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panolé

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Applications,injectivité, surjectivité

Bonsoir,
Si l'on considère une application f : Z x N dans Q qui au couple (p,q) associe p+1/q.
Je cherche à savoir si f est injective et/ou surjective.
A première vue, j'ai pensé exploité le fait qu'une application linéaire est injective ssi ker(f)= {0}
Or cette application n'est pas linéaire, et revenir à la definition d'injectivité ne me mène à rien...
Comment faire?

Merci d'avance

Fred

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

Bonsoir,

  Dans ce cas, tu n'as pas beaucoup d'autre choix que d'appliquer la définition.
Prouvons donc que f est injective. Soient (p,q) et (p',q') deux couples
tels que f(p,q)=f(p',q').

On veut prouver que (p,q)=(p',q'). Supposons par l'absurde que ce n'est pas le cas.
Quitte à permuter le rôle joué par (p,q) et (p',q'), on peut supposer que p<p'.
On écrit alors [tex]p'-p=\frac 1q-\frac 1{q'}[/tex]

Maintenant, p'-p>1, et tu devrais pouvoir prouver sans trop de problèmes que [tex]\frac 1q-\frac1{q'}\in ]-1,1[ [/tex],
ce qui amène à une contradiction...

Tu peux aussi démontrer que f n'est pas surjective. Par exemple, prouve que 2/3 n'a pas d'antécédents...

A+
Fred.

panolé

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

D'accord, merci beaucoup, j'ai bien reussi à montrer l'injectivité puisque q appartient à N, donc 1/q est compris entre 0 et 1, et en multipliant par -1 l'une des inégalités on a bien 1/q-1/q' appartenant à -1,1 . Et il y a donc contradiction, donc on a bien (p,q)=(p',q') <=> f(p,q)=f(p',q') .

En revanche, pour la surjectivité, alors j'ai décomposé 22/7 = 3 + 1/7 avec p=3 et 7=q
mais j'ai essayé avec d'autres exemples et je n'arrive pas vraiment à faire le lien...

panolé

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

Je n'avais pas vu votre deuxième proposition, je vais essayer!

panolé

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

Mais en fait, il faut d'abord que j'écrive 2/3 sous la forme p + 1/q ?

freddy

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

Salut,

ben oui, et tu n'y arriveras pas. Ce que te rappelle Fred est que si f de E dans F est surjective, alors F(E)=F => tout élément de F admet au moins un antécédent dans E.

Donc si tu prends un élément quelconque de Q, lui trouves tu un antécédent dans ZxN ? Fred te suggère de montrer que tel n'est pas le cas pour 2/3. Donc ... ?

Conseil : travaille bien les définitions et démonstrations de ces notions, ne pas les connaître et savoir les faire est rédhibitoire dans le supérieur !

Dernière modification par freddy (31-08-2011 07:24:03)

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

panolé

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Re : Applications,injectivité, surjectivité

D'accord très bien merci, f n'est donc pas surjective.