triangle isocèle dans un repère trigonométrique

yann06 · 01-03-2017 19:39:04

Bonjour Yoshi,
bonnes vacances également !

A et B sont deux points du cercle trigonométrique associés aux réels $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{2\pi}{3}$
Déterminer les points du cercle tel que le triangle ABM soit isocèle

en prenant le repère trigonométrique , dans ce repère , les coordonnées de A sont $(\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2})$ et celles de $(\frac{1}{2} ; \frac{2\sqrt{3}}{2}) $

l'angle $\frac{\pi}{4}$ a le meme sinus et cosinus , c'est l'angle 45°
1 ) pour calculer le sinus de cet angle :
- je compte jusqu'à deux
- en prendre la racine carré -->$\sqrt{2}$
- diviser le numérateur par 2 ---> $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- on ne peut plus simplifier donc :
le sinus de l'angle $\frac{\pi}{4}$ est bien $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) pour le calcul du sinus de $\frac{\pi}{3}$
- j'ai divisé $\pi$ par 3 , j'ai le quatrième angle
- je compte jusqu'à Trois
- en prendre la racine carré ---> $\sqrt{3}$
- diviser le numérateur par 2 ----> $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- on ne peut plus simplifier
donc : le sinus de $\frac{2\sqrt{3}}{2}$ est $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

les coordonnées de B sont (${-\frac{1}{2}} ; \frac{2\sqrt{3}}{2})$

les points M que je cherche sont alors les points qui vérifient :
- AM = BM --> isocèle en M

- AB = AM --> isocèle en A ou isocèle en B (2 solutions )

yoshi · 01-03-2017 21:37:50

Bonsoir,

D'autre détailleront sûrement davantage, sinon RDV demain matin...
[tex]\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)= +\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
[tex]\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)= -\frac{1}{2}[/tex]

Un simple placement sur le cercle trigo même à main-levée t'aurait évité la bourde...

@+

yoshi · 02-03-2017 13:34:56

Re,

[AB] étant une corde du cercle, un point M du cercle est tel que AMB est isocèle en M si MA = MB.
Or tout point équidistant des extrémités d'un segment appartient à la médiatrice de ce segment...
On en conclut que M est à l'intersection de la médiatrice du segment [AB] et du cercle !
Il y a donc deux points M possibles...
Leurs coordonnées sont - relativement - simples à calculer...

Mais, on peut aussi avoir MA = AB ou MB = AB, ce qui ferait encore deux autres points M possibles..
Mais là, calculer leurs coordonnées me semble a priori très délicat pour un élève de 1ere...

Précision à demander à ton prof : isocèle en M seulement ou pas ?

pour calculer le sinus de cet angle :
- je compte jusqu'à deux
- en prendre la racine carré -

C'est quoi cette cuisine ?
1. [tex]\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)[/tex] fait partie des résultats à connaître par cœur, de même pour [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] et [tex]\frac{\pi}{6}[/tex]...
Si toutefois, tu avais à le redémontrer tu pourrais passer par un triangle rectangle OAC rectangle en C dont l'hypoténuse OA vaut 1.
Les 2 côtés de l'angle droit sont égaux OC = CA, donc OC² = CA², donc 2 CA² = 1 et AC² = 1, d'où [tex]AC=\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
D'où [tex]\sin(\widehat{AOC})=\frac{AC}{OA}=\frac{1}{\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{2}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

2 Il doit t'être connu aussi que :
[tex]\sin(\pi-x)=\sin x[/tex] et [tex]\cos(\pi-x)=-\cos x[/tex]
http://www.bibmath.net/formulaire/index … igodecaang

@+

yann06 · 02-03-2017 18:24:26

Bonsoir Yoshi

Pour le triangle OAC rectangle en C
OA est le rayon du cercle --> OK
mais comment on sait que les 2 cotés de l'angle droit sont égaux ; OC = CA

yoshi · 02-03-2017 19:17:21

Re,

C'est pourtant évident : si l'un des angles aogus mesure 45°, l'autre aussi.
Et le triangle OCA rectangle en C est donc aussi isocèle en C d'où CO = CA.

