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freddy

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Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Hello tutti !

Sur un site de maths sur lequel je ne suis pas inscrit (yoshi connait depuis peu, perso, je n'aime pas trop l'ambiance qui y règne, ni la façon dont il est modéré), j'ai trouvé cette perle.

Soient a, b et c solutions de l'équation [tex]X^3-X-1=0[/tex].

Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] est divisible par [tex]p[/tex]

Comme il est anti pédagogique de laisser traîner des erreurs, il suffit de remarquer que si c'est vrai pour p = 3, c'est faux pour p = 2.

Les gars sont encore en train de chercher la solution ...

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Re,

si a, b et c sont solutions, on a [tex]\begin{cases} a+b+c=0 \\ ab+ac+bc = -1 \\ abc=1 \end{cases}[/tex]

On a aussi [tex]\begin{cases} a^3=a+1 \\ b^3=b+1 \\ c^3=c+1 \end{cases}[/tex]

Donc [tex]a^3+b^3+c^3 = a+b+c+3 =3 \equiv 0 \bmod 3[/tex]

Mais [tex](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]

Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]

QED

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Ostap Bender

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Bonsoir freddy.

[tex](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]

Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]

Je ne vois pas en quoi cela infirme que [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 0 \bmod 2[/tex].

Ostap Bender.

PS. Par ailleurs le résultat est vrai.

Dernière modification par Ostap Bender (30-03-2016 20:15:19)

Terces

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Bonsoir, X est un polynôme ?

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La somme des inverses de la suite de Sylvester converge vers 1 plus vite que toute autre série somme infinie d'inverses d'entiers convergeant vers 1.

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Bonsoir freddy.

[tex](a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2ab+2bc+2ac = a^2+b^2+c^2-2=0 [/tex]

Donc [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 2 \bmod 3[/tex]

Je ne vois pas en quoi cela infirme que [tex] a^2+b^2+c^2 =2 \equiv 0 \bmod 2[/tex].

Ostap Bender.

PS. Par ailleurs le résultat est vrai.

Tu as raison, je m'enduis la tête de cendres ... Quel crétin je fais ... j'avais dans l'esprit de passer de 3 à 5 en utilisant [tex]x^5=x^3+x^2[/tex] pour a, b et c, sommer et ... oublier qu'alors [tex]p = 5[/tex] et rester sur [tex]p=3[/tex].

Et donc, comment tu démontres ce résultat ?
Je vais chercher, mais comme je pars en sucette ...

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Fred

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Hello,

  Je ne suis pas sûr de moi (il est un peu tard), mais j'utiliserais la formule du multinome pour exprimer
[tex]a^p+b^p+c^p[/tex] comme somme de [tex](a+b+c)^p[/tex] et d'un terme qui est divisible par [tex]p[/tex],
car les coefficients multinomiaux non-triviaux sont divisibles par [tex]p[/tex].

F.

Ostap Bender

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Bonjour.

Je me place dans [tex]\mathbb{F}_p[a,b,c][/tex]. D'après Frobenius, j'ai [tex]a^p+b^p+c^p=(a+b+c)^p[/tex].

Reste à démontrer que les polynômes symétriques en [tex]a,b,c[/tex] prennent des valeurs entières aux racines de [tex]X^3-X-1[/tex].

Je me rends compte à l'instant que c'est exactement ce que Fred a écrit...

Ostap Bender

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Salut et merci les gars !

Je vais faire pénitence et m'impose de commencer par vérifier que j'ai bien compris le problème avant de réfléchir, puis de réfléchir avant d'écrire.
Bientôt, c'est moi qui vais demander de l'aide ici :-)
Ce que j'ai lu sur le site en question est assez loin de ça, même s'ils s'en rapprochent et le demandeur indique que son prof a eu recours au "petit" Fermat pour conclure rapidement. Ça vous inspire ?

Encore merci, shame on me !

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freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Re,

j'ai regardé la solution de Fred, très élégante en effet !

Dernière modification par freddy (31-03-2016 09:29:28)

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Fred

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

J'aime beaucoup aussi la rédaction de Ostap Bender. C'est là que je vois que je ne suis pas un algébriste!

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Re,

je partage bien sûr, mais comme toi, je ne suis pas un algébriste, donc ta solution m'est immédiatement plus accessible.

Ce qui me plait dans ton approche est que :

on sait que [tex](a+b+c)^p=0[/tex] puisque a, b et c solutions de [tex]X^3-X-1=0[/tex]

et que le reste de la division par [tex]p[/tex] de [tex](a+b+c)^p[/tex] est nécessairement égal à  [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] ,

donc on a immédiatement [tex]a^p+b^p+c^p \equiv 0 \pmod p[/tex].

C'est quasiment magique :-)

Dernière modification par freddy (31-03-2016 23:19:34)

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freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Ce qui me plait dans ton approche est que :

on sait que [tex](a+b+c)^p=0[/tex] puisque a, b et c sont les solutions de [tex]X^3-X-1=0[/tex]

le reste de la division par [tex]p[/tex] de [tex](a+b+c)^p[/tex] est nécessairement égal à  [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] puisque [tex]p[/tex] premier.

donc on a immédiatement [tex]a^p+b^p+c^p \equiv 0 \pmod p[/tex].

