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#1 13-09-2013 11:03:49

madgel
Invité

Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Supposons une suite, faite à partir de 1 auquel, on rajoute 4 puis 2 indéfiniment;
Cela nous donnerais la suite suivante 1+4+2+4+2+4+2+4+2.....infini+4+2+, suite que
je nommerais ligne 1+4+2
         Le résultat de la multiplication  du 5 avec un  nombre premier supérieur ou égal
à 5, se trouve sur la ligne 1+ 4 + 2,  Si  sur la ligne 1 + 4 + 2 , nous prenons tout les
chiffres se terminant par 5 et que nous les divisons par 5 nous devrions retrouver tout
les nombres premiers et leurs multiples.

Début de la liste des multiples de 5 se trouvant sur la ligne 1 + 4 + 2
et en dessous la différence entre eux

5  –  25  –  35  –  55  – 65 – 85 – 95 – 115 – 125 – 145 – 155 – 175
    20     10        20     10     20    10    20    10     20      10       20

Nous  pouvons constater  que les multiples de 5 , se  répètent selon la fréquence:

5 + 20 + 10 + 20 + 10 + 20 + 10  + 20 + 10 + 20 + 10 + 20  + 10 etc....

que nous pouvons décomposer en 5+ (5 x 4) +(5 x 2)  ou   P + (P 4) + ( P 2)

Prenons les résultat obtenus et divisons les par 5

voici ce que nous obtenons:



              Nous pouvons contrôler que les multiples de 5 se trouvant sur la ligne
1 +4 + 2 nous donnent bien les nombres premiers, et  leurs multiples.

25   : 5 =  5                         
35   : 5 =  7                         
55   : 5 = 11                       
65   : 5 = 13                         
85   : 5 = 17                         
95   : 5 = 19                         
115 : 5 = 23
125 : 5 = 25 = 5 x 5
145 : 5 = 29
155 : 5 = 31
175 : 5 = 35 = 5 x 7                                                       
185 : 5 = 37                                                                                                     
205 : 5 = 41                                                                                                     
215 : 5 = 43
235 : 5 = 47
245 : 5 = 49 = 7 x 7
265 :  5 = 53
275 : 5 = 55 = 5 x 11
295 : 5 = 59
305 : 5 = 61
etc.....       

Que vous inspire ce résultat?

#2 13-09-2013 12:52:57

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

Déjà, ce que ça m'inspire, c'est que je tempère mon élan initial pour me montrer civil... ;-)
Ensuite
1. Que tes écarts soient alternativement de 20 et de 10, c'est normal puisque tu ajoutes alternativement 4 et 2 et que tu multiplies par 5...
Bon je pars de 5.
Les multiples consécutifs de 5 vont de 10 en 10.
5+10 = 15. Mais 15 ne peut être dans liste, puisque (on vient d'ajouter 4), on va ajouter successivement 2, 4 2, 4, 2 soit 8 ou 12 mais pas 10.
En poursuivant 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2 : on ajoute 20 --> 25
La nouvelle séquence sera 4, 2, 4 : on ajoute 10 --> 35
La suivante sera à nouveau 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2 : on ajoute 20 --> 55...
Aucune séquence avec le même nombre de 2 et de 4 ne convient :
soit n la quantité de 2 et de 4 : on ajoute 4n+2n= 6n qui ne sera jamais égal à 10 ou 20...
Donc n est soit la quantité de 2 soit celle de 4
Il y aura toujours un 4 ou un 2 de plus que l'autre avec une séquence de longueur impaire.
Cas où la séquence commence par 4 : elle se termine par 4 :
4n +2(n-1)= 6n-2,
Dans ce cas on peut obtenir 10 avec une séquence de 2 nombres 4 et 1 nombre 2 : 4, 2, 4 et pas de solution pou 20
Pour obtenir 20, il faut une séquence commençant par 2 : 2n+4(n-1) = 6n-4
Pas de solution pour 10, mais le nombre de 2 pour obtenir 20 est 4 nombres 2 et 3 nombres 4...

Ta méthode de construction est-elle bien  la suivante parce que moi, je construis la suite :
5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97 101 103 107 109 113 115 119 121 125 127 131 133 137 139 143 145 149 151 [tex]155[/tex] 157 161 163 167 169 173 175 179 181 185 187 191 193 197 199 203 205 209 211 215 217 221 223 227 229 233 235 239 241 245 247 251 253 257 259 263 265 269 271 275 277 281 283 287 289 293 295 299 301
sans multiplication, ni division par 5.
Je l'obtiens ainsi
[tex]\begin{cases}U_0 = 1\\
U_n = U_{n-1}+ 4\text{, si n est impair}\\
U_n = U_{n-1}+2\text{, si n est pair}\end{cases}[/tex]
3. il n'y a aucun nombre pair dans la suite, c'est normal : on part de 1 impair et on ajoute 4 ou 2 : pair + 1 = impair
4. Si j'élimine de la liste les multiples de 5 résiduels, il semble et je dis seulement il semble, qu'il ne reste que des nombres premiers.
Il faudrait encore  prouver quel nombre non multiple de 5 de la liste est toujours un nombre premier...
Et ça c'est une autre paire de manches...
Donc, tu parais avoir construit un crible d'un nouveau (?) genre. C'est curieux !

Mais toi tu remarques encore que les multiples de 5 de la liste une fois divisés par 5 semblent donner des quotients entiers exacts premiers...
Oui, c'est plus curieux !
Reste maintenant prouver que c'est (ou ce n'est pas) toujours vrai...

