Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 18-10-2012 20:47:07

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Bonsoir,

Un triangle ABC, non rectangle, est inscrit dans un cercle de centre O. Soient H l'orthocentre du triangle, D le point diamétralement opposé à A sur le cercle et M le milieu de [BC].
1)    Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles.
2)    Le point D se projette orthogonalement sur (AH) en un point E. Montrer que le point E est sur le cercle.
3)    Démontrer que BDCH est un parallélogramme.
4)     Montrer que M est le milieu de [HD]. En déduire que (BC) est la médiatrice de [HE]
5)    Montrer alors que E est le symétrique de H dans la symétrie d'axe (BC).

Ce problème est plus accessible en 3e : la maturité supplémentaire (pour certains) aide...
Là où on voit que ce problème date est la mention de "projection orthogonale" : c'est terminé. On parlerait maintenant de "pied de la perpendiculaire..." ou de hauteur...
Le mot (et seulement le mot) orthocentre est hors-programme...

@+

[EDIT]
Pour avoir une idée des savoirs disponibles à ce niveau : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 554#p36554


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#2 20-10-2012 09:11:06

jpp
Membre
Inscription : 31-12-2010
Messages : 971

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

salut.

une réponse

    1)    Montrer que les triangles ABD et ACD sont des triangles rectangles.

         D étant diamètralement opposé à A  --->   DA   est un diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC . alors les 2 angles  inscrits [tex]\widehat{ABD} \;  et  \;   \widehat{ACD}[/tex] interceptent  un arc de valeur 180° . Ils sont donc droits .

         conclusion: les triangles ABD & ACD  sont rectangles .

    2)    Le point D se projette orthogonalement sur (AH) en un point E. Montrer que le point E est sur le cercle.

          l'angle [tex]\widehat{AED}[/tex] est donc un angle droit , et comme il intercepte un arc de 180° ,  du double de sa valeur , alors il est inscrit dans le cercle de centre O de rayon OA  --->  le point  E [tex]\in[/tex] au cercle (C)

      3)    Démontrer que BDCH est un parallélogramme.

           si H est l'orthocentre du triangle ABC , alors CH  [tex]\bot[/tex]  à AB avec  BD aussi  [tex]\bot[/tex] à AB

                                                                                 BH  [tex]\bot[/tex]  à AC avec  CD aussi  [tex]\bot[/tex] à AC   

            dans le plan , lorsque 2 droites sont perpendiculaires à une troisième , ces 2 droites sont parallèles   .

             CH // BD   ,   BH // DC   --->  le quadrilatère BHCD est un parallèlogramme

      4)     Montrer que M est le milieu de [HD]. En déduire que (BC) est la médiatrice de [HE]     

             comme les diagonales d'un parallèlogramme se coupent en leurs milieux , et que M est le milieu de BC , M est aussi le milieu de HD .

       
       5)    Montrer alors que E est le symétrique de H dans la symétrie d'axe (BC).   


            On sait que AH [tex]\bot[/tex]  à BC      &  AH  [tex]\bot[/tex]  à ED  ---->  BC // ED     

             Les 2 droites supports de HE & HD  sont sécantes en H   ; en  appliquant le théorème de Thales , et si HE coupe BC en N ,il vient:

                [tex]\frac{HM}{MD} = \frac{HN}{NE} = 1[/tex] 

                HE étant perpendiculaire à BC  , alors  E est le symétrique de H   avec la symétrie d'axe BC.

                                                                                                                                                                          à plus.

                           


Dernière modification par jpp (20-10-2012 09:15:13)

Hors ligne

#3 20-10-2012 09:37:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Re,

Je sais, je suis pénible...
Les angles inscrits et au centre --> prog de 3e pas de 4e...
Je donnerai pour chacun des 2 niveaux (4e) et 3e), en spoiler, une rédaction propre de la démonstration : on leur demande de citer à chaque fois le théorème sur lesquels ils s'appuient. Ça va me prendre un certain temps et même un temps certain (sauf si j'ai conservé les corrigés donnés à l'époque), parce que ça va être assez long : bien plus que tu n'as pu le penser.
En général, ils se refusent à apprendre par cœur les théorèmes du cours (ça ne sert à rien ! vaut mieux comprendre... : d'accord, mais...), et bin, ils se retrouvent un peu gênés aux entournures...

