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#1 29-11-2011 10:19:18

Fred
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Le jeu Set et un calcul de probabilités

Bonjour,

  Hier soir, alors que je faisais une partie de l'excellent jeu Set [debut mode message pour Nerosson] et que je me suis fait proprement laminé par ma femme[fin mode message pour Nerosson], je me suis posé une petite question de probabilités.

Je résume les règles du jeu disponibles ici

Vous avez des cartes, sur chaque carte est dessiné une ou plusieurs fois la même forme, avec 4 caractéristiques :
* la forme : ovale, vague, ou losange
* la couleur : vert, rouge, violet
* le nombre de formes : 1,2,3
* le remplissage : plein, hachuré, vide.

Un "set" est un ensemble de 3 cartes pour lequel chaque caractéristique est ou la même ou différente sur chaque carte.
(par exemple, 3 cartes où le symbole est un losange vert, une des cartes porte un seul losange vide, une autre deux losanges hachurés,
une troisième 3 losanges pleins).

Dans la règle du jeu, il est écrit que lorsque l'on pose 12 cartes sur la table, la probabilité qu'on ne puisse pas faire un set est de 1/33.
Ce calcul ne me semble pas si facile... Avez-vous des idées (ou un programme Python qui fasse la même conjecture?).

Fred.

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#2 29-11-2011 17:02:46

nerosson
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut à tous,

@Fred,

C'est comme ça que tu passes ton temps avec ta femme ?  Tu me diras "Il y a un temps pour tout !" D'accord, mais tant qu'à se faire laminer....


Maintenant, je vais essayer de m'intéresser à ton problème (pas celui-ci, l'autre, celui que tu as écrit).

yoshi, modo ferox, touche pas à mon post !

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#3 29-11-2011 17:26:50

nerosson
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut à tous

Fred a écrit :

Un "set" est un ensemble de 3 cartes pour lequel chaque caractéristique est ou la même ou différente sur chaque carte.
(par exemple, 3 cartes où le symbole est un losange vert, une des cartes porte un seul losange vide, une autre deux losanges hachurés,
une troisième 3 losanges pleins).

Fred, tu me connais : je comprends vite, mais il faut m'expliquer longtemps :

Si j'ai bien compris : Dans un set,  pour chacune des quatre caractéristiques, il n'y a que deux conditions satisfaisantes : ou bien caractéristique identique pour les trois cartes, ou bien trois options différentes pour les trois cartes.

Je suppose que j'enfonce les portes ouvertes si je dis qu'il peut y avoir 81 modèles de carte différentes ?

Dernière modification par nerosson (29-11-2011 17:29:46)

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#4 29-11-2011 17:54:17

Fred
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Exactement, Nerosson. Et d'ailleurs, le jeu est constitué de ces 81 cartes, dont on en extrait 12 pour faire un set.

Fred.

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#5 29-11-2011 19:18:37

nerosson
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut à tous,

@Fred,

Avant peu, tu vas avoir un de ces agrégés qui pullulent sur le site qui va te cracher une solution bourrée de x, de y, de parenthèses et d'accolades,le genre de truc qui me fout la migraine. J'appréhende.

Pour moi, c'est l'heure de la soupe, alors je t'informe de tout ce que j'ai trouvé jusqu'ici :

Si on met douze cartes sur la table :

Pour la première, on a 81 possibilités,
pour la deuxième, on a 80 possibilités,
pour la troisième, on a 79 possibilités,
etc....

Donc le nombre de combinaisons possibles pour 12 cartes est égal à : 81! divisé par 69!. Ma calculatrice en a eu une indigestion.

Y a plus qu'à les trier pour savoir lesquelles contiennent un ou plusieurs sets. Par différence, on aura celles qui ne contiennent pas de set.

Facile pour un python ! ! !

Bonne nuit !

Dernière modification par nerosson (29-11-2011 19:20:57)

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#6 01-12-2011 18:42:38

tibo
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut,

facile facile... c'est vite dit!!
12 parmi 81 ça fait quand même 70'724'320'184'700 possibilités (70 mille milliards)
Alors l'algorithme n'est certes pas très difficile à écrire, mais de là à nous donner une solution, faut quand même être très patient


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#7 02-12-2011 17:10:51

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut,

je ne connaissais pas ce jeu, ça a l'air sympa.

