Devoir sans explications [Résolu]

Corentin · 17-09-2008 16:31:16

Bonjour, le prof nous donne ce devoir alors que nous n'avons jamais vu cette matiere alors j'aurai desoin d'aide
Soit le système suivant de variables x et y et de paramètres m et n :
{mx+3y+2=0
x-3y=2
2mx-ny+2=0
2x-3y+10=0
Pouvez vous déterminer les valeurs des paramètres m et n afin que ce système n'admette qu'une solution ? dessinez la solution
Ainsi Qu'un problème :
Un lavoir municipal est équipé de 3 robinets qui alimentent un bac.
Si l'on ouvre le 1ier et ke 2ieme simultanément, le bac se remplit en 1h10'
Si l'on ouvre le 3iem et le 1ier , il se remplit en 0h50'
Si l'on ouvre le 3ieme et le 2ieme , il se remplit en 0h56'
Quel est le temp nécessaire pour remplir le bac en ouvrant les trois robinets simultanément ?

Merci d'avance , si possbile réponse vite car devoir pour demain encore merci...

yoshi · 17-09-2008 18:02:04

Bonjour Corentin,

C'est bien connu, c'est toujours la faute du prof
- qui donne un devoir à s'arracher les cheveux du jour pour le lendemain,
- qui donne un devoir sur un sujet qu'on n'a encore pas vu..

Si tu es aussi attentif en classe que tu l'as été pour poster ton sujet dans le "Café mathématique", alors que le sous-forum Entraide Collège-Lycée te tendait les bras, alors tu as intérêt à serrer le boulons si tu ne veux pas aller au devant de graves déconvenues...

Cela dit, voilà le coup de pouce demandé.
D'abord, j'ouvre les yeux et je fais un tri dans tes équations :
[tex]\left{x\,-\,3y\,=\,2\\2x\,-3y\,+\,10\,=\,0[/tex]

[tex]\left{mx\,+\,3y\,+\,2\,=\,0\\2mx\,-\,ny\,+\2\,=\,0[/tex]

Pourquoi cela ?
Le 1er système ne comprend ni m, ni n... On peut donc résoudre ce système de deux équations à deux inconnues niveau 3e et obtenir la solution (x ; y).
Muni de cette solution, je remplace, dans le 2e système, x et y par les valeurs que je viens de trouver et j'obtiens un nouveau système de deux équations à deux inconnues qui sont m et n que je résous à son tour...
N-B : chaque équation peut représenter aussi l'équation d'une droite, et le solution du système représente les coordonnées de leur point d'intersection...

Problème du lavoir
Le problème est un mélange de deux problèmes qu'on peut traiter dès la 5e avec des valeurs simples...
1er problème
j'ai le choix entre 3 paquets de 2 livres choisis parmi 3 : A, B et C...
Si je prends A et B ça me coûte 22 €, A et me coûtent 24 € et enfin B +C --> 26 €
Le moyen le plus simple est de faire A + B + A + C + B + C = 2(A + B + C) = 72 et donc A + B + C = 36
2e problème
Trois robinets A, B et C remplissent respectivement un bassin en 3 h, 4 h et 6 h. Combien de temps les 3 robinets coulant ensemble mettront-ils pour remplir le bassin ?
En 1 h A remplit 1/3 du bassin
En 1 h B remplit 1/4 du bassin
En 1 h C remplit 1/6 du bassin/4 du bassin soit
Donc en 1 h, A + B + c remplissent 1/3 + 1/4 + 1/6 = 9/12 = 3/4 du bassin
Le bassin sera donc rempli en 4/3 h soit 1 h 20 min...
1 h 10 min 6 --> 70/60= 7/6 h ; 50 min --> 5/6 h et 56 min --> 56/60 = 14/15 h
Vois-tu maintenant où je voulais en venir ?

Maintenant on peut accommoder ça à la sauce équation :
Soient x, y et z les débits respectifs en litres/min (Eh, oui le symbole de la minute du temps est min, celui de la minute angulaire ')
Soit C la contenance du bassin. On a donc
C= 70(x+y) 1er cas
C = ....... 2e cas
C = ....... 3e cas
En les prenant deux par deux, tu constates que tu peux à chaque fois éliminer le C et tu n'as plus que trois inconnues x, y et z qui se trouvent facilement.
Après, tu trouves la contenance C du bassin et la somme des débits x + y + z... et C/(x + y + z) te donnera le résultat en min cherché.

Tu choisis ta méthode...