Enfin, bravo quand même parce que tu as probablement été gêné par ta méconnaissance des théorèmes appris en 4e... et c'est bien normal.
Il va falloir que je relise ta démo du 5) via Thalès (comme ça --> 3e) avec un dessin, parce que comme ça, "à l'aveugle" comme on dit aux échecs, je ne vois pas tout à fait...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#4 20-10-2012 12:03:29

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Re,

Voilà la démo promise rédigée à partir d'un triangle ayant 3 angles aigus.
Bien entendu, nous n'attendions pas que nos élèves soient capables de rédiger ainsi, mais au moins de s'en approcher...
Ils s'en approchaient plus ou moins selon leur bonne bonne volonté et leurs capacités.
Moi, lors des corrections, j'étais intransigeant sur les notations (bcp de rouge !), sans conséquences sur les notes, sur les justifications.
Les vieux machins dans mon genre, tenaient à "Par hypothèse", "Par construction", voire à "Par démonstration"...
Les "p'tits jeunes" -moins de 40 ans :-) - se contentaient de : "On sait que"...
Personnellement, si je savais que deux droites étaient telles que [tex](AB)\perp (BC)[/tex] et qu'un point E était sur (AB) par exemple, je n'écrivais jamais directement que [tex](EA)\perp (BC)[/tex] ou [tex](EB)\perp (BC)[/tex] : je le faisais toujours en 2 fois, mais tolérait que les élèvent le fissent.

Encore un point.
Lors de la rédaction deux "écoles" coexistent :
- celle qui rassemble les infos nécessaires, cite le théorème tel que donné dans le manuel ou le cahier, puis conclut...
- Celle qui rassemble les infos nécessaires puis conclut par une citation du théorème adapté au cas particulier du dessin (noms des points). J'étais de celle-ci.

Qui a l'habitude voit que ces problèmes de géométrie sont le pendant du chemin balisé par "Le petit poucet" et qu'il faut donc se laisser guider par les questions...
Un mien camarade, prof de techno (je cite toujours le même) regrettait beaucoup que dans les énoncés de maths ne figurassent point d'informations inutiles...

Ma rédaction

121020020418957396.jpg

1. Par hypothèse, D est diamétralement opposé à A sur le cercle (O)
Donc [AD] est un diamètre de ce cercle.
Le point B appartenant au cercle de diamètre [AD], le triangle ABD est donc rectangle en B.
On démontrerait de même que le triangle ACD est rectangle en C

2. Par construction, E est le pied de la perpendiculaire abaissée de D sur (AH). L'angle [tex]\widehat{DEA}[/tex] est donc droit et le triangle DEA, rectangle en E.
Le triangle DEA, rectangle en E est donc inscriptible dans le cercle qui a pour diamètre l'hypoténuse [AD] de ce triangle.
Le point E appartient bien au cercle de diamètre [AD].

3. Par hypothèse, H est l'orhocentre du triangle ABC, donc les droites (BH) et (CH) qui passent par les sommets B et C de ce triangles et ce point H sont des hauteurs de ce triangle.
Les droites (BH) et (CH) hauteurs du triangle ABC sont respectivement perpendiculaires aux côtés (AC) et (AB) :
[tex](BH) \perp (AC)[/tex]    et    [tex](CH) \perp (AB)[/tex]
Or, par démonstration, les triangles ABD et ACD sont respectivement rectangles en B et C.
Donc [tex] (BD) \perp (AB)[/tex] et  [tex](AC) \perp (CD)[/tex]
On a donc notamment :
[tex]\begin{cases}(BD) \perp (AB)\\(CH) \perp (AB)\end{cases}[/tex]
Les deux droites (BD) et (CH), toutes deux perpendiculaires à la même droite (AB), sont donc parallèles :
            (BD) // (CH)
On démontrerait de même, en utilisant les droites (BH), (CD) et (AC) que les droites (BH) et (CD) sont parallèles :
            (BH) // (CD)
Le quadrilatère BDCH qui a ses 4 côtés parallèles 2 à 2 est donc un parallélogramme.

4. Le quadrilatère BDCH étant un parallélogramme, ses diagonales [BC] et [DH] ont donc le même milieu.
Or, par hypothèse, M étant le milieu de [BC], l'une des diagonales, est donc aussi le milieu de l'autre : M est le milieu de [DH].
Par construction on, sait que [tex](AE) \perp (DE)[/tex].
Par construction, le point H est sur (AE), donc [tex](HE) \perp (DE)[/tex].
Or (AH) passant par A et l'orthocentre H est la hauteur relative à (BC)
Donc [tex](AH) \perp (BC)[/tex] et puisque E est sur (AH) : [tex](EH) \perp (BC)[/tex].
On a donc :
[tex]\begin{cases}(EH) \perp (BC)\\(EH) \perp (DE)^{\;(*)}\end{cases}[/tex]
Les 2 droites (BC) et (DE), toutes deux perpendiculaires à (HE), sont donc parallèles :
(BC) // (DE).
Donc dans le triangle HED la droite (BC) qui passe par le milieu M du côté [HD] parallèlement au côté (DE) coupe le 3e côté [HE] en son milieu. Soit I ce point.
La droite (BC) perpendiculaire au milieu I du segment [HE] en est donc la médiatrice.
(On pouvait aussi passer par [ME], montrer que c'est une médiane en déduire l'égalité EM = MH, en déduire que M est sur la médiatrice. Et ajouter la perpendicularité pour conclure que cette médiatrice passe par I pied de la hauteur, donc que c'est (MI) donc (BC)...)