Dans les éléments d'explication, il est même ajouté que le nombre maximal de carte découverte sans set possible est égal à 20 !

Pour les calculs de probabilité, je m'étonne que personne ne pythonne !

[mode privé] ce qui me surprend le plus est qu'on puisse jouer et se faire battre par sa compagne sans que ça suscite plus de réactions indignées da la part des hommes de ce site ! ... :-))) C'est pour cela  d'ailleurs que je n'ai plus de compagne ...[/mode privé]


Memento Mori ! ...

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#8 02-12-2011 19:55:51

tibo
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut,

J'ai bien essayé de Pythonner.
Mais va générer une liste de 70 mille milliards d'éléments, qui sont eux même des listes...

Et même sans la générer entièrement, en créant les éléments au fur et à mesure et en supprimant ceux qu'on a testés, t'imagine le temps que ça prendrait?
Presque irréalisable pour un particulier je pense.

Dernière modification par tibo (02-12-2011 19:58:38)


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#9 02-12-2011 22:31:16

Fred
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut,

  Moi, je n'imaginais pas cela comme ca. Je pensais faire tirer au hasard 12 cartes,
tester s'il y a un set dans ces 12 cartes, et recommencer l'opération disons 10000 fois.
A la fin, on aura une bonne estimation de la probabilité....

Fred.

PS: J'ai rejoué ce soir et..... bon, j'vais me coucher!

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#10 03-12-2011 12:47:29

tibo
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Effectivement c'est plus simple comme ça,

J'obtiens donc une proba de ne pas avoir de set gagnant sur un tirage de 12 cartes aléatoires de 3.15% (en moyenne)
et 1/33 équivaut à une proba de 3% environ

donc ça correspond
(si je ne me suis pas trompé dans l'algorithme)


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#11 03-12-2011 12:49:50

totomm
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Bonjour,

J'ai préféré raisonner d'abord    :-), donc :
Il y a 85320 3-combinaisons de 3 cartes parmi 81 cartes
La probabilité de faire un SET sur 3 cartes est de 1/79.
En effet, supposons que l'on tire une carte successivement dans 3 jeux différents en en conservant l'ordre de tirage,
On aura ((1/3)^4)*(81^3) = 6561 SETs dont 81 correspondent à des cartes 3 fois identiques
Alors (6561-81) =6480 sont les 3-Arrangements de 3 cartes prises parmi 81
6480 / 6 = 1080 correspondent aux 3-combinaisons faisant un SET et 1080 / 85320 = 1/79.

La probabilité de non-SET en tirant une donne de 3 cartes est donc de 78/79.
Mais je n'ai pas trouvé le bon raisonnement pour une donne de 12 cartes

Ensuite, en effectuant des simulations de 20000 donnes pour 3 à 16 cartes par donne, on obtient les valeurs d'une jolie courbe pour la probabilité "d'aucun SET par donne" (visualisation facile dans un tableur) :
3    0,98695
4    0,94935
5    0,8756
6    0,7633
7    0,61455
8    0,4529
9    0,2944
10    0,1708
11    0,0785
12    0,03195
13    0,0089
14    0,0021
15    0,0002
16    0 (presque 0)
Si quelqu'un peut publier comment obtenir cette courbe par le "raisonnement"….

A+, Cordialement.

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#12 03-12-2011 15:21:48

nerosson
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut à tous,

@freddy,

Tu as tort de dire qu'il n'y a pas eu de réaction indignée : dès que j'ai lu le post numéro 1 de Fred, j'ai battu ma femme.

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#13 03-12-2011 16:56:37

tibo
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Re,

après 1 000 000 de tests
proba=3,192%

nerosson, tu as battu ta femme au jeu de set?


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#14 03-12-2011 17:20:14

nerosson
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut  tous,

Fred a écrit :

Un set est un ensemble de 3 cartes pour lequel chaque caractéristique est ou la même ou différente sur chaque carte.

