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Maya

Invité

exos sur les complexes [Résolu]

Bonjour à tous! j'espère que vous avez passé de bonnes vacances... et souhaite à tous une bonne année.

Voila,on vient de finir le chapitre sur les nombres complexes et  j'ai un devoir maison à faire pour cette semaine. J'ai réussi le début mais je bloque aux dernières questions des deux exos suivants :

Exercice 1:
1. Déterminer le polynome P tel que z^3+5z²+11z+15=(z+3)* P(z).
2. Résoudre dans C l'équation z^3+5z²+11z+15=0.
S={-3;-1+2i;-1-2i}
3. Dans le plan complexe, on appelle A, B, et D les points ayant pour affixes les solutions a, b, et d de l'équation précédente, de façon que a=-3 et Im(b)>0.
a) Placer les points A, B, et D.
b) Calculer (b-a)/(d-a). En déduire la nature du triangle ABD.
=>triangle rectangle isocèle apres étude des modules et arg.
c) Déterminer l'affixe du point C tel que ABCD soit un carré.
=>Zc=1 apres résolution de l'Equation vecteur AD= vecteur BC.
d) Calculer l'affixe du point E tel que le triangle OEB soit équilatéral direct:
JE BLOQUE A CETTE QUESTION ET ça m'énerve... j'ai aucune idée

Exercice 2:

Dans le plan complexe, on désigne par A et B les points d'affixes respectives -i et 2i.
Soit f l'application qui a tout point M d'affixe z different de -i associe le points M' d'affixe Z' telle que:

Z'=i((z-2i)/(z+i)).

1. Soit C(i) et D(3/2+3/2i). Déterminer f(C) et f(D).
je trouve f(C)= -(1/2)i   et f (D)=1

2.Déterminer les antécédents par f des points d'affixes 0 et 2-i.
je trouve z=2i pour 0 et z=3/4-(1/4)i pour 2-i.

3. Déterminer et construire:
a) l'ensemble E des points M dont l'image est sur l'axe des imaginaires purs.
b) l'ensemble F des points M dont l'image est sur l'axe réel.
c) l'ensemble G des points M dont l'image est sur le cercle trigonométrique.

je n'ai su faire aucune question de 3)

merci de bien vouloir m'appoter votre aide.

yoshi

Modo Ferox

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Bonsoir,

Les vacances, ça comporte un défaut : on y prend goût... Enfin, moi, maintenant, ça ne me concerne plus...
Bon pour ton 1er exercice, le mot magique est rotation : j'espère que tu as vu ça...
Question 3.b) On peut aussi considérer que b-a et d-a sont les affixes respectives des vecteurs
[tex]\vec{AB}[/tex]  et AD (LaTeX capricieux ce soir...)
Or, pour passer de H affixe z à K affixe z' par une rotation de centre O et d'angle x, on écrit simplement :
[tex]z'=z.e^{ix}[/tex].
Or ton quotient étant i, tu as [tex](b-a)=(d-a)e^{i{\pi \over 2}}[/tex]
Donc tu as bien un tr rectangle et isocèle va une rotation de centre A (à cause de b -a et d -a) et d'angle +pi/2, qui transforme D en B ..
Pour ta dernière question, moi j'utiliserai ça... Rotation d'angle pi/3 et de centre O...

Je regarde le pb 2.

@+

Dernière modification par yoshi (08-10-2007 22:11:49)

yoshi

Modo Ferox

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Re,

Pas trouvé le temps en fait de vraiment creuser...
Et le soir, moi qui ne suis pas "un oiseau de nuit", je crains trop d'écrire des âneries... Je reverrai ça demain.
Mais le talentueux John, de retour après son crash de HD, va sûrement passer par là (ou qq d'autre) et se fera un plaisir de compléter...

Question 1. et 2. A priori correctes...
Querstion 3.. Pour b) partir sur z' réel donc z' barre aussi et z = z' barre (ça m'a réussi une fois..) ?
c) cercle trigO... Passer en coordonnées polaire ? r = 1 et angle alpha... ou [tex]z'=e^{i\alpha}[/tex]...

Ce ne sont que des idées... sans plus !

@+
(justement !)

[EDIT] Mon cerveau n'a rien voulu savoir... Me rev'la...
Bon
3a) si z' est imaginaire pur, comme la fraction est mulipliée par i, c'est donc que (z-2i)/(z+i) est un réel pur...
3b) Réciproquement ; si  z' est réel pur, comme la fraction est mulipliée par i, c'est donc que (z-2i)/(z+i) est un imaginaire pur...

La question 2. doit te permettre de corroborer tes résultats...

Dernière modification par yoshi (08-10-2007 22:19:21)

yoshi

Modo Ferox

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Bonjour,

Et pour ta question 3.c)...
Si M' appartient au cercle trigonométrique, alors |z'|=1
Or si je note
[tex]Z'=i.\frac{Z_{\vec{BM}}}{Z_{\vec{AM}}}[/tex],
alors
[tex]|z'|=\frac{BM}{AM}=1[/tex]

J'espère ne pas avoir dit de bêtises depuis hier...