@+

[EDIT] Ah non, après division par 5, il reste encore des multiples de 5 :
5 7 11 13 17 19 23 [tex]25[/tex] 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 [tex]65[/tex] 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97 101 103 107 109 113 115 119 121 125 127 131 133 137 139 143 145 149 151 155 157 161 163 167 169 173 175 179 181 185 187 191 193 197 199 203 205 209 211 215 217 221 223 227 229 233 235 239 241 245 247 251 253 257 259 263 265 269 271 275 277 281 283 287 289 293 295 299 301 305 307 311 313 317 319 323 325 329 331 335 337 341 343 347 349 353 355 359 361 365 367 371 373 377 379 383 385 389 391 395 397 401 403 407 409 413 415 419 421 425 427 431 433 437 439 443 445 449 451 455 457 461 463 467 469 473 475 479 481 485 487 491 493 497 499 503 505 509 511 515 517 521 523 527 529 533 535 539 541 545 547 551 553 557 559 563 565 569 571 575 577 581 583 587 589 593 595 599 601 605 607 611 613 617 619 623 625 629 631 635 637 641 643 647 649 653 655 659 661 665 667 671 673 677 679 683 685 689 691 695 697 701 703 707 709 713 715 719 721 725 727 731 733 737 739 743 745 749 751 755 757 761 763 767 769 773 775 779 781 785 787 791 793 797 799 803 805 809 811 815 817 821 823 827 829 833 835 839 841 845 847 851 853 857 859 863 865 869 871 875 877 881 883 887 889 893 895 899 901 905 907 911 913 917 919 923 925 929 931 935 937 941 943 947 949 953 955 959 961 965 967 971 973 977 979 983 985 989 991 995 997 1001...
Ce sont donc initialement des multiples de 25...
Après il y a dans la liste initiale les multiples de 125... etc

Et encore après, il reste encore les multiples de 7, 11, 13, 17....

Dernière modification par yoshi (13-09-2013 13:39:44)


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#3 13-09-2013 16:34:33

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

bonjour Yoshi

          Les nombres se trouvant sur la ligne 1+4+2 se multiplient entre eux et le résultat, reste sur la ligne 1+4+2
se sont les nombres que je surnomme les multiples des nombres premiers de la ligne 1+4+2
Une fois ces multiples éliminé il ne reste que les nombres premiers
exemple :

5 x 5   = 25  carré 5
5 x 7   = 35
7 x 7   = 49 carré 7
5 x 11 = 55
5 x 13 = 65
7 x 11 = 77
5 x 17 =85
7 x 13 = 91
5 x 19 = 95
5 x 23 = 115
7 x 17 = 119
11 x 11 = 121 carré 11
5 x 25 = 125
7 x 19 = 133
11 x 13 = 143
5 x 29 = 145
5 x 31 = 155
7 x 23 = 161
13 x 13 = 169 carré 13
5 x 35 = 175
etc...

#4 13-09-2013 20:32:38

yoshi
Modo Ferox
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonsoir,


Je n'ai raconté que des bêtises...
Avec ce que j'avais fait, même si j'éliminais les multiples de 5, je restais donc avec des premiers, certes, mais aussi des multiples de 3, de 7 etc

Je regarderai tes nouvelles explications demain. parce que ce soir, je n'ai pas tout compris à   "Les nombres se trouvant sur la ligne 1+4+2 se multiplient entre eux"...
Demain sera un autre jour.

@+


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#5 14-09-2013 09:23:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

Si je poursuis assez loin ta liste de multiples de 5, j'ai :
5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235, 245, 265, 275, 295, 305, 325, 335, 355, 365, 385, 395, 415, 425, 445, 455, 475, 485, 505, 515, 535, 545, 565, 575, 595, 605, 625, 635, 655, 665, 685, 695, 715, 725, 745, 755, 775, 785, 805, 815, 835, 845, 865, 875, 895, 905, 925, 935, 955, 965, 985, 995, 1015, 1025, 1045, 1055, 1075, 1085, 1105, 1115, 1135, 1145, 1165, 1175, 1195, 1205, 1225, 1235, 1255, 1265, 1285, 1295, 1315, 1325, 1345, 1355, 1375, 1385, 1405, 1415, 1435, 1445, 1465, 1475, 1495
Toi, tu t'es arrêté à 305 dans tes exemples.
D'accord ?

Si je reprends cette liste et que je procède aux divisions par 5, mes quotients sont respectivement :
1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59 61 65 67 71 73 77 79 83 85 89 91 95 97 101 103 107 109 113 115 119 121 125 127 131 133 137 139 143 145 149 151 155 157 161 163 167 169 173 175 179 181 185 187 191 193 197 199 203 205 209 211 215 217 221 223 227 229 233 235 239 241 245 247 251 253 257 259 263 265 269 271 275 277 281 283 287 289 293 295 299
Tu t'es arrêté à 61  (305 = 61 * 5)....
Dans cette liste, si je divise par 5 tous les encore multiples de 5 (donc initialement les multiples de 25), j'obtiens les quotients suivants :
1 5 7 11 13 17 19 23 25 29 31 35 37 41 43 47 49 53 55 59.
Il y a encore des multiples de 5...

Si je résume, ta liste initiale de multiples de 5 est composée de puissances de 5  "complètes" ou de nombres produiot d'une puissance de  5 par un nombre premier (autre que 2 - tous impairs, ou 3 impossible d'avoir un multiple de 3)...
C'est bien ça ?

@+


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#6 14-09-2013 10:39:44

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour Yoshi

        C'est exact, il n'y a aucun multiple de 2 ou 3, pour la bonne raison, qu'ils sont éliminé par
l'addition des carré

je m'explique

la ligne 1+4+2 est dérivé de l'addition des carré dont la somme est divisé par le nombres d'additionné

exemple

1²    il n'y en a qu'un, alors on divise par 1
1²+2²  ils sont 2 , alors on divise par 2
1²+2²+3²   ils sont 3 alors on divise par 3
1²+2²+3²+4²     ils sont 4 alors on divise par 4
1²+2²+3²+4²+5²     il sont 5 , alors on divise par 5
etc...
Dans l'addition des carré , il y a dans la division de la somme un résultat entier pour tout les nombres,
hormis pour les multiples de 2 ou 3 qui donnent un chiffre à virgule,


                 Mu 2-3  = multiples 2 et 3                              P Mp = premiers & multiples de  premiers

                                              Mu 2-3                               P Mp   

0    + 1²       =  1      :                                                     1  =  1
1  +  2²        =   5     :            2   =  2,5
5 + 3²          =   14   :            3   =  4,67
14 + 4²        =  30    :            4   =  7,5
30 + 5²        =  55    :                                                     5  =  11                             
55 + 6²        =  91    :            6   =  15,17
91 + 7²        = 140   :                                                     7  =  20
140 + 8²      = 204   :            8   =  25,5
204 + 9²      = 285   :            9   =  31,67
285 + 10²    = 385   :           10 =  38,5
385 + 11²    =  506  :                                                    11 =  46                                             
506 + 12²    =  650  :           12 =  54,17
650 + 13²    = 819   :                                                    13 =  63
819 + 14²    = 1015 :           14 =  72,5
1015 + 15²  = 1240 :           15 =  82,67
1240 + 16²  = 1496 :           16 =  93,5
1496  +17²  = 1785 :                                                    17 =  105
1785  + 18² = 2109 :           18  =  117,17
2109 + 19²  = 2470 :                                                    19 =  130
2470 + 20² = 2870  :           20 =   143,5
2870 + 21² = 3311 :            21 =  157,67
3311 + 22² = 3795 :            22 =  172,5           

Le premiers résultat qui n'est pas premier est le 25
le suivant 35, puis 49 et c'est là qu'intervient le précédent post :

         Les nombres se trouvant sur la ligne 1+4+2 se multiplient entre eux et le résultat, reste sur la ligne 1+4+2

Remarquez la similitude avec la théorie de Bernhard Riemann
il a trouvé un rapport entre l'inverse des entiers au carré et les nombres premiers
et je trouve un rapport avec les nombres premiers et l'addition des carré
la conclusion que j'en tire c'est que les nombres premiers sont étroitement lié au carré
Qu'en pensez vous?