Il me semble qu'il y a quelque chose qui ne colle pas : le jeu se compose de 81 cartes toutes différentes, donc l'éventualité que chaque caractéristique soit la même pour deux cartes n'existe pas. Donc la phrase de Fred aurait du être "Un set est un ensemble de 3 cartes pour lequel chaque caractéristique est  différente sur chaque carte".

De là une ébauche de raisonnement :

a) je tire une première carte quelconque,
b) je tire une deuxième carte
       sur les 80 qui restent :
      26 ont une première caractéristique identique à celle de la première carte,donc pour 54 elle est différente,
      même raisonnement pour les trois autres caractéristiques.
      Donc, la probabilité pour que la deuxième carte ait toutes ses caractéristiques différentes de celles de la première
      est de 544 divisé par 804
c) je tire une troisième carte,
      dans l'hypothèse où les deux premières ont des caractéristiques toutes différentes :
      sur les 79 qui restent
      26 cartes ont une première caractéristique identique à la première et 26 autres ont une  première caractéristique
      identique à la seconde,
      même raisonnement pour les trois autres caractéristiques.
      il y a donc 524 sur 794 chances d'avoir, sur trois cartes, deux qui aient toutes leurs
      caractéristiques différentes,
      D'autre part,
      toujours sur les 79 qui restent,
      79 -52 = 27 cartes ont une première caractéristique différente des deux premières cartes,
      même raisonnement pour les trois autres caractéristiques,
      donc, on a 274 sur 794 chances de faire un set avec les trois premières cartes tirées.

Ouf ! J'en ai ma claque.

Maintenant trois hypothèses:

a) mon raisonnement est faux, je rentre dans ma coquille et on n'en parle plus,
b) mon raisonnement est juste mais on ne peut rien en tirer, je rentre dans ma coquille et on n'en parle plus,
c) mon raisonnement est juste et vous continuez.


P.S. @tibo.   Non, j'ai battu ma femme avec un bâton.

Dernière modification par nerosson (03-12-2011 17:27:32)

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#15 03-12-2011 19:29:05

Fred
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Re-

@totomm : Ta valeur pour 12 est effectivement proche de 1/33

@Nerosson : tu peux avoir un set avec 3 cartes qui sont toutes constituées de 3 vagues, toutes pleines, mais de couleur différentes.
3 caractéristiques sont identiques sur les 3 cartes, et 1 caractéristique est différente sur chaque carte.

Evidemment, tu ne peux pas avoir toutes les caractéristiques identiques.

F.

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#16 05-12-2011 16:27:50

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Bonjour,

je tiens un raisonnement qui me conduit à une valeur très proche de [tex]\frac{1}{33}[/tex] sans que ce soit exactement celle ci.

Je pense que ce résultat est plus marketing que scientifique, car la probabilité exacte serait égale à [tex]\frac{19}{637}[/tex] ce qui, avouons le, est moins vendeur que 1/33.

Nerosson et d'autres ont relevé qu'on pouvait former [tex]\binom{81}{12}[/tex] combinaisons possibles de 12 cartes parmi 81.

Quand on s'intéresse au jeu, on découvre rapidement que chaque paire admet une et une seule carte pour faire un SET.

Donc pour qu'on ne puisse en faire aucun avec 12 cartes sur la table, il faut que les 28 paires possibles faites avec huit cartes ne puissent pas être associées à chacune des 28 cartes permettant de faire 4 SET de 3 cartes.

Donc le nombre de combinaisons possibles est donné par [tex]\binom{81-28}{8} \times \binom{81-28-8}{4}[/tex] qui associe à 8 cartes choisies parmi les 53 non "settable" les 4 cartes à prendre parmi les 53-8 = 45 cartes restantes.

Le calculateur de petitmou me donne un quotient égal à [tex]\frac{19}{637} \equiv \frac{1}{33}[/tex] à 0,0005 près, résultat que je vérifierai ce soir avec Mathematica.

Fred ?


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#17 05-12-2011 21:31:57

Fred
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut Freddy,

  J'ai compris ton raisonnement jusqu'au second Donc. Mais là, je ne suis plus....

Fred.

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#18 05-12-2011 21:49:10

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut Fred,

oui, je sais pourquoi : faudrait que j'arrête de faire plusieurs choses en même temps !

Bon, j'y retourne !