@+

Corentin1993 · 18-09-2008 16:53:21

( ouf ... le professeur nous a donné un surcis) Pour le premier je trouve x= -12 , y = -14/3 , m = -1 et n = -39/7 pour le deuxieme je ne trouve toujours pas ... :( j essai , réessai mais je n'y arrivve toujours pas :( désolé je n'avais pas vu le forum entraide :x et merci de la réponse je me remet au boulot pour le 2 ieme problèmes ... :(

yoshi · 18-09-2008 17:30:23

Re,

Ma mise en équation du problème doit être fausse, j'aboutis à (x,y,z)=(0,0,0)...
Par contre, avec les fractions ça colle !
Je cherche donc pourquoi, en utilisant ma mise en équation, le résultat n'a pas de sens : il ne devrait pas !
Ce doit être tellement évident que je ne le vois pas.

Alors pour les fractions, tu n'as qu'à imaginer que tu prends 2 robinets n°1, 2 robinets n°2, 2 robinets n°3 et que tu ouvres les 6 à la fois...
Ainsi, tu as le 1 et le 2 ouverts, le 1 et le 3 ouverts et le 2 et le 3 ouverts.
Quand tu auras trouvé quelle fraction du lavoir est remplie en 1 h par les 6 robinets coulant ensemble, c'est à dire par 2 x (le 1 + le 2 + le 3), en divisant cette fraction par 2, tu auras la fraction du lavoir rempli en 1 h par le 1, le 2 et le 3 coulant ensemble....

@+

Corentin1993 · 18-09-2008 17:59:34

euh ... donc si x= robinet 1 y robinet 2 et z robinet 3 je fait x+y+z+x+z+y=70+50+56 ? => 2x+2y+2z=176 => x+y+z=176/2 mais sa me donnerai 88 minutes donc + que si les 2 coulerait ensembles ... je ne comprend rien c'est pas possible ... merci quand même d'essayé de m'expliquer

yoshi · 18-09-2008 18:29:29

Re,

Non.
Si le 1 et le 2 remplissent le bassin en 70 min soit 7/6 d'heure, en 1 h il n'y a que 6/7 du bassin rempli...
Si le 1 et le 3 remplissent le bassin en 50 min soit 5/6 d'heure, en 1 h ils rempliraient 6/5 du bassin
Si le 2 et le 3 remplissent le bassin en 56 min soit 56/60 = 14/15 h, en 1 h ils rempliraient 15/14 du bassin.

Donc les 6 ensemble rempliraient 6/7+6/5+15/14 = 60/70+84/70+75/70 = 219/70 du bassin
Mais 6 robinets c'est 2 x (le 1 + le 2 + le 3), donc les 3 robinets ensemble rempliraient en 1 h : 219/140 du bassin,
Ils remplissent donc le bassin en 140/219 h ...

@+

Corentin1993 · 18-09-2008 18:29:45

ah par un calcul zarbi j'obtient environ 38 min et 21 sec c'est bon ? :o

yoshi · 18-09-2008 18:32:34

Re,

oui, si tu prends ta calculette que tu divises 140 par 219 et que tu demandes la conversion en h min s, tu trouves 0 h 38 min 21 s (et entre 3/10 et 4/10 s)

@+

Corentin1993 · 18-09-2008 18:32:46

eh bien merci beaucoup ( le 38 min et 21 sec je le sort du site => http://www.mathforu.com/sujet-1231.html si tu veu aller voir :) merci beaucoup

yoshi · 18-09-2008 20:49:20

J'au vu !

soient dm1/dt le débit du 1 ier robinet en kg par unité de temps
dm2/dt le debit du 2 ieme robinet
et dm3/dt "............" du 3 ieme robinet
soit Q la valeur massique maximale du bassin apres remplissage en kg

Débit en kg/unité de temps, valeur massique après remplissage...
Je crois rêver !

@+

yoshi · 25-09-2008 18:21:48

Bonsoir,

Bon c'est trop tard...
Mais quand même, mais j'ai horreur de laisser un problème sans réponse : le système d'équations était bon, mon problème est que cherchais à calculer les débits...
Donc j'appelle x, y et z les débits respectifs en L/min des robinets 1, 2 et 3 et C la capacité en litres du bassin
On a bien :
|C = 70(x+y)
<|C = 50(x+z)
|C = 56(y+z)
Je veux trouver quelque chose de la forme C = k.(x + y + z), où k sera ma réponse...
Le seul moyen d'y arriver est de "combiner" (combinaison linéaire) des 3 équations avec le même coefficient devant (x + y), (x + z) et (y + z)...
Il me faut donc un multiple commun à 70, 50 et 56, et de préférence le plus petit.
Donc PPCM(70,50,56)=1400 et :
|20C = 1400(x + y)
<|28C = 1400(x + z)
|25C = 1400(y + z)
Soit après sommation membre à membre des 3 équations :
73C = 1400(x + y + x + z + y + z)
On réduit :
73C = 2800(x + y + z)
Et enfin :
[tex]C\,=\,\frac{2800}{73}(x\,+\,y\,+\,z)[/tex]
Réponse : 2800/73 --> 38,3561643836.. min ou encore 38 min 21 s 37/100

@+

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