#7 14-09-2013 12:06:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,


Quel rapport entre ta suite ci-dessus se définissant comme suit :
[tex]\begin{cases}V_0=0\\
V_n=V_{n-1}+n^2\end{cases}[/tex]
et qui génère (je m'arrête à [tex]V_{100}[/tex]) :

1 5 14 30 55 91 140 204 285 385 506 650 819 1015 1240 1496 1785 2109 2470 2870 3311 3795 4324 4900 5525 6201 6930 7714 8555 9455 10416 11440 12529 13685 14910 16206 17575 19019 20540 22140 23821 25585 27434 29370 31395 33511 35720 38024 40425 42925 45526 48230 51039 53955 56980 60116 63365 66729 70210 73810 77531 81375 85344 89440 93665 98021 102510 107134 111895 116795 121836 127020 132349 137825 143450 149226 155155 161239 167480 173880 180441 187165 194054 201110 208335 215731 223300 231044 238965 247065 255346 263810 272459 281295 290320 299536 308945 318549 328350 338350

et la suite de multiples de 5 que tu as utilisée (et que je t'avais rallongée) dans ton premier post :
5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235, 245, 265, 275, 295, 305 ?

Le premiers résultat qui n'est pas premier est le 25

Il est où ? Pas entre [tex]V_1[/tex] et [tex]V_{100}[/tex] !

Si tu posais tout par terre, que tu faisais le tri et que tu nous remettes tout ça dans l'ordre ?
Parce que là, je vois débarquer une suite qui ne figurait dans aucun de tes posts précédents...
Si tu veux briguer la médaille Fields, mon gaillard, il va falloir être plus clair... ^_^

@+

[EDIT]
[tex]\begin{cases}V_0=0\\
V_n=V_{n-1}+n^2\\
V_n=V_{n-2}+(n-1)^2+n^2\\
V_n=V_{n-3}+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2\\
...........................................................\\
V_n=V_0+1^2+2^2+3^2+....n^2\end{cases}[/tex]
Et, moi, je sais alors que :

[tex]V_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

Si ça peut te rendre service...
Parce que [tex]U_{22}=\frac{22\times 23\times 45}{6}=3795[/tex] se calcule vite et on voit facilement les diviseurs.
Autre exemple, sans avoir besoin du résultat :
[tex]V_{33}=\frac{33\times 34\times77}{6}=11\times 17\times 77[/tex]

Dernière modification par yoshi (14-09-2013 12:25:58)


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#8 14-09-2013 15:34:31

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

rebonjour Yoshi

          Je vais essayer d'être plus clair au début de l'histoire, j'ai additionné les carré,
puis je les ai divisé par leur nombre et j'ai constater, que le résultat de la division
était entier à chaque fois que le diviseur était un nombre premier, à l'exception de 2 et 3
Mais arrivé a 25 , j'ai encore obtenus un résultat entier, alors que 25 n'est pas premier.

             A ce stade, j'ai laissé de coté l’interprétation et j'ai continué la même opération
Arrivé à 2000 , j'ai repris les résultats pour les analyser.
25 était le premiers à ne pas être premiers, mais il y en avait d'autre comme lui, qui donnait
un résultat entiers alors qu'ils n'étaient pas premier.
           
J'ai remarqué que les résultat entiers était séparé par des intervalles régulier, ce qui m'a
permis d'en déduire la fonction 1+4+2,   
4 et 2 devenant les coordonnées des résultats entiers et 1 le point de départ de la suite

Restait à donné une interprétation pour le 25 et ses semblables

Les nombres se trouvant sur la ligne 1+4+2 se multiplient entre eux et le résultat,
c'est 25 et ses semblables
se sont les nombres que je surnomme les multiples des nombres premiers de la ligne 1+4+2
Une fois ces multiples éliminé il ne reste que les nombres premiers

Puis j'avais choisis le 5 car ses multiples sont facilement identifiables sur la ligne 1+4+2
il n'y a pas de 0, mais des 5 il y en a
j'ai extrait ces multiples de 5 et les ai divisé par 5 pour voir ce que j'allais obtenir
Je retombe exactement sur la suite originelle

#9 14-09-2013 16:50:37

yoshi
Modo Ferox
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

RE,

Ça commence à s"éclaircir...
Avec ça :

j'ai additionné les carré,
puis je les ai divisé par leur nombre

plus ta liste de divisions, j'en déduis que les quotients de tes divisions successives correspondent à [tex] \frac{V_n}{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}= \frac{(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] pour la colonne Mu 2-3

Je regarderai la colonne suivante plus tard : on m'appelle...

@+


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#10 16-09-2013 15:11:45

yoshi
Modo Ferox
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

Je vois...
Tes 2 colonnes les plus à droites Mu2,3 et Mu,5 correspondent bien aux quotients successifs de Vn par n, soit à
[tex] \frac{(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^2}{3}+\frac{n}{2}+\frac 1 6[/tex].
Pour que ce dernier résultat soit entier il faut que [tex]\frac{n^2}{3}+\frac{n}{2} =\frac{5}{6},\frac{11}{6},\frac{17}{6}\cdots[/tex]
Donc que :
[tex]2n^2+3n = 5, 11, 17\cdots=6k+5,\; k\in \mathbb{N}[/tex]
[tex]k=0 \Leftrightarrow 2n^2+3n = 5[/tex],\; soit n = 1
[tex]k=1 \Leftrightarrow 2n^2+3n = 11[/tex],  n n'est pas entier
[tex]k=2 \Leftrightarrow 2n^2+3n = 17[/tex],  n n'est pas entier
k=3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, n n'est pas entier
[tex]k=10 \Leftrightarrow 2n^2+3n = 65[/tex],   n = 5
Autres réponses
k = 19, 45, 62, 104, 129, 187, 220, 294, 335, 425... et les valeurs correspondantes de n sont n = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35...
Je vais voir si je peux trouver une loi de formation de k, ensuite lesquels donnent des multiples de 5...

