suites numériques

yumi · 19-03-2019 15:48:05

bonjour, voici un énoncé banal sur les suites numériques, cependant j'ai un gros blocage avec celle ci.

Au cours d'une année, appelée année 0, un industriel sort un article qu'il vend au prix initial P0.

Le prix de vente de cet article suit au cours des années la loi suivante : Pn = 0,4_(n-1) + 120 dans laquelle Pn désigne le prix de l'article au cours de l'année n

1. On pose Qn = Pn + k. Montrer qu'il existe une valeur de k pour laquelle (Qn) est géométrique
2. En déduire l'expression de Qn puis celle de Pn en fonction de n et du prix initial
3. Montrer qu'il existe une valeur de P0 pour laquelle il y a stabilité de prix de vente de l'article.

Etant bloquée des la première question, je ne sais pas comment faire la suite. Merci d'avance de votre aide

evaristos · 19-03-2019 16:02:03

bonjour yumi
dans ton énoncé, que signifie le _ dans 0,4_(n-1)?

yumi · 19-03-2019 16:06:53

bonjour,

Pn = 0,4P $ X_{n+1} $

yumi · 19-03-2019 16:07:50

yumi a écrit :

bonjour,
Pn = 0,4P $ X_{n+1} $

Pn = 0,4 $ P_{n+1} pardon faute de frappe *

yumi · 19-03-2019 16:09:19

yumi a écrit :

yumi a écrit :
bonjour,
Pn = 0,4P $ X_{n+1} $
Pn = 0,4 $ P_{n+1} $ je vais y arriver!! *

yoshi · 19-03-2019 16:13:51

Salut,

[tex]P_{n+1}[/tex] vraiment ?
On exprime le prix de l'article au cours de l'année n en fonction de son prix dans l'année suivante n+1????
On a l'habitude de prévoir l'avenir ?

@+

yumi · 19-03-2019 16:18:50

yoshi a écrit :

Salut,
[tex]P_{n+1}[/tex] vraiment ?
On exprime le prix de l'article au cours de l'année n en fonction de son prix dans l'année suivante n+1????
On a l'habitude de prévoir l'avenir ?
@+

En effet, vous avez raison ! J'ai du mal avec le code latex !
Il s'agit de l'expression Pn = 0,4 $ P_{n-1} $ + 120 dans laquelle Pn désigne le prix de l'article au cours de l'année n

evaristos · 19-03-2019 16:45:48

ok maintenant la valeur de k te permettra de résoudre ton exercice.

yumi · 19-03-2019 16:51:26

evaristos a écrit :

ok maintenant la valeur de k te permettra de résoudre ton exercice.

J'essaie de montrer que (Qn) est géométrique grâce à (Pn) cependant je n'y arrive pas je suis blouquée

yoshi · 19-03-2019 17:09:54

Salut,

C'est un procédé classique.
Si [tex]Q_n=P_n+k[/tex] alors [tex]Q_{n-1}=P_{n-1}+k[/tex]
Et tu en tires :
[tex]P_{n-1}=Q_{n-1}-k[/tex]
que tu vas utiliser là :
[tex]Q_n=\underbrace{0,4P_{n-1}+120}_{P_n}+k[/tex]

Er maintenant tu continues et tu réfléchis...

@+

yumi · 19-03-2019 17:40:11

yoshi a écrit :

Salut,
C'est un procédé classique.
Si [tex]Q_n=P_n+k[/tex] alors [tex]Q_{n-1}=P_{n-1}+k[/tex]
Et tu en tires :
[tex]P_{n-1}=Q_{n-1}-k[/tex]
que tu vas utiliser là :
[tex]Q_n=\underbrace{0,4P_{n-1}+120}_{P_n}+k[/tex]
Er maintenant tu continues et tu réfléchis...
@+

Je suis désolée, mais je pense que je suis perturbée par le k. J'ai beau tenté, je suis bloquée...

yoshi · 19-03-2019 18:58:12

Re,

Bin justement, tu t'en occuperas à la fin...
Tu as juste à faire disparaître le $P_{n-1}$ par $(Q_n{n-1}-k)$
Tu devras développer, puis réduire les k...
Présente-moi déjà cette étape.

@+

yumi · 19-03-2019 19:47:06

Alors, si je dois remplacer $ P_{n-1} $ , cela donnerait $ Q_{n} $ = $ 0,4P_{n-1} $ + 120 + k
<=> O,4 ($ Q_{n-1} $ - k) + 120 + k
<=> 0,4 $ Q_{n-1} $ - 0,4k + 120 + k ???

J'ai conscience que c'est un exercice bête, mais lorsque je suis bloquée, je suis bloquée.

yoshi · 19-03-2019 19:49:54

Re,

Et réduire $-0,4k+k$, tu ne sais pas ?