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#19 05-12-2011 22:44:53

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Re,

sur la base de l'idée qu'il faut éliminer la troisième carte qui complète chaque paire, il faut faire le calcul pas à pas.

Première carte parmi 81 et seconde carte parmi 80 => la troisième est à choisir dans 78 carte après élimination de la troisième qui fera un SET avec les deux premières.

La quatrième carte est à choisir parmi 77 cartes moins les deux qui complètent les deux autres paires, soit 75 ... und so weiter

On a donc la probabilité de ne pas pouvoir faire un SET avec 12 cartes sur la table :

[tex]\frac{\frac{81 \times 80 \times 78 \times 75 \times 71 \times 66 \times 60 \times 53 \times 45 \times 36 \times 26 \times 15}{12!}}{ \binom{81}{ 12}} \equiv \frac{1}{33}[/tex]

je fignole encore ...

Dernière modification par freddy (05-12-2011 23:35:29)


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#20 05-12-2011 23:12:16

Fred
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Et cela fait effectivement 1/33 (ou presque)????

Fred.

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#21 05-12-2011 23:45:06

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

non, je reviens demain matin ...


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#22 06-12-2011 07:10:39

jpp
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut à tous

  Freddy , ton raisonnement est intéressant , mais on est loin du compte .

  il n'y aurait pas un rapport de 3 entre les deux , parce que moi je trouve 0.01053499059 

[tex]P = \frac{66 . 60 . 53 . 45 . 36 . 26 . 15}{79 . 77 . 76 . 74 . 73 . 72 . 70} \approx 0.01053499059 \approx 1/99[/tex]



                                                                                                 à plus.

Dernière modification par jpp (06-12-2011 12:26:11)

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#23 06-12-2011 09:14:46

freddy
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Salut JPP,

oui, j'ai remarqué, et surtout, le second point qui m’embarrasse est qu'on prouve qu'avec 20 cartes max, on peut ne pas avoir de SET, or mon raisonnement tendrait à montrer que ce nombre est égal à 13 ????

Comme disait Robert Lamoureux, y' a un truc, faut qu'j'y retourne !


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#24 06-12-2011 12:51:29

totomm
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

Bonjour,

freddy a écrit :

Quand on s'intéresse au jeu, on découvre rapidement que chaque paire admet une et une seule carte pour faire un SET.

Excellente idée !
Pour l'exploiter : en supposant que l'on n'ait pas de SET après avoir posé n cartes sur table, il faut écarter [tex]\binom{n}{2}[/tex] des (81-n) cartes restantes avant de poser la (n+1)ième carte.
Mais avec un correctif car chacune de ces cartes restantes peut faire SET avec 40 autres couples de cartes, donc avec plusieurs des couples de cartes déjà posées...

A+ Cordialement

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#25 06-12-2011 20:33:00

jpp
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Re : Le jeu Set et un calcul de probabilités

bonjour

Si je n'ai pas fait d'erreur

ceci est une matrice avec laquelle j'ai déterminé 20 cartes non setables

   avec V=vide    -  H =hachuré    -   P = plein

                     OVALE  ---------  CARRE ---------  VIRGULE

ROUGE[tex]\begin{bmatrix}1P&0&3P\\0&0&0\\1H&0&3H\end{bmatrix}  \begin{bmatrix}0&2P&0\\1V&0&3V\\0&2H&0\end{bmatrix}     \begin{bmatrix} 0-&0&-0\\0-&2V&-0\\0-&0&-0\end{bmatrix}  [/tex] 9 CARTES

                                                   
VERT  [tex] \begin{bmatrix}0&2P&0\\1V&0&3V\\0&2H&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1P&0&3P\\0&0&0\\1H&0&3H\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0-&0&-0\\0-&2V&-0\\0-&0&-0\end{bmatrix}[/tex] 9 CARTES

VIOLET[tex]\begin{bmatrix}0-&0&-0\\0-&2V&-0\\0-&0&-0\end{bmatrix}\;  \; \begin{bmatrix}0&0&0\\0&2V&0\\0&0&0\end{bmatrix} \;   \; \begin{bmatrix}0-&0&-0\\0-&0&-0\\0-&0&-0\end{bmatrix}[/tex] 2 CARTES

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