Ça risque fort d'être mission impossible...

@+

[EDIT] J'aurais pu l'ajouter tout de suite :
- une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour le choix de k est que 48k + 49 soit un carré parfait.
- Et comme on a [tex]n = \frac{-3+\sqrt{48k+49}}{4}[/tex], la racine carrée doit être un multiple de 4 plus 3

Dernière modification par yoshi (16-09-2013 17:10:51)


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#11 16-09-2013 23:25:10

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonsoir Yoshi

Voici la suite des propriétés de l'addition des carré, mais cette fois uniquement,
l'addition des carré de ceux qui avait donné un résultat exact dans l'addition
des carré des  entiers et à coté une logique en base 12 pour reconstituer le
résultat de la première opération

0      +       1²   = 1         : 1   =   1        →        0    x  1  = 0      +1 =   1
1      +       5²   = 26       : 2   =   13      →        12  x  1  = 12    +1 =   13
26     +     7²    =  75      : 3   =   25      →        12  x  2  = 24    +1 =   25
75     +     11²  = 196    : 4   =   49      →        24  x  2  = 48     +1 =    49                                       
196  +      13² = 365     : 5   =   73      →        24  x  3  = 72     +1 =     73
365  +      17² = 654     : 6   =   109    →        36  x  3  = 108   +1 =    109
654  +      19² = 1015   : 7   =   145    →        36  x  4  = 144   +1 =    145
1015 +     23² = 1544   : 8   =   193    →        48  x  4  = 192   +1 =    193
1544 +     25² = 2169   : 9   =   241    →        48  x  5  = 240   +1 =    241
2169  +    29² = 3010   : 10  =  301    →        60  x  5  = 300   +1 =    301
3010  +    31² = 3971   : 11  =  361     →       60  x  6  = 360   +1 =    361
3971  +    35² = 5196   : 12  =  433    →        72  x  6  = 432   +1 =    433
5196  +    37² = 6565   : 13  =  505    →        72  x  7  = 504   +1 =    505
6565  +    41² = 8246   : 14  =  589    →        84  x  7  = 588   +1 =    589
8246   +   43² = 10095 : 15  =  673    →        84  x  8  = 672   +1 =    673
10095 +   47² = 12304 : 16  =  769    →        96  x  8  = 768   +1 =    769
12304 +   49² = 14705 : 17  =  865    →        96  x  9  = 864   +1 =    865
14705  +  53² = 17514 : 18  =  973     →       108 x  9  = 972   +1 =    973
17514  +  55² = 20539 : 19  = 1081    →       108 x  10= 1080 +1 =    1081
20539  +  59² = 24020 : 20  = 1201    →       120 x  10= 1200 +1  =   1201
24020  +  61² = 27741 : 21  = 1321   →        120 x  11= 1320 + 1 =   1321
27741  +  65² = 31966 :  22 = 1453   →        132 x  11= 1452 + 1 =   1453

#12 18-09-2013 12:08:13

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

bonjour

https://sites.google.com/site/loqiquedespremiers/

Voila pour ceux qui sont intéressé par la répartition des nombres premiers

je suis ouvert au dialogue et j'attend les remarques intelligentes

#13 18-09-2013 14:21:50

yoshi
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

J'attends les remarques intelligentes

Qu'est-ce qu'une remarque intelligente ?
Je me permets de citer La Rochefoucauld :

On ne trouve guère de bon sens que les gens qui sont de notre avis.

Je suis allé consulter ton site...
Premiere remarque.
A l'heure actuelle la définition d'un nombre premier a changé.
Ce n'est plus : "Tout nombre divisible par 1 et par lui-même" qui permettait d'inclure le 1,
mais :
"Tout nombre n'ayant que deux diviseurs" ce qui exclut le 1.
Pourquoi ce changement ?
Est-ce arbitraire ?
Non, il s'agit simplement de rendre vraie l'affirmation : "Tout nombre non premier a une décomposition unique en produit de facteurs premiers".
Bon, la visite de ton site, puis celui de l'Ilemaths http://www.ilemaths.net/forum-sujet-561824.html où tu n'as ni converti ni convaincu personne personne a confirmé ce que je pensais : tu es l'auteur d'une théorie sur la répartition des nombres premiers : cela n'a rien d'étonnant, le sujet restant ouvert et non solutionné, il ne peut que susciter des vocations de défricheur.

Je vois ausi que sur Ilemaths tu as écrit :

Dans mes dires il n'est nullement question de (n+1)(2n+1)/6
À aucun moment je n'utilise cette formule, car je n'en ai pas besoin

Je comprends maintenant pourquoi tu t'es assis royalement sur les formules ci-dessus.

Je te rappelle quand même :
- que tu ne fais rien d'autre que la somme des carrés des n premiers nombres entiers et que, tu le veuilles ou non, la somme des carrés des n premiers entiers vaut
[tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex], ce qui m'épargne, si je veux calculer .....+234501² de calculer tous les nombres intermédiaires...
   La preuve, je lance Python (un langage de programmation) et il me donne instantanément : 4298487027549751.
- que lorsque tu divises ton résultat par n, ici : (.....+234501²) /234501, tu calcules de manière générale :
  [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] que ça te plaise ou non.

234501=78167 * 3 et tant 78167 que 3 sont premiers. 4298487027549751 n'est pas premier (= 173* 24846745823987)

Tiens j'essaie avec 78167 : ....+ 78167² = 159205259947460  et si je divise par 78167 (premier), je trouve : 2036732380.
Ça colle avec ta théorie ou pas ?

Moi, j'en ai terminé avec les calculs théoriques, puisque qu'ils ne t'intéressent pas.

Un conseil désintéressé :
* corrige tes approximations de langage (tu as tendance notamment à mélanger allègrement nombre et chiffre, c'est gênant)
* Corrige (ou fais corriger) tes fautes d'orthographe et de grammaire.
Cela fait, essaie de clarifier l'exposé de ta théorie, puis imprime-la et envoie-la pour examen à des mathématiciens de très haut niveau (en évitant de traîner par exemple Riemann  dans la boue comme tu l'as fait sur Ilemaths...), sois humble et attends.

