-1=1

redred01 · 02-12-2007 17:04:11

bonjour,jaimerais bien que quelqu un me donne son avis a propos de ceci:

-1=(-1)^1=(-1)^(2/2)=((-1)^2)^(1/2)=(1)^(1/2)=1
a la prochaine

yoshi · 02-12-2007 17:57:45

Bonsoir,

un élément de réponse : la multiplication est une opération commutative, a * b = b *a
Or [tex](m^a)^b = m ^{a\times b}[/tex]
Par conséquent : [tex](m^a)^b = m ^{a\times b}=m^{b\times a}=(m^b)^a[/tex]

A ce moment examinons donc :
[tex](-1)^{2\times{1 \over 2}}[/tex]
Cette écriture n'est pas valide parce qu'on ne peut écrire :
[tex](-1)^{2\times{1 \over 2}}=(-1)^{{1 \over 2}\times 2}= [(-1)^{1 \over 2}]^2[/tex]
puisque la racine carrée de -1 n'existe pas...

Simple tour de passe-passe, un peu plus élaboré certes que de montrer que 1=2 en divisant par zéro...

@+

redred01 · 02-12-2007 21:33:23

cest juste ce que j ai fait ne respecte pa la commutativité de la loi *

0^0=?? avec demonstration
merci de vouloir repondre

yoshi · 02-12-2007 22:33:52

Bonsoir

Le calcul avec la puissance d'une puissance doit "marcher" aussi en commutant les exposants, sinon cela prouve que l'écriture, et au delà le calcul, n'est pas valide...

0^0 = ? Les premières calculatrices répondaient faussement 1...
Or la règle de 4e dit : Pour tout a différent de zéro a^0 = 1...
Pourquoi ? Je vais répondre...
Posons, par exemple, 0 = 2 - 2 :
[tex]0^0=0^{2-2}=0^2\times 0^{-2}=\frac{0^2}{0^2}={0 \over 0}[/tex]
Que vaut 0 sur 0 ? On ne sait pas, c'est un cas indéterminé... N'importe quel nombre pourrait convenir.
En effet, la fraction 0/0 (comme toute fraction) est une façon d'écrire le quotient exact du numérateur par le dénominateur. Et la définition du quotient exact d'un nombre a par un nombre b (non nul) dit que c'est le nombre q tel que a = b x q...
Ici, on chercherait donc le nombre q tel que 0 = 0 x q, et on voit bien que l'égalité est vraie quel que soit q...

Dans la pratique, on n'écrit pas de dénominateur 0 ; c'est aussi une écriture "illégale"...

@+

JJ · 03-12-2007 08:29:19

L'article : "zéro puissance zéro" dans le magazine Quadrature n°66, pp.34-36, octobre 2007

galdinx · 03-12-2007 11:57:25

Bonjour,

Personnellement, on m'a apris que par convention on prend 0^0 = 1.

Pour ce qui est du problème de redred01, un élément de réponse peut aussi venir du fait que :

racine(x²)= (x^2)1/2 = |x| et non pas x.

A++

yoshi · 03-12-2007 12:32:34

Bonjour,

Effectivement, Galdinx a raison... En cherchant, j'ai trouvé la trace de cette convention que je ne connaissais pas.
Il n'en reste pas moins qu'il y a une contradiction alors avec la définition donnée en Collège, je vais rejeter un oeil sur mes livres (ceux qui me restent) et voir si ma restriction est toujours d'actualité ou s'ils shuntent bravement le cas...

@+
[EDIT]
Vérification faite dans le premier bouquin qui m'est tombé sous la main, il commence par :
"Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif non nul".
Suivent les différentes défniitions.
Et il termine par ;
[tex]a^1=a\;et\;a^0=1[/tex]
Pas si clair que ça, on peut considérer que les auteurs excluent implicitement le cas a =0.

Un second bouquin, lui est plus tranché. Il y est écrit clairement :
"Quel que soit le nombre relatif a (a non nul), on a toujours [tex]a^0=1[/tex]".
Cependant, on peut constater que les deux omettent de dire ce que vaut [tex]0^0[/tex], en excluant que [tex]0^0=1[/tex]...

Voilà, dont acte...

john · 03-12-2007 13:09:41

Salut tous,
Là aussi, il y a de l'info. :
http://faq.maths.free.fr/html/node26.html
A+

galdinx · 03-12-2007 19:58:06

Re,

Une autre définition de 0^0 peut etre la limite lorsque x tend vers 0 de x^x.