5. La droite (BC) étant la médiatrice du segment [HE], les points H et E sont donc symétriques dans la symétrie d'axe (BC).

(*) modifié suite à la remarque de totomm

Ça fait quand même beaucoup de choses à retenir pour un élève de 4e, même si on commence à entrevoir ce qu'est une démonstration rigoureuse en 5, voire en 6e.
Mais çela dépend aussi des individus : certains préparent le lit de la 4e dès la 6e avec le peu d'éléments disponibles, en tenant de l'âge, du public, de sa qualité intrinsèque de sa réceptivité..
Et il faut le faire sinon, le choc est terrible en 4e : la géométrie est souvent un os qui reste en travers de la gorge de beaucoup...
Le présent devoir n'était pas donné en Interro mais en devoir à la maison :
- avantage : ils avaient une semaine et la consigne de revenir me voir aussi souvent que nécessaire, même en dehors de mes heures de maths avec eux (Responsable informatique, je passais beaucoup de temps dans le collège...)
- inconvénient : j'avais droit à n variantes de ce que j'appelle la "fable du moine et des copistes"... x fois la même ânerie reproduite sur chacune des copies de chaque variante : sans aucun effort d'adaptation, brutes de décoffrage...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#5 20-10-2012 13:46:31

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Bonjour,

@ yoshi : Tout à fait d'accord sur les principes.
j'ai regardé avec intérêt votre rédaction car j'avais traité facilement le problème sans le rédiger.
Eh bien j'ai décroché sur la rédaction de la question 4 et j'ai cherché un moment pourquoi.

Ne le prenez pas pour une critique mais plutôt pour un questionnement :
il ne fallait pas que je me focalise sur le rappel
[tex]\begin{cases}(EH) \perp (BC)\\(EH) \perp (DC)\end{cases}[/tex]
avec la ligne suivante qui ne collait pas dans mon esprit (par réflexe automatique ?)
"Les 2 droites (BC) et (DE), toutes deux perpendiculaires à (HE), sont donc parallèles "

car il faut lire
[tex]\begin{cases}(EH) \perp (BC)\\(EH) \perp (DE)\end{cases}[/tex]
et je me disais que vous ne pouviez pas avoir fait d'erreur...

Cordialement

Hors ligne

#6 20-10-2012 14:27:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Re,

et je me disais que vous ne pouviez pas avoir fait d'erreur...

Plus ou moins rédigé à l'aveugle donc tout est possible...
Bien malin serait qui prétendrait ne pouvoir se tromper... !

J'ai d'abord tapé via le traitement de texte, puis j'ai copié/collé et là, une cascade de messages d'erreurs et j'ai fini par trouver que le spoiler considérait [ EM] comme une balise : là encore d'où l'insertion d'une espace, alors j'ai écrit [ME]...
Alors entre les différents couper/recoller plus ou moins adroits pour trouver les erreurs, je ne sais plus ce que j'ai fait ou pas...

Je mets une rectification tout de suite...

Et mis à part cette malencontreuse "coquille", cela vous inspire quoi ?

Il était évident que vous ne rencontreriez aucune difficulté : nous ne sommes qu'au niveau 4e quand même ! Mais j'insiste pour que le lecteur non averti ne se fasse pas de fausses idées :
si, pour nous adultes dans le coup, le déroulement est sans surprises, linéaire et "cousu de fil blanc", il en est tout autrement d'une bonne proportion des élèves de 4e, de 50 % à 70 % selon le degré de "férocité" du correcteur (d'où la nécessité de se fixer des objectifs en choisissant de donner un problème)  et le le nombres d'étapes intermédiaires présentes.
La géométrie est LE gros morceau de la 4e avec la résolution :
- arithmétique des problèmes de fractions surtout, si on inclut la division des fractions (vue en 4e seulement) : j'en ai fabriqué d'assez durs (pour eux !)
- par mise en équation de petits problèmes à une inconnue ou s'y ramenant. Là aussi, j'en ai toute une panoplie de plus ou moins "tordus"...
La classe de 4e est pour moi, le niveau intrinsèquement le plus difficile du collège, l'âge du public en accentuant majoritairement la difficulté

Ce problème, simple pour nous, est une forme d'ascension de l'Everest pour nos élèves...