Pour finir, quand bien même ta théorie serait vraie jusqu'à un nombre n très très grand, cela ne prouverait en aucun cas qu'elle est toujours vraie : jusqu'à ce qu'on la démolisse ou qu'on trouve une démonstration générale, elle resterait une conjecture...

@+


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#14 18-09-2013 17:06:09

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonsoir YOSHI

Merci de vos conseils

#15 18-09-2013 19:29:04

yoshi
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonsoir,

Sur ton site, tu écris :

A la question piège , ou ont vous demande : qui est l'inventeur des chiffres, des nombres tout le monde vous dira : c'est les indiens, les arabes , les romains, les grec etc.... erreur ils se trompent ! Tous.
(...)
             0-1-2-3-4-5-6-7-8 et 9, ce sont ces 10 chiffres , qui sont à l'origine de tout les nombres que nous connaissons, (...)

Là, il y a une grosse imprécision.
Toujours la confusion entre nombre et chiffre.
Qu'est-ce un nombre ? Ici, un nombre entier est le nom donné à une quantité...
Par exemple : {a,a,a,a} et {b,b,b,b,b} sont deux listes qui contiennent chacune un nombre différent d'éléments...
Oralement, ces nombres sont désignés par des sons.
Le son correspondant au nombre d'éléments de la 1ere liste s'écrit quatre, quatro, cuatro, four, vier,  четыре (phonétiquement : tchétirié ) en français, italien, espagnol, anglais allemand, russe...
Est-ce à dire qu'il ne s'agit pas du même nombre ? Bien sûr que si, mais ce nombre porte un nom qui diffère selon les langues....
Les nombres sont préexistants aux chiffres : même illettré, pourvu que je sache compter, je sais dire combien d'éléments contient chacune des deux listes.

La parole a existé avant l'écriture, tu en conviendras, j'espère...
Lorsqu'ils ont commencé à avoir besoin de distinguer différents nombres d'objets, animaux, outils... etc et de s'en souvenir d'une fois sur l'autre pour eux ou pour d'autres, ils ont commencé par exemple par tracer des barres sur des rochers, ou en gravant des bâtons, des planchettes..., les rayer, les surcharger : on peut voir là l'origine des chiffres romains (Cf Georges Ifrah Histoire universelle des chiffres - http://www.amazon.fr/Histoire-universel … 2221057791)
Le chiffres ! Nous y voilà...
Les romains avaient inventé une façon d'écrire les nombres en utilisant de petits symboles se composant entre eux :
[tex]I,\; V,\; X,\; L,\; C,\; M,\; \dot X,\; \dot C \cdots[/tex]
Mais ces chiffres ne facilitaient pas les opérations.
Tu peux remarquer que écrire des nombres pour en faire la somme comme quatre + dix = ? n'est pas plus pratique pour nous que pour un romain avec ses chiffres : IV + X = ?

Et pourtant les romains comptaient aussi en base dix...
Heureusement pour eux, ainsi ceux qui savaient utilisaient des abaques (planchettes de bois creusées en plusieurs colonnes : unités dizaines, centaines, milliers ... et y disposaient des petits cailloux (calculi au pluriel, calculus au singulier) : chaque fois que dix cailloux figuraient dans une colonne, ils les retiraient et ajoutaient un caillou dans la colonne suivante (l'ancêtre de notre retenue)...
D'où le mot actuel de calcul.
Au passage, je te signale que le mot calcul désignant ces petites concrétions qu'on trouve parfois dans les reins ou les vésicules biliaires ont la même origine : ce sont des petits cailloux, des "calculi"....

Bon, j'abrège...
Les premiers chiffres tels qu'ont les connaît, sont apparus grâce au pape Gerbert d'Aurillac dessinés sur des jetons en corne, sauf le zéro (on laissait un trou).
Donc, les romains tout comme nous, calculaient en base dix.
Ce qui n'a rien à voir avec l'écriture : en base dix signifie simplement que dix unités d'un ordre quelconque valent une unité de l'ordre immédiatement supérieur.
Pourquoi cette base dix ? On n'a pas de réponse formelle. On pense comme on a dix doigts que c'est pour ça...
Simplement la numération romaine était une numération à caractère additif ou soustractif (I devant V : on soustrait le I au V, I après V on ajoute le I au V).
Nous avons choisi dix dessins, dix symboles pour écrire les dix premiers nombres entiers. Et nous avons tiré les conséquences du procédé des abaques romaines en utilisant une numération de position : c'est la place du chiffre dans le nombre qui donne sa valeur.
Pourquoi cette base dix ? On n'a pas de réponse formelle. On pense comme on a dix doigts que c'est pour ça... Note au passage que le mot vingt n'est pas d'origine de la base dix, contrairement à trente, quarante, cinquante. On a aussi dix doigts de pieds et certaines peuplades ont compté en base vingt...

Remarque puisque tu parles de base douze... Logiquement avec une numération de position on utilise alors douze chiffres pour écrire les nombres dans cette base :; douze, c'est un paquet de douze et zéro unité. Douze en base douze s'écrit donc 10...
Oui mais alors et dix et onze ? Bin, il a fallu "inventer deux chiffres supplémentaires : on ne s'est pas foulé, on a pris A et B...
De même les programmeurs en langage machine utilisent la base seize qui comprend... seize chiffres :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
On ajoute & ou # devant pour signaler cette base. En Maths on écrit par exemple [tex]\overline{AAFF}^{16}[/tex]....
[tex]\overline{AAFF}^{16}[/tex] vaut en base dix : [tex]16^3\times 10 + 16^2 times 10 + 16 \times 15 + 15 = 43775[/tex]

Les chiffres ne s'additionnent pas, ne se soustraient pas... puisque ce sont des dessins, les représentations graphiques des dix premiers nombres. Je dessine 9 croix, j'en ajoute une, il y en a une de plus, après le nombre 9, j'écris comment son suivant, puisque je ne dispose que des dessins 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ? Constatant que je dispose d'un groupe complet de dix croix et qu'aucune ne figure à côté, la règle de la numération de position dit que j'écris 10 en utilisant deux symboles...
Ce problème ne se pose pas là en base douze ou seize, mais respectivement après B et F. Pour le même motif, on écrit alors [tex]\overline{10}^{12},\;\overline{10}^{16}[/tex]

@+


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#16 18-09-2013 21:31:09

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Rebonsoir Yoshi

Je vous remercie infiniment de l'attention, que vous avez daignez m'accorder.
Et surtout j’apprécie, vos commentaires, car ils sont très instructifs et soyez sur que je vais en tenir compte pour revoir ma copie

#17 19-09-2013 19:03:26

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Re,

Je vous remercie infiniment de l'attention, que vous avez daignez m'accorder.

