Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Mouhcine

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Montrer une inégalité

Bonsoir à tous, j'ai besoin d'une indication pour les deux questions suivantes:
1) Pour [tex]x,y\geq 1[/tex] Montrer que [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \leq \sqrt{xy}[/tex] ?
2) Pour [tex]a,b \in \mathbb R[/tex], montrer que
[tex](\mid a\mid <1 \, \mbox{et}\, \mid b\mid <1) \Rightarrow \mid \frac{a+b}{1+ab}\mid <1[/tex] ?
Merci d'avance

Fred

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Re : Montrer une inégalité

Salut,

  Une possibilité (sans doute pas la meilleure, mais çà devrait marcher à tous les coups), par exemple, pour la deuxième :
tu fixes [tex]a\in ]-1,1[ [/tex] et tu étudies la fonction [tex] f(b)=\frac{a+b}{1+ab} [/tex]...

F.

Mouhcine

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Re : Montrer une inégalité

Bonjour Fred, et sans utiliser l'étude de la fonction ?

Fred

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Re : Montrer une inégalité

Pourquoi ? Cela ne te plait pas ?

Mouhcine

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Re : Montrer une inégalité

Car j'ai besoin d'une preuve pour un élève qui ne connais pas la dérivée et donc l'étude de la fonction (niveau lycée, la classe de première). Dans le cours de la logique.

Dernière modification par Mouhcine (11-11-2015 00:59:53)

Fred

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Re : Montrer une inégalité

Dans ce cas, tu ferais mieux te poser ta question dans le forum Entraide Collège/Lycée.
En même temps, cela me semble très difficile comme exercice de 1ère.
Sans étudier la dérivée, tu peux sans doute démontrer que la deuxième inégalité, au carré, est vérifiée en te ramenant à l'étude d'un polynôme de degré 2 (il te faudra toujours fixer une des deux variables). Et les élèves de 1ère savent étudier un polynôme de degré 2 sans avoir besoin de la dérivée.

freddy

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Re : Montrer une inégalité

Salut,

en réalité, l'idée de Fred est excellente : il suffit de comparer la droite d'équation [tex]y = a+x[/tex] et celle d'équation [tex]y=1+ax[/tex]. Pas de dérivée, juste faire un graphe avec l'ordonnée à l'origine [tex]a[/tex] comprise entre -1 et +1, idem pour x. Un examen du régionnement et la conclusion tombe toute seule, comme un fruit mûr.
Bon courage !

PS : idem pour la première question.

Dernière modification par freddy (12-11-2015 07:54:19)

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

camille23

Invité

Re : Montrer une inégalité

bonjour,

Bonjour,  je propose :

1+ab est toujours >0 car |a| et |b| sont inférieurs à 1 donc -1<ab<1
cas 1) a+b>0
comparer a+b et 1+ab c'est comparer b(1-a) et (1-a)
comme  (1-a) est toujours >0 c'est comparer b et 1 : on a bien dans ce  sens b<1
cas 2) a+b<0
comparer -a-b et 1+ab c'est comparer -b(1+a) et (1+a)
comme  (1+a) est toujours >0 c'est comparer -b et 1 : on a bien dans ce  sens -b<1

freddy

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Re : Montrer une inégalité

Salut,

en réalité, l'idée de Fred est excellente : il suffit de comparer la droite d'équation [tex]y = a+x[/tex] et celle d'équation [tex]y=1+ax[/tex]. Pas de dérivée, juste faire un graphe avec l'ordonnée à l'origine [tex]a[/tex] comprise entre -1 et +1, idem pour x. Un examen du régionnement et la conclusion tombe toute seule, comme un fruit mûr.
Bon courage !

PS : idem pour la première question.

Salut Yoshi,

si tu avais quelques minutes, ce serait pas mal que tu déplaces ce sujet dans la rubrique collège - lycée, et joigne les deux graphes représentatifs des deux sujets, notamment le second qui montre qu'on a toujours 1+ab au dessus de a+b, établissant la réponse  à chaque question.

Je pense que c'est l'objectif pédagogique des deux questions, comme on faisait de notre temps :-)

Merci d'avance !

PS : d'ailleurs, le titre est explicite "Montrer une inégalité" !

Dernière modification par freddy (12-11-2015 08:48:10)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

camille23

Invité

Re : Montrer une inégalité

Bonjour,

La question 1) n'a pas été traitée
1) Pour [tex]x,y\geq 1[/tex] Montrer que [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1} \leq \sqrt{xy}[/tex] ?

on pose x-1=a et y-1 = b,    a et b tous deux positifs ou nuls et [tex]\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{(a+1)(b+1}[/tex]

en élevant au carré (tout est positif) : [tex]a+b+2\sqrt{ab} \leq ab+a+b+1[/tex]
en simplifiant on a d'évidence [tex]0\leq ab-2\sqrt{ab}+1=(\sqrt{ab}-1)^2[/tex]  un carré est positif.

Doit-on "joindre deux graphes représentatifs des deux sujets"
dont celui de la question 2) jugée "très difficile comme exercice de 1ère" et traité précédemment ?

freddy

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Re : Montrer une inégalité

Salut Camille23,

pour le 1 et le 2, bravo, bonne approche.
Pour le 2, le graphe donne immédiatement le résultat et la manière d'y arriver. Mais reconnais que c'est assez loin d'un niveau d'une classe de  première d'aujourd'hui !?!

Je reprends bientôt la question que tu m'as posée.

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freddy

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Re : Montrer une inégalité

Salut,

j'apprends à insérer des images.
Ci-dessous, mon idée inspirée de la remarque de Fred. J'ai encore des progrès à faire :-)

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freddy

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Re : Montrer une inégalité

Salut,

autre image

J'ai oublié la procédure à suivre avec casimages ... Ô rage, Ô désespoir, ...

Ca revient, merci yoshi sama !

Dernière modification par freddy (15-01-2016 11:55:24)

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yoshi

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Re : Montrer une inégalité

Re,

@freddy
[HS] Peux-tu jeter un œil là-dessus :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 646#p54646
[/HS]

Procédure casimages
1. Aller sur Casimages.com ^_^
2. Cliquer sur Sélectionner des images
3. Farfouiller sut ton disque, sélectionner le nom de l'image
3. Cliquer sur upload
4. Une série de codes s'affiche, choisir pour un forum et relever le code petite image ou grande selon la taille de ton image...

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

freddy

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Re : Montrer une inégalité

Re,

@yoshi, épingle la procédure stp, ma mémoire me trahit chaque jour plus en plus :-)

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