@+

yann06 · 02-03-2017 21:02:24

Ok
j'ai compris isocèle de sommet C donc CO = CA

par contre , peux - tu me refaire un cours

$ CO^{2} = CA^{2}$

yann06 · 02-03-2017 21:07:30

Pardon
J'ai cliqué sur Envoyer alors que je voulais faire aperçu

donc on part de Pythagore

$OC^{2} +CA^{2} = AC ^{2}$
ensuite $CO^{2} + CA^{2}$ donc $2 CA^{2} = 1 $

yann06 · 02-03-2017 21:18:29

désolé
à chaque fois , je fais envoyer à la place d'aperçu

$OC^{2} + CA^{2} = AC^{2}$

comme AC = 1 , étant donné que c'est le rayon du cercle Trigo ---> jusque là , OK

donc : $OC^{2} + CA^{2} = 1^{2}$

comme $OC = CA$ alors $OC^{2} = CA^{2}$

on a donc : $2 * CA ^{2} = 1$ ou encore $2 * OC^{2} = 1 $

par contre après , je ne vois plus ?????

yoshi · 02-03-2017 21:24:45

Re;

Oui d'où [tex]AC^2=\frac 1 2[/tex]
Et
[tex]AC=\sqrt{\frac 1 2}=\frac{1} {\sqrt 2}=\frac{1 \times \sqrt 2}{\sqrt 2 \times \sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

Par contre, là dans mon post #3 :
[tex]\sin(\widehat{AOC})=\frac{AC}{OA}=\frac{1}{\frac{\sqrt 2}{2}}=\frac{2}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
j'ai écrit une double ânerie.
Parce que
1. [tex]\frac{2}{\sqrt 2}=\frac{(\sqrt 2)^2}{\sqrt 2}=\sqrt 2[/tex]
et
2. J'aurais dû écrire :
[tex]\sin(\widehat{AOC})=\frac{AC}{OA}=\frac{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

@+

yann06 · 03-03-2017 11:46:13

salut Yoshi

soit un triangle rectangle OAC rectangle en C donc OA est l'hypoténuse
et OA est aussi le rayon du cercle Trigo donc OA = 1

la théorème de Pythagore , nous donne :

$OC^{2} + CA^{2} = OA^{2}$

donc je remplace AC par 1

$OC^{2} + CA^{2} = (1)^{2}$
soit :
$OC^{2} + CA^{2} = 1 $
comme OC = CA étant donné que le triangle est isocèle de sommet C
je peux dire :
$2 * CA^{2} = 1$

mais je ne vois pas comment tu arrives à $ AC^{2} = \frac{1}{2}$

par contre pour la suite ---> c'est OK

$AC^{2} = \frac{1}{2}$

ce qui donne :
$AC = \sqrt{\frac{1}{2}}$

en appliquant la propriété $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

yoshi · 03-03-2017 13:20:05

Re,

Soit s le prix d'un stylo, 2 stylos valent 1 €. D'où [tex]s =\frac 1 2[/tex]
Ta question revient à celle-ci : je ne vois pas comment tu arrives à[tex] \frac 1 2[/tex] ?
Tu rigoles ou quoi ?

@+

duquenne · 05-03-2017 01:31:02

Bonsoir Yoshi

est ce que tu peux me faire un cours de Trigo pour $\frac{\pi}{3} $
s'il te plait

yoshi · 05-03-2017 08:10:29

Bonjour,

Je prends le point A du cercle tel que A appartienne à la médiatrice de [OI]. J'appelle C le milieu de [OI].
Cette médiatrice est donc (AC).
Le triangle OAI est tel que OA=OI =1 (rayon du cercle)
Mais A a été pris qsur la médiatrice de [OI], donc AO = AI.
En conséquence, OA = OI = AI, le triangle OAI est donc équilatéral.
D'où [tex]\widehat{AOI}=\frac{\pi}{3}[/tex].
Le triangle AOC, lui, est rectangle en C puisque (AC) a été construite comme une médiatrice.
[tex]OC = \frac 1 2[/tex]
Avec le théorème de Pythagore :
[tex]OA^2=OC^2+AC^2[/tex]
D'où [tex]1=\frac 1 4 + AC^2[/tex]
[tex]AC^2 = 1 - \frac 1 4 = \frac 3 4[/tex]
Et [tex]AC=\sqrt{\frac 3 4}=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
[tex]\sin\widehat{AOC}=\frac{AC}{OA}=\dfrac{\frac{\sqrt 3}{2}}{1} =\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]

Donc [tex]\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt 3}{2}[/tex]