Oh mais, je ne fais pas de complexe de supériorité : je ne considère pas que tu n'es pas digne d'attention parce que tu n'es pas un matheux.
Même si globalement, je suis d'accord avec ce qui a pu être dit sur ta théorie ailleurs, donc sur le fond, je suis en désaccord sur la forme.
Ici, nous avons déjà eu des "génies méconnus" et leurs théories étaient telles qu'un jour, on a sit : stop ! on ferme...
On n'en est pas encore là...
Je suis en train de collationner les points que je considère discutables et là je manque de temps ( je suis sur un montage video qui doit tourner en boucle pour une expo de 6 mois et ça me prend du temps).
J'y reviendrai.
En attendant un exemple.
Sur ton site, un titre en rouge :
La somme des carrés des premiers divisé par un entier = un entier.
Racoleur, accrocheur, mais inexact : dans ta liste de carrés de premiers figurent déjà 25 et 35.
En fait de carrés de premiers, il s'agit de carrés de des impairs non multiples de 3.
En guise de délassement (!), à partir d'un nombre impair donné, non multiple de 3, je cherche une formule génération de de génération des n°s d'ordre (tes entiers).
Parce que je veux vérifier si ce que tu montres est toujours vrai ou pas : ce point m'intéresse.
Moi, je ne vois là aucune forme d'intervention divine, simplement un défi à mes capacité calculatoires.
1544 + 25^2 = 2169  =  9 x 261 : 25 est l'impair n° 9 dans ta liste.
25 = 12 x 2 + 1
25 est donc le 13e nombre impair...
Mais tu retires les multiples impairs de 3 : 3, 9, 15, 21 soit 4 nombres impairs. 25 est donc le 9e nombre impair de ta liste...
Je veux pouvoir :
1. Donner l'écriture de n'importe quel nombre impair non multiple de 3.
2. Trouver le n° d'ordre de ce nombre impair
3. Trouver la formule générale de la somme des carrés de ces nombres impairs non multiples de 3

Si je réussis, je pourrais savoir si ta remarque intrigante est toujours vraie ou pas.
Le seul point qui m'inquiète un peu est le n°3 : vais-je y arriver ?

Autre chose.
Tu écris aussi :

  L'avantage avec 1+4+2 nous pouvons engendrer la suite des jumeaux, ce que l'on ne peut pas faire directement avec 6k+-1 ou Eratoshène

Et tu donnes en exemple :

(17 x 4) + (17 x 2) + 1 = 103 qui est premier
(103 x 4) + (103 x 2) + 1 = 619 qui est premier
(619 x 4 )+ (619 x 2) + 1 = 3715 qui est multiple de 743 qui est premier
(3715 x 4) + (3715 x 2) + 1 = 22291 qui est premier

Mais si j'appelle k le nombre de départ ici 17, 103, 619 ou 3175, je peux résumer les calculs ci-dessus en écrivant : k x 4 + k x 2 + 1...
D'accord ?
Et bien
4k + 2 k = 6k et k x 4 + k x 2 + 1 = 6k+1
(17 x 4) + (17 x 2) + 1 = 17 x 6 + 1 = 102 + 1 = 103
Alors ? Tu as pourtant écrit, je cite de nouveau : L'avantage avec 1+4+2 nous pouvons engendrer la suite des jumeaux, ce que l'on ne peut pas faire directement avec 6k+-1
Tu vois bien que tu fais la somme des produits d'un nombre par 4, du même nombre par 2 et de 1, soit la somme du produit de ce nombre par 6 et de 1.
Alors ?

Je ne discute pas de ton histoire de jumeaux, je n'ai même pas regardé pour le moment, je pointe siplement que les exemples que tu donnes sont en contradiction avec ce que tu annonces...

Crois bien que si moi, simple matheux de base, je relève ces points, un matheux de haut niveau tombera aussi dessus du premier coup, ce qui, à tort ou à raison, discréditera immédiatement ton travail, et il n'ira pas plus loin...

Je n'ai pas fini...

@+


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#18 19-09-2013 22:43:01

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

re Yoshi

Grace à vos commentaire , j'ai fais des modification pour lever les ambiguités

"La somme des carrés des premiers divisé par un entier = un entier" .  si j'ai dis = un entier c'est parce-que je n'ai pas réussis a définir à quoi correspondent  les résultats , la seule chose qui est visible, c'est que c'est des nombres entiers, c'est pour ça j'ai dis = un entier et pour corriger la phrase , je viens d'effacé le mot premier, bien que je me doute que ce n'est pas encore la bonne phrase. à défaut de mieux

"Mais tu retires les multiples impairs de 3 : 3, 9, 15, 21 soit 4 nombres impairs" , je n'ai rien retiré de ma propre volonté, c'est l'addition des carré qui les a éliminé

  L'avantage avec 1+4+2 nous pouvons engendrer la suite des jumeaux, ce que l'on ne peut pas faire directement avec 6k+-1 ou Eratoshène  , je viens de rajouter le mot d'une traite, "nous pouvons engendrer d'une traite la suite des jumeaux;

  Grace à vos remarques je peut corrigé et clarifié les choses, je reconnais que ce site est loin d'être au point, mais avec le temps et grâce à des gens comme vous, il deviendra plus précis, j'avais l'intention de faire un site un peu plus professionnel, mais pour le moment j'ai d'autre soucis plus urgent,mais ça c'est une autre histoire.
encore merci pour votre aide

#19 20-09-2013 07:51:46

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

"Mais tu retires les multiples impairs de 3 : 3, 9, 15, 21 soit 4 nombres impairs" , je n'ai rien retiré de ma propre volonté, c'est l'addition des carré qui les a éliminés

Désolé, mais ou c'est mal exprimé ou si c'est vraiment le fond de ta pensée, tu sombres dans le ridicule !
"c'est l'addition des carré qui les a éliminés" : l'addition des carrés n'est pas une entité pensante et décidante, c'est une opération. Et une opération, jusqu'à preuve du contraire, n'a pas de volonté propre, elle ne décide rien, elle n'est pas dotée d'intelligence, de capacités de réflexion.
C'est toi qui a décidé de ne faire la somme que des impairs multiples de 3 : il n'y a rien de dérangeant à le reconnaître.
Pour que ta remarque fonctionne, il faut bien retirer ces multiples de 3, sinon ça ne marche pas.
Je t'ai dit que la relation que tu mise en lumière m'intriguait et que j'allais chercher à savoir si c'est toujours vrai ou pas : si c'est le cas, il y aura là une relation que personne, à ma connaissance (mais je suis très loin de tout savoir), n'aura encore mis à jour.

