(x) s'écrit donc en réalité P(x) = ax^3+bx^2+d  et P'(x) = 3ax²+2bx
Et tu repars sur
1. P'(4) = 0 ==> 48a+ 8b = 0
... etc ... Voir posts précédents.
Résolution du système : on trouve a et b

2. Si la courbe est tangente au sol en B, c'est que B est sur la courbe, donc que les coordonnées de B vérifient l'équation de la courbe.
Tu as donc P(4) = 0, et comme tu connais a et b, cette petite équation va te donner d.

Ca te va ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

En ligne

#12 10-02-2010 13:59:28

cesar
Invité

Re : Toboggan ... [Résolu]

merci beucoup cela ma sorti de mes problemes

Pied de page des forums