@+

Maya

Invité

Re : exos sur les complexes [Résolu]

bonjour,

merci beacoup pour votre aide mais je ne vois vraiment pas pour les questions 3. a b et c....  j'aimerais bien d'avantage d'explications si cela est possible merci (de plus je n'ai plus beaucoup de temps pour résoudre ce problème )

yoshi

Modo Ferox

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Bonsoir,

3 c) Tu n'en conclus pas que MA = MB ? Quel est donc l'ensemble des points M tel que M soit équidistant de 2 points fixes A et B ?
3à) et b)
Il y a  un moyen plus simple pour le a) mais ce que je vais faire servira au b)...
[tex]\frac{z-2i}{z+i}=\frac{x+iy-2i}{x+iy+i}=\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+1)}=\frac{[x+i(y-2)][x-i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2}=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)][/tex]

A partir de là, je développe et réduis le produit des 2 crochets (j'appelle ci-dessous ce résultat : produit) et je fais apparaître : Re(produit) et Im(produit).
Dans les 2 cas on peut négliger la fraction 1/..., puisqu'on va avoir une équation dont le 2nd membre est 0 et que le dénominateur n'est jamais nul...
Pour le a) (z-2i)/(z+)i réel pur c'est que Im(produit) = 0
Pöur le b) inversement, si (z-2i)/(z+)i imaginaire pur  pur c'est que Re(produit) = 0

Vérifie quand même ce que je t'écris, même si personne ne m'a contredit depuis hier...

Ca te convient ?

@+

PS Lorsque tu écris

D(3/2+3/2i)

, c'est (3/2)*i  ou 3/(2i) ? Ton écriture prête à confusion...

Pour le temps qui presse, je sais bien qu'on ne fait pas toujours ce qu'on veut, mais il ne tenait qu'à toi de vérifier si tu avais des réponses dès hier...

maya

Invité

Re : exos sur les complexes [Résolu]

re,

c'est D((3/2)+(1/2)i).

MErci pour cette réponse je vais voir ça tout de suite, mais j'ai dabor une question:
"comment sait -on dans les deux membres (sachant que l'on supprime 1/...) quel est le "iy" et le "x" de l'écriture complexe?

yoshi

Modo Ferox

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Salut,

C'est pourtant un procédé classique... Ton 2e membre sera 0.
[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)]=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x^2-x(y+1)i+x(y-2)i+(y-2)(y+1)][/tex]

[tex]\frac{1}{x^2+(y+1)^2}}\times[x+i(y-2)][x-i(y+1)]=\frac{1}{x^2+(y+1)^2}\times[x^2+(y+1)(y-2)+i.x(y-2-y-1)][/tex]

Donc on s'intéresse à :

[tex]x^2+(y+1)(y-2)+i.(-3x)[/tex]

On a donc, pour ce morceau :
[tex]Re(produit)=x^2+(y+1)(y-2)[/tex]

Et

[tex]Im(produit)= -3x[/tex]

Maintenant pour a) et b) on a l'un ou l'autre = 0...

Est-ce que ça répond à ta question ?

@+

PS C'est bien de ne jamais accepter les calculs de quelqu'un d'autre pour "argent comptant" : il faut toujours vérifier...

Dernière modification par yoshi (10-10-2007 18:59:15)

Maya

Invité

Re : exos sur les complexes [Résolu]

re,

oui c'est vrai mais c'est toujours ce que je fais mais d'abord je prefère comprendre au lieu de recopier bêtement car le jour du bac il 'y aura que mes idées ....

merci énormément pour le temps que vous m'avez consacré .
Bonne soirée

Maya

Invité

Re : exos sur les complexes [Résolu]

Au fait j'ai une dernière question:

Mais même si on calcule les équations =0 comment peut -on determiner l'ensemble des points ...tel que ....?

yoshi

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Re : exos sur les complexes [Résolu]

Salut,

Désolé, j'ai pensé hier soir que tu avais pigé la raison d'être de ces équations, et comme tu as reposté tout de suite, je n'ai pas prêté garde...
En espérant que cela te serve quand même :
1. Si -3x = 0 alors x = 0 --> axe des imaginaires
2. [tex]x^2+(y+1)(y-2)=0[/tex]
D'où
[tex]x^2+y^2-y-2=0[/tex]
qui est l'équation d'un cercle :
[tex]x^2+\left(y-{1 \over 2}\right)^2-{1 \over 4}-2=0[/tex]
etc....
C'est le cercle de diamètre [AB] ey il faut exclure le point A puisque le dénominateur ne doit pas être nul...

x et y sont les coordonnées de M, donc si x = 0 quel que soit y, on a l'équation d'une droite sur laquelle se balade le point M.
Pour la même raison, dans la 2e formule on a une relation entre les coordonnées du point M, relation qui se trouve être l'équation du cercle de diamètre [AB]. Donc M doit être sur ce cercle : c'est la condition à laquelle M doit répondre pour que (z-2i)/(z+i) soit un imaginaire pur, donc que z' soit un réél pur...

Ok ?

@+

Un bon bouquin pour bosser seul(e). Je l'ai déjà recommandé (pub gratuite) à Bob :
"Interros des Lycées". Ed Nathan.
Des vrais interros ou morceaux avec le minutage et le corrigé (très) détaillé.
Chaque chapitre est précédé d'un résumé de cours.
Si tu as l'occasion, vas jeter un oeil dessus en Librairie...