"La somme des carrés des premiers divisé par un entier = un entier"

Que le mot entier ne soit pas assez précis n'est pas très important pour le moment : tu pourras toujours rectifier le tir plus tard.
Non, ce qui me gênait, c'était bien le mot "premiers" qui était faux puisque tu as pris la liste des nombres impairs privée des multiples de 3.

En ce qui concerne ton site, il y a deux aspects
- L'aspect technique. Chacun fait ce qu'il peut avec ses connaissances, ce n'est pas si important que cela : condition sine qua non...
- Le contenu sous deux aspects
  *  La présentation de ta théorie : l'ordre dans lequel tu  présentes tes idées
  *  Les preuves que tu apportes et les démonstrations de ce que tu avances
  Et ça, c'est le reflet fidèle de la clarté de ce qu'il avance dans le cerveau de l'individu.

Pour l'instant ton site n'apporte aucune preuve mathématique de ce que tu avances, tu formules des conjectures étayées par des exemples numériques en quantité importante et qui semblent te donner raison.

Pour fournir des preuves, il faudra étayer ce que tu dis par des formules générales littérales...
As-tu le niveau pour ?
Moi, je te l'ai dit, je ne suis pas sûr d'arriver au bout de ma recherche de preuve générale sur le point précis de la somme des carrés des impairs non multiples de 3. Mais je vais essayer...
Je vais d'abord voir avec de très grands nombres ce qu'elle donne.
Par très grands nombres, je n'entends pas nombres à 6 ou 7 chiffres, mais de l'ordre de plusieurs milliers de chiffres, puisque le langage de programmation Python en travaillant avec des nombres entiers n'a comme limites que celles de la machine sur laquelle il est installé.

@+


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#20 20-09-2013 09:03:12

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour Yoshi

quand je dis que c'est l'addition des carré, qui à éliminé les multiples de 3, c'est par rapport à cette opération, qui donne un résultat à virgule pour 2 et 3 et leurs multiples et un résultat entier pour les autres

                                             
0    + 1²       =  1      :                                                     1  =  1
1  +  2²        =   5     :            2   =  2,5
5 + 3²          =   14   :            3   =  4,67
14 + 4²        =  30    :            4   =  7,5
30 + 5²        =  55    :                                                     5  =  11                             
55 + 6²        =  91    :            6   =  15,17
91 + 7²        = 140   :                                                     7  =  20
140 + 8²      = 204   :            8   =  25,5
204 + 9²      = 285   :            9   =  31,67
285 + 10²    = 385   :           10 =  38,5
385 + 11²    =  506  :                                                    11 =  46                                             
506 + 12²    =  650  :           12 =  54,17
650 + 13²    = 819   :                                                    13 =  63
819 + 14²    = 1015 :           14 =  72,5
1015 + 15²  = 1240 :           15 =  82,67
1240 + 16²  = 1496 :           16 =  93,5
1496  +17²  = 1785 :                                                    17 =  105
1785  + 18² = 2109 :           18  =  117,17
2109 + 19²  = 2470 :                                                    19 =  130
2470 + 20² = 2870  :           20 =   143,5
2870 + 21² = 3311 :            21 =  157,67
3311 + 22² = 3795 :            22 =  172,5 

Pour extraire des formules générales ou une démonstration, il me manque quelques années d'étude, alors je laisse cette partie à ceux qui ont le niveau,  en ce qui me concerne, mon but était de définir la répartition des nombres premiers, définir leur organisation, il est vrai que je cherche une formule, qui éliminerais les multiples pour ne laisser que les nombres premiers, mais pour le moment c'est un zéro pointé sur cette question
Je me suis penché sur la question que vous avez soulevé, j'ai essayé de trouver une logique, mais il y a des progressions exponentielles et ça aussi ce n'est pas de mon niveau, je continu malgré tout à chercher et qui sait
à plus

#21 20-09-2013 18:05:08

yoshi
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Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Salut,

Essais de calcul
1.
Somme des carrés des impairs non multiples de 3 de 1 à 1234565 :
[tex]209072668052698241 + 1234565^2 = 209074192203437466[/tex]
n° d'ordre : 411522
209074192203437466/411522 = 508051069453 entier

2.
Somme des carrés de 1 à 112345685 :
[tex]157552992763049998850321 + 112345685^2 = 157553005384602936969546[/tex]
n° d'ordre : 37448563
157553018006156324471515/37448563 = 4207184612294905. entier
Ceci ne constitue pas une preuve, mais confirme que ça semble bien marcher...

Il n'y aura pas une formule mais deux, selon que le nombre impair auquel on s'arrête est un multiple de 3 +1 ou +2...
Je continue mes recherches : je suis persuadé que la propriété est vraie, mais il n'y a pas de rapport avec les nombres premiers ...

Informatiquement, écrire le prg de calcul brut est très simple et occupe 6 lignes... Mathématiquement, c'est une autre paire de manches !

c'est l'addition des carré, qui à éliminé les multiples de 3,...

J'avais bien compris comment tu étais arrivé à tes calculs.
Mais je répète que tu ne peux pas écrire cela comme ça : l'addition n'élimine rien du tout, c'est un moyen d'obtenir une somme.
Tu présentes ta suite de calculs, puis tu dit que tu as constaté qu'en éliminant de ton tableau les nombres pairs et les multiples de 3, tu as découvert la curiosité suivante, et là tu donnes ton nouveau tableau avec les quotients qui sont toujours entiers.
Ca c'est correct et c'est suffisamment bizarre pour attiser les curiosités.
Les 2 calculs ci dessus, sont là pour montrer que tu es allé au delà de 121²...

@+


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#22 20-09-2013 19:14:36

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

bonsoir Yoshi
vous dites " je l'ai dit, ça n'a pas de rapport avec les nombres premiers...
vous voyez bien qu'hormis 2 et 3 tout les autres nombres premiers, sont sur la ligne 1+4+2
sur cette ligne 1+4+2 il n'y a que des nombres premiers excepté 2 et 3
et le résultat de la multiplication de ces nombres premiers entre eux et leurs multiples.
les coordonnées +4+2 forment des jumeaux.