Dans ce cas, lim x^x = lim exp(x*ln(x)) = lim exp(x) = exp(0) = 1. (quand x tend vers 0)

++

JJ · 03-12-2007 20:50:15

Vous savez, on peut discuter indéfiniment sur 0^0 tant que l'on ne précise pas dans quel domaine des mathématiques ce symbolisme est défini et s'applique : théorie des ensembles, algèbre, topologie,... Ne pas confondre ! Tout ceci apparait dans l'article cité plus haut :
"zéro puissance zéro", magazine Quadrature n°66, pp.34-36, octobre 2007.
Vous y retrouverez l'analyse des différents points de vue des intervenants précédents, ainsi que d'autres. Et vous verrez à cette occasion que le "monstre du Power Less" vient de faire, une fois de plus, réapparition !!!

Dernière modification par JJ (03-12-2007 20:52:29)

redred01 · 03-12-2007 22:23:45

salam
bon pour lutilisation de la fonction exp et la fonction composée ln(x^x),il faut dabords verifier si la fonction x^x est bien definis dans le domaine de definition de ln,ce qui nest pa le cas dans notre situation car la nous parlons dun x=0 qui se situe endehors de lensemble de definition en plus de la continuité qui nest pa valide dans ce pt en plus de lutilisation de la limite lorsque x tends vers 0,il est loin de latteindre puisque la limite represente le sup...donc je crois que la demo est fausse
@+

JJ · 04-12-2007 16:57:09

Ces discussions oiseuses au sujet de 0^0 ... Elles continuent !!!
Pourtant, la réponse à cette question a été apportée clairement et complètement, depuis lontemps dans des papiers qui ont été publiés. Par exemple, John a donné un lien avec un site où l'on trouve une excellente explication. Au minimum, prenez la peine de lire la conclusion !

cléopatre · 23-12-2007 23:51:54

Salut à tous les bibmaths !!!

Voici les vacances qui se profile, j'a donc maintenant un peu de temps pour répondre à tous vos topics...

Personnellement, je pense que cela vien du fait de la bijection entre le vide et le vide...je m'explique :

A^B est l'ensemble des applications de B-->A et comme il existe une unique bijection entre le vide et le vide alors 0^0=1

Bisous à vous...

JJ · 24-12-2007 09:42:19

Bonjour Cleopatre,

ce que tu as écrit est bien connu. C'est rappelé dans les publications qui ont été citées :
dans l'article : "zéro puissance zéro", magazine Quadrature n°66, pp.34-36, octobre 2007, et c'est aussi sur le lien donné par John.
Mais, si tu avais pris la peine de consulter ces documents, tu aurais compris que ce n'est qu'une vue parcellaire et propre à un domaine particulier des mathématiques. Il faut avoir une vue plus large et plus générale pour répondre correctement et complètement à cette question, ce qui a été fait dans les papiers cités (et dans d'autres).
A cette occasion, je voudrais révenir à la question initialement posée par "redred01", qui concernait le soit-disant paraxode -1=1 ( dont l'explication a été clairement apportée). Ceci pour dire que, dans le même esprit, on peut proposer d'une façon encore plus choquante : 1 est différent de 1.
C'est enfantin : De toute évidence -1 est différent de 1. Les carrés de deux nombres différents étant différents, on a (-1)^2 différent de (1)^2 . Puisque (-1)^2=1, donc : 1 est différent de 1.
Bien évidemment l'erreur est dans la seconde phrase. C'est l'erreur correspondante à celle qui est faite dans la question posée par redred01.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 02-12-2007 17:04:11

-1=1

#2 02-12-2007 17:57:45

Re : -1=1

#3 02-12-2007 21:33:23

Re : -1=1

#4 02-12-2007 22:33:52

Re : -1=1

#5 03-12-2007 08:29:19

Re : -1=1

#6 03-12-2007 11:57:25

Re : -1=1

#7 03-12-2007 12:32:34

Re : -1=1

#8 03-12-2007 13:09:41

Re : -1=1

#9 03-12-2007 19:58:06

Re : -1=1

#10 03-12-2007 20:50:15

Re : -1=1

#11 03-12-2007 22:23:45

Re : -1=1

#12 04-12-2007 16:57:09

Re : -1=1

#13 23-12-2007 23:51:54

Re : -1=1

#14 24-12-2007 09:42:19

Re : -1=1

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