@+

Dernière modification par yoshi (20-10-2012 14:30:35)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#7 20-10-2012 18:07:44

totomm
Membre
Inscription : 25-08-2011
Messages : 1 093

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Bonjour,

Que m'inspire votre rédaction ?
Franchement je vois peu à en retirer dans la mesure où l’élève doit montrer qu'il a raisonné correctement et en fonction du respect des principes que vous rappelez.

Je trouve cependant le texte un peu trop prolixe et personnellement par exemple j'aurais directement écrit en réponse à 2) : "Par construction le triangle ADE est rectangle en E donc le sommet E est sur le cercle de diamètre [AD]
Un élève qui raisonne ainsi prouve qu'il applique le cours ?

de même, j'aurais directement utilisé : la droite (BH) est la hauteur du triangle ABC passant par B et est parallèle à la droite DC elle aussi perpendiculaire à [AC] d'après 1)

Mais c'est trop facile de le dire aujourd'hui. je me rappelle m'être épanoui en géométrie  en 2nde..., En 4ème ce fut l'algèbre.

La concision ne peut-elle aider à garder une vue globale du problème posé ?

Cordialement

Hors ligne

#8 20-10-2012 19:16:41

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 384

Re : Problème n°1 : Niveau 4e (**)

Bonsoir,

personnellement par exemple j'aurais directement écrit en réponse à 2) : "Par construction le triangle ADE est rectangle en E donc le sommet E est sur le cercle de diamètre [AD]

Je comprends tout à fait ce souci...
Entre deux maux, il faut choisir le moindre...
Le souci de la classe de 4e est qu'ils ont une tendance naturelle à piocher un peu de tout, à mettre ça dans un grand sac, secouer et nous jeter ça à la figure : << Tiens, débrouille-toi avec ça : là-dedans tu vas bien trouver ton bonheur ! >>
Nous exigeons donc d'eux qu'ils fassent une chose à la fois...

Le triangle ADE n'est pas rectangle par construction, au sens strict de l'expression : dans l'énoncé n'a pas été demandé de construire un triangle rectangle ADE.
L'énoncé a demandé de tracer une perpendiculaire (DE) à (AH).
On leur demande donc d'utiliser cette hypothèse (au sens Maths), d'en conclure que le triangle est rectangle. point !
Puis en réutilisant ces données, je demandais d'adapter le théorème à la situation, lequel théorème fournissait la conclusion en lui-même.
Je demandais donc une étape de moins que mes collègues qui eux récitaient d'abord le théorème tel quel, puis concluaient dans une phrase supplémentaire.

La concision est un objectif louable, à condition d'avoir une maîtrise suffisante et de la langue de Molière et des Mathématiques...
Elle réside aussi, lors de la correction orale d'un exercice, dans le fait d'inscrire au tableau à chaque question le couple infernal ; Hypothèses - Conclusion en langage simplifié ou mathématique dans la mesure du possible (lorsque le temps ne manquait pas)...
En outre, une correction orale, moins portée sur les phrases, précédait le corrigé écrit.
Jamais de corrigé écrit seul : c'est trop expéditif...

Dans le cas du Collège, la "concision" est un peu trop dangereusement proche de l'ellipse : arx tarpeia capitoli proxima...
Il faut avoir au moins une fois pris une classe en main une année durant pour mieux faire la part des choses.
En 2nde, on commence à assouplir légèrement les consignes...

Et d'ailleurs, tout corrigé de problème à résoudre par "mise en équation" entraînerait de vous la même observation.
N'allez pas croire que nous choisissons de compliquer les choses à loisir ! Nos sommes tout à fait conscients des limites du système de ses avantages et inconvénients : fans le public, pas mal pensent que les profs sont des faignants, qu'ils se contentent de réciter leur leçon, de piquer les exercices et les corrigés dans leur(s) bouquin(s) (honnêtement en 38 ans, je n'en ai vu que un ou deux, et aux prises avec des problèmes familiaux complexes)... Non, non, un prof, ça réfléchit :-). Régulièrement dans mon Collège, les profs de Maths débattaient de pédagogie, de la meilleure approche dans tel ou tel chapitre, tel ou tel exercice : nous échangions nos exercices, nos corrigés...

Mais et c'est aussi pourquoi nous n'avions pas le même niveau d'exigence dans un Devoir Maison ou dans une  Interro, heureusement...
Je ne suis pas surpris, ni choqué de votre réaction : elle est tout à fait normalement en phase avec votre personne.

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Ecrire en lettres le nombre suivant : 2

Pied de page des forums