C'est quasiment magique :-)

Dernière modification par freddy (01-04-2016 09:22:11)

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Ostap Bender

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Doucement freddy,

Je reprends le cas [tex]p=3[/tex].

On a [tex](a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc[/tex].

Pour pouvoir écrire [tex] \displaystyle a^3+b^3+c^3 \equiv (a+b+c)^3 \pmod 3[/tex], encore faut-il démontrer que [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b[/tex] et que [tex]abc[/tex] sont des entiers. Ce n'est pas tout à fait évident.

Ostap Bender.

Ostap Bender

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Une (toute petite) généralisation

Soient [tex]a, b[/tex] et [tex] c[/tex] les solutions de l'équation [tex]X^3-X-1=0[/tex].

Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], et tout entier naturel [tex]n[/tex]
[tex]a^{p^n}+b^{p^n}+c^{p^n}[/tex] est divisible par [tex]p[/tex].

Ostap Bender.

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Doucement freddy,

Je reprends le cas [tex]p=3[/tex].

On a [tex](a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)+6abc[/tex].

Pour pouvoir écrire [tex] \displaystyle a^3+b^3+c^3 \equiv (a+b+c)^3 \pmod 3[/tex], encore faut-il démontrer que [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b[/tex] et que [tex]abc[/tex] sont des entiers. Ce n'est pas tout à fait évident.

Ostap Bender.

Re,

oui, tu as raison. On sait que [tex]a+b+c = 0[/tex] ,[tex]abc=1[/tex] et que [tex]ab+ac+bc=-1[/tex]
A partir de là, on en tire des choses, comme par exemple [tex]a^2b+a^2c+abc=-a[/tex]. On répète avec b et c, on somme et on a [tex]a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b +3= 0[/tex].

@+

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freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Salut,

une petite question tout de même : comment être certain que tous les termes du développement multinomial sont bien des entiers ? J'ai bien des idées, mais ce n'est pas trop ma partie, et n'arrive pas à trouver une preuve irréfutable.

Quelqu'un ? Merci par avance de faire simple et pédagogique, pas de faire le "jésuite" qui répond toujours à une question par une question :-)

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Fred

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Ce n'est pas si facile.... J'ai l'impression qu'il faut regrouper les termes et exprimer les fonctions symétriques des racines en fonction des fonctions symétriques élementaires. Bref, il y a tout de même de l'algèbre là dessous!

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Oui, oui, Fred, je me doute bien. Je cherche juste le domaine de l'algèbre à creuser pour bâtir une preuve et n'ai pas envie de chercher partout comme un chien fou :-) ce que je fais en ce moment d'ailleurs.
L'idée que j'ai est la suivante : la suite [tex]u_n= a^n+b^n + c^n[/tex]vérifie la relation de récurrence [tex]u_{n+3}=u_{n+1}+u_n[/tex]
On sait que [tex]u_0 = 3,\; u_1=0,\;u_2=2,\; u_3=3[/tex] et on déduit en particulier (et on a vérifié) que[tex]u_4 = 2[/tex] et  [tex]u_5 = 3+2=5[/tex] par exemple.
Donc on prouve que chaque terme de la suite est un nombre entier.
Reste à établir que si n est premier, alors u_n est un multiple de n.
J'ai déroulé le tapis informatique jusqu'à n = 100 et tout se déroule bien, sauf que bien entendu, ce n'est pas une preuve irréfutable.

Donc quelques indications, briques élémentaires, et je me charge du reste. Par exemple, ce n'est pas sans lien avec les corps finis, et leurs extensions, mais je ne sais si c'est la bonne route et quelles intersections prendre.
Pour la recherche et le upgrading, j'en fais mon affaire, c'est mon "truc" en fait :-)
"never an inch"

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Fred

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Moi, je n'ai besoin que du fait que les fonctions symétriques en les racines prennent des valeurs entières.
La divisibilité par p, je l'obtiens par les coefficients binomiaux (multinomiaux ici). C'est pas très dur à démontrer que si p est premier, alors [tex]\binom pk[/tex] est divisible par p sauf s'il est trivial...

F.

freddy

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Re,

Bon sang, mais c'est bien sûr !
Pour les coeffs multinomiaux, c'était ok, le reste ... La culture, c'est ce qui reste quand on a tout oublié !
Merci !

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Ostap Bender

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Bonsoir Fred.

Qu'il n'y ait pas de malentendu :

Moi, je n'ai besoin que du fait que les fonctions symétriques en les racines prennent des valeurs entières.

Tu ne peux tout de même pas démontrer la proposition que j'ai modifiée :

Soient [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] et [tex]c[/tex] solutions de l'équation [tex]X^3-\sqrt2X-1=0[/tex].

Démontrer que pour tout nombre premier [tex]p[/tex], [tex]a^p+b^p+c^p[/tex] est divisible par [tex]p[/tex]

simplement par la divisibilité des coefficients multinomiaux.

Ostap Bender.

Fred

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Re : Comment le pire peut cotoyer le meilleur ...

Je suis bien d'accord avec toi !