@+

yann06 · 05-03-2017 19:38:35

Bonsoir Yoshi

Je te remercie pour ton cours ( j'aurais bien aimé que tu sois mon prof , tu expliques bien !)
je reviens sur l'exercice car il n'est toujours pas fait

soit A et B deux points du cercle associé aux points $\frac{\pi}{4}$ et $\frac{2\pi}{3} $
Déterminer les points du cercle tel que le triangle ABM soit isocèle

en fait , je n'ai pas besoin des sinus et des cosinus des angles

considérons le triangle OAB
l'angle (OA , OB ) = (i , OB ) - (i , OA) relation de Chasle des angles
$ = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}$

le triangle OAB est isocèle de sommet O car OA = OB = 1 ( rayon du cercle Trigo)
donc la bissectrice de cet angle (OA , OB) est aussi hauteur du triangle OAB et passe par le milieu de [AB] la fameuse corde !
et coupe le cercle en deux points , on va dire le point M et M' qui sont diamétralement opposé

je calcule l'angle ( OA , OC ) qui est la moitié de l'angle (OA , OB)

(OA , OC) = (OA , OB) /2 = $(\frac{5\pi}{12} ) / 2$

calcul de l'angle (OI , OC) avec l'angle (OI , OA) que l'on connait , c'est $\frac{\pi}{4}$
(OI , OC ) = ( OI , OA) + (OA , OC)
(OI , OC ) =$ \frac{\pi}{4} $ + ????

par contre je n'arrive pas à calculer le $\frac{\frac{5\pi}{12}}{2}$

Peux tu encore m'aidez ? s'il te plait

yoshi · 06-03-2017 14:51:34

Re,

Il y a 4 points :

Les construire est très simple...

L'angle [tex]\widehat{IOM_1}[/tex] est la demi-somme des angles [tex]\widehat{IOA}[/tex] et [tex]\widehat{IOB}[/tex], soit :
[tex]\frac{11\pi}{24}[/tex]
Et le moment est venu de répondre à ta question ;
[tex]\dfrac{\frac a b}{c}= \dfrac{\frac a b}{\frac c 1} =\frac a b \times \frac 1 c =\cdots[/tex]
N-B :
[tex]\dfrac{a}{\frac b c}= \dfrac{\frac a 1}{\frac b c} =\frac a 1 \times \frac c b =\cdots[/tex]

Concernant $M_2$, il est diamétralement opposé à $M_1$, donc :
[tex]\widehat{IOM_2}=\widehat{IOM_1}+\pi = \frac{35\pi}{24}[/tex] ou [tex]-\frac{13\pi}{24}[/tex]

La construction - géométrique - de $M_3$ et $M_4$ est évidente, je n'y reviens pas, ça m'avait échappé...
Tout comme m'avait échappé la valeur des angles [tex]\widehat{M_3AB}[/tex] et [tex]\widehat{ABM_4}[/tex], c'est pourtant simple... depuis que j'ai fait le dessin...
Ils se calculent simplement à partir de [tex]\widehat{AM_3B}[/tex] et [tex]\widehat{BM_4A}[/tex].
Concernant ces deux angles
1. On voit (et on prouve en 1 ligne) qu'ils sont égaux
2. Calculer leur valeur est simple aussi si on trouve le pourquoi évoqué au point 1.
Pour les deux, j'ai fait appel au seul chapitre de géométrie plane (avec les th. de Thalès) de la classe de 3e ^_^

Si par "déterminer les points M", ton prof entend "trouver les coordonnées", techniquement tout est techniquement faisable en 1ere s mais ce serait long et douloureux : maîtrise des formules de trigo exigées + un peu d'astuce...

@+

yann06 · 06-03-2017 21:46:38

salut Yoshi

merci de m'avoir donner la réponse une nouvelle fois

je reprends :

considérons le triangle OAB
l'angle (OA , OB) = (I , OB ) - ( I , OA ) relation de Chasle des angles
= $\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8 \pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $

le triangle OAB est isocèle de sommet O car OA = OB = 1 ( rayon du cercle Trigo )

donc la bissectrice de l'angle ( OA , OB ) est aussi hauteur du triangle OAB et passe par le milieu de la corde [ AB ] et coupe le cercle en deux points C et D diamétralement opposé tel que ABC est isocèle en C est ABD est isocèle
--> merci pour ton dessin

je calcule l'angle ( O A , OC ) qui est la demi somme de ( OA , OB)
$( OA , OC ) = \frac{( OA , OB) }{2} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{2}$

$\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{\frac c 1}$

$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{\frac{2}{1}} = \frac{5\pi}{12} * \frac{1}{2} = \frac{5\pi}{24}$

je multiplie les dénominateurs ( c' était bien simple !!)

calcul de ( OI ; OC ) = ( Oi ; OA ) + ( OA ; OC)
$ (Oi , OC ) = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6 \pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}$

C et D sont parfaitement définis par la valeur de leur angles

@ plus

yoshi · 07-03-2017 17:03:42

Re,

1. Et les deux autres points ?
2. Si tu travailles avec des angles orientés, tu dois utiliser des vecteurs, pas des longueurs et encore moins des points.
Cf : (I , OB ) - ( I , OA )...
Ça a quel sens de parler d'un angle que ferait un point avec une longueur ?
Ça aurait quel sens de parler d'un angle que ferait un point avec un segment ? avec une demi-droite ? avec une droite ? avec un vecteur ?
Parler d'angle entre deux segments, serait déjà limite s'ils sont disjoints.
Fais donc attention à ce que tu écris ! Les Maths, ce n'est pas le royaume de l'approximation...