Il n'y a que des jumeaux, qui sont de quatre sorte:

les vrai jumeaux, composé de 2 nombres premiers
les faux jumeaux, composé de deux multiples de premiers
les demi jumeaux A, composé  d'un premiers et d'un multiple
les jumeaux B, composé d'un multiple et d'un premiers

Cela explique les écarts séparant deux jumeaux , ces écarts, qui ont été observé
et jamais expliqués,
trouve leurs explication avec la théorie des 4 jumeaux .

Quand je dis c'est l'addition des carré qui a éliminé 2 et 3 et leurs multiples ,
je reconnais que c'est plus de la poésie imagé,
que de la formulation exacte, que requiert la science des mathématiques.
mercis pour vos corrections
et bonne chance , j'espère que vous arriverez à trouver
à
plus

#23 21-09-2013 16:56:23

Jérôme58
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Bonjour,

on peut vérifier que la somme des carrés divisée par le dernier entier (mis au carré dans la série) est un entier pour uniquement n de la forme 6q + 1 et 6q+5, quel que soient q entier.

Dans le cas ou n = 6q+1, on a (n+1)(2n+1) = (6q+2)(12q+6) qui est un multiple de 6 donc S/n = (n+1)(2n+1)/6 est un entier.
Dans le cas ou n = 6q+5, on a (n+1)(2n+1) = (6q+6)(12q+11) qui est un multiple de 6 donc S/n = (n+1)(2n+1)/6 est un entier

pour les autres valeurs de n (6q, 6q+2, 6q+3, 6q+4), on peut voir que 6S/n est soit impair, soit non multiple de 3, et donc que S/n n'est pas un entier.

@+

#24 22-09-2013 10:21:17

madgel
Invité

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

bonjour  Jérome
Pourriez vous me dire que remplace q et que remplace n
et comment vous reconstitué le 5 ?
avec 6q+1
ou 6q+5
ou vous utilisé 6q-1
j'ai pas l'habitude avec les lettre de l'alphabet

#25 22-09-2013 14:51:16

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 761

Re : Répartition des nombres premiers et multiple de 5

Salut,

Jerome a repris ton tableau du post #20 où figure la somme des carrés des nombres entiers consécutifs de 1 à....
On met quoi à ,la place des points de suspension ?
Dans ton tableau : 22..
Moi j'ai testé de 1 à 1000...
Dans le premier cas n = 22 et dans le 2e, n=1000.
n désigne donc le dernier nombre de la liste.
Mais la somme S s'écrit [tex]S=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].
Cette formule est universelle = peut donner le résultat pour n'importe quel nombre remplaçant n, sans avoir besoin de recalculer toutes les sommes précédentes .
Exemples
n = 17 --> S = [tex]S=\frac{17(17+1)(2\times 17+1)}{6}= \frac{17 \times 18 \times 35}{6} = 17 \times 3 \times 35 = 1585[/tex].
n = 22 --> S = [tex]S=\frac{22(22+1)(2\times 22+1)}{6}= \frac{22 \times 23 \times 45}{6} = 11 \times 23 \times 15 = 3795[/tex].

Et toi tu testes les quotients
[tex]\frac S n =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}/ n =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}[/tex]
Soit [tex] \frac{(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] après simplification par n...
Tu as voulu montré que si  le dernier nombre de la somme , n, est multiple de 2 ou 3...
Comment écrire un nombre entier n quelconque pour qu'il ne soit ni multiple de 2, ni multiple de 3 ?
S'il n'est ni multiple de 2 et de 3 il n'est pas un multiple de 6.
Tout multiple de 6 s'écrit 6k, k étant un entier naturel quelconque : multiplier 6 par un nombre quelconque donne un multiple de 6...
D'accord ?
Alors les nombres non multiples de 6 s'écrivent :
6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4 ou 6k+5.
Mais 6k+2 = 2(3k+2) multiple de 2, 6k+3 =3(2k+1) multiple de 3, 6k+4 = 2(3k+2) multiple de 2.
Dons les seuls nombres n ni multiples et ni multiples de 3 n'ont que deux formes : 6k+1 ou 6k+5 où k est un entier naturel quelconque...
Exemple : n = 23 = 6 * 3 + 5  et k = 3, 43 = 6 * 7 + 1 et k = 7...
Chercher la valeur de k correspondant à un nombre n dont on ne précise pas la valeur n'a aucun intérêt... L'intérêt est de savoir que ce nombre k existe et qu'on peut le trouver si on donne la valeur de n...

Donc soit n est de la forme 6k+1 ou 6k+5.
Et Jérome a testé les quotients [tex] \frac{(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] en remplaçant n
* par 6k+1 : [tex]\frac{(6k+1+1)(2\times (6k+1)n+1)}{6}=\frac{(6k+2)(12k+3)}{6}= \frac{2\times(3k+1)\times 3\times(4k+1)}{6}= \frac{6(3k+1)(4k+1)}{6}[/tex]
Et tu vois bien que la fraction se simplifie et que le quotient est un entier...
* par 6k+5. Dans ce cas le 1er facteur vaut 6k+6 qui se factorise en 6(k+1) et qui est un multiple de 6... Donc simplification par 6 et on obtient un quotient entier exact.

Jérôme prouvé ainsi qu'il est toujours vrai que la somme des carrés des nombres entiers consécutifs de 1 à un nombre quelconque divisée par ce nombre n, s'il n'est multiple de 2, ni multiple de 3, donne un quotient exact.
Maintenant il reste à prouver que si ce nombre n est un multiple de 2 ou de 3, il n'y a pas de quotient entier exact, ce qu'il a fait.

Quel intérêt ? n étant un nombre donné mais quelconque, ce qui a été montré ci-dessus ne dépendant pas de la valeur de n est vraie quel que soit n...
Tu as ainsi une preuve mathématique irréfutable que l'observation faite dans ton tableau post #20 est vraie pour tout n : tu pourras bien choisir le nombre n que tu veux, tu feras la même constatation...
Je prends un nombre au hasard :
10345567 (non multiple de 6)
(10345567+1)(2*10345567+1)= 214061544139680 et 214061544139680/6 = 35676924023280

Tu as là, une première preuve mathématique de ce que tu dis dans ton tableau est vrai : personne ne sera en mesure de le contester.

@+


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