@+

Dernière modification par yoshi (07-03-2017 17:11:36)

yann06 · 13-03-2017 22:28:22

Bonsoir Yoshi ,

Je continue avec le point M 2 , que j 'appelle en fait le point D

( je reprends quand meme depuis le début )
Je considère le triangle OAB
l' angle $ ( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB} ) = ( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB} ) - ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OA} ) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12} $

le triangle OAB est isocèle de sommet O car OB = OA = 1 ( ce sont des rayons du cercle Trigo)
donc la bissectrice de l'angle $( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB} ) $ est la hauteur du triangle OAB et passe également par le milieu de la corde [AB] et coupe le cercle Trigonométrique en deux points diamétralement opposés , j ' appelle ces points C et D
j ' obtiens :
- le triangle ABC isocèle de sommet C
- le triangle ABD isocèle de sommet D

calcul de l 'angle $ ( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC}) = \frac{( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB } ) }{2}$

$ ( \overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC}) = \frac{\frac{5\pi}{12}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{12}}{\frac{2}{1}} = \frac{5\pi}{12} * \frac{1}{2} = \frac{5\pi}{24}$

calcul de l 'angle $ ( \overrightarrow{OI } ; \overrightarrow{OC} ) $
$ ( \overrightarrow{OI } ; \overrightarrow{OC} ) = ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OA} ) + (\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OC}) $
$ ( \overrightarrow{OI } ; \overrightarrow{OC}) = \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{24} = \frac{6\pi}{24} + \frac{5\pi}{24} = \frac{11\pi}{24}$

maintenant , je considère le triangle ABD ( ou encore $ABM_{2}$ , si on prend ton dessin )
comme , j 'ai tracé la médiatrice qui coupe le cercle en deux points diamétralement opposé
--> le point D est opposé à C , donc on ajoute un demi - tour , c'est à dire $\pi$

calcul de l'angle $ ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OD} ) $
$ ( \overrightarrow{OI} ; \overrightarrow{OD} ) = ( \overrightarrow{OI};\overrightarrow{OC} ) + \pi = \frac{11\pi}{24} + \frac{24\pi}{24} = \frac{35\pi}{24}$

je vais au dodo ,
si tu as ce message ce soit , je te souhaite une bonne nuit
à demain !!

yoshi · 14-03-2017 17:31:53

Bonsoir,

Ok !
Et les points M3 et M4 ? Ceux-là sont bien plus intéressants...

@+

yann06 · 14-03-2017 20:47:06

Bonsoir Yoshi

Il faut utiliser Thalès forme papillon ??

yoshi · 14-03-2017 21:37:08

Re,

Je n'avais pas pensé à ça... Je regarderai demain, mais déjà Thalès n'est pas à utiliser pour les calculs d'angles...

Sur mon dessin, regarde bien (et compare) les angles [tex]\widehat{AM_3B}[/tex] et [tex]\widehat{AOB}[/tex], ça devrait te rappeler quelque chose...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 01-03-2017 19:39:04

triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#2 01-03-2017 21:37:50

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#3 02-03-2017 13:34:56

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#4 02-03-2017 18:24:26

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#5 02-03-2017 19:17:21

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#6 02-03-2017 21:02:24

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#7 02-03-2017 21:07:30

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#8 02-03-2017 21:18:29

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#9 02-03-2017 21:24:45

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#10 03-03-2017 11:46:13

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#11 03-03-2017 13:20:05

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#12 05-03-2017 01:31:02

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#13 05-03-2017 08:10:29

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#14 05-03-2017 19:38:35

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#15 06-03-2017 14:51:34

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#16 06-03-2017 21:46:38

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#17 07-03-2017 17:03:42

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#18 13-03-2017 22:28:22

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#19 14-03-2017 17:31:53

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#20 14-03-2017 20:47:06

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

#21 14-03-2017 21:37:08

Re : triangle isocèle dans un repère trigonométrique

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