@+

yumi · 19-03-2019 19:54:33

est ce que cela donnerait 0,6k ?

yoshi · 19-03-2019 20:10:24

Re,

Ah ! Que c'était duuuur....
Donc tu es arrivée à
$Q_n=0,4Q_{n-1} +(120+0,6k)$

Et maintenant on relit ce qui est demandé dans la question :
Montrer qu'il existe une valeur de k pour laquelle (Qn) est géométrique
Oui, mais comment le montrer ?
Mais simplement en calculant sa valeur...

Ah, au fait, j'ai fait exprès de mettre des parenthèses ! ;-))

@+

yumi · 19-03-2019 21:21:53

yoshi a écrit :

Re,
Ah ! Que c'était duuuur....
Donc tu es arrivée à
$Q_n=0,4Q_{n-1} +(120+0,6k)$
Et maintenant on relit ce qui est demandé dans la question :
Montrer qu'il existe une valeur de k pour laquelle (Qn) est géométrique
Oui, mais comment le montrer ?
Mais simplement en calculant sa valeur...
Ah, au fait, j'ai fait exprès de mettre des parenthèses ! ;-))
@+

Je tombe ainsi sur $Q_n=0,4Q_{n-1} +120-0,6k$
Mais que faire pour trouver k ??

yumi · 19-03-2019 21:48:34

Cela m'exaspère, je cherche pendant des heures, je sais que la réponse est surement bête, pourtant je n'y arrive pas.

yoshi · 19-03-2019 22:21:33

Re,

Et pourquoi écris-tu -0,6k quand moi, j'écris +0,6 k ? tu dois être sacrément perturbée...
Je t'ai pourtant dit :

Ah, au fait, j'ai fait exprès de mettre des parenthèses ! ;-))

Pourquoi donc ai-je bien pu éprouver le besoin d'écrire ça ? parce que j'avais envie de rigoler ?
Nan ! C'était une indication pour attirer ton attention sur cette partie !!!
Bin, pourquoi ça ?
Et je réponds à cette question par une question :
Hmmmmm.... et si on avait [tex]120+6k=0[/tex] ??? Hein ? Donc k= ?
Bin oui, ça te crevait les yeux !

@+

[EDIT] La suite demain.

Dernière modification par yoshi (19-03-2019 22:23:53)

yumi · 20-03-2019 07:55:56

yoshi a écrit :

Re,

Et pourquoi écris-tu -0,6k quand moi, j'écris +0,6 k ? tu dois être sacrément perturbée...
Je t'ai pourtant dit :
Ah, au fait, j'ai fait exprès de mettre des parenthèses ! ;-))
Pourquoi donc ai-je bien pu éprouver le besoin d'écrire ça ? parce que j'avais envie de rigoler ?
Nan ! C'était une indication pour attirer ton attention sur cette partie !!!
Bin, pourquoi ça ?
Et je réponds à cette question par une question :
Hmmmmm.... et si on avait [tex]120+6k=0[/tex] ??? Hein ? Donc k= ?
Bin oui, ça te crevait les yeux !
@+
[EDIT] La suite demain.

Je pensais qu’il fallait que je supprime les parenthèses, donc changer les signes à l’interieur de la parenthèse...

Si je résout l’equation, je tombe sur k = -20
Mais que devient le 0,4?

yoshi · 20-03-2019 08:14:41

RE,

Erreur de ma part hier soir : 0,6k pas 6k. Je te présente mes excuses...
[tex]Q_n=0,4(Q_{n-1}-k)+120+k[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}-0,4k+120+k[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}+(120+0,6 k)[/tex]
Et là qu'est-ce j'ai vu ?
Et bien ceci :
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}[/tex]
Et là je me suis dit que si la parenthèse valait 0, alors j'aurais bien (Qn) qui est une suite géométrique de premier terme $Q_0$ et de raison 0,4...
En effet :
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}=0,4\times\underbrace{ 0,4Q_{n-2}}_{Q_{n-1}}=0,4^2Q_{n-2}=0,4^3Q_{n-3}=....... = 0,4^{??}Q_0[/tex]
Donc pour cela, il faut que
[tex]120+0,6k = 0[/tex]
qui nous donne k=-200

Tu vois mieux maintenant ?

@+

yumi · 20-03-2019 09:33:13

yoshi a écrit :

RE,
Erreur de ma part hier soir : 0,6k pas 6k. Je te présente mes excuses...
[tex]Q_n=0,4(Q_{n-1}-k)+120+k[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}-0,4k+120+k[/tex]
$\Leftrightarrow$
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}+(120+0,6 k)[/tex]
Et là qu'est-ce j'ai vu ?
Et bien ceci :
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}[/tex]
Et là je me suis dit que si la parenthèse valait 0, alors j'aurais bien (Qn) qui est une suite géométrique de premier terme $Q_0$ et de raison 0,4...
En effet :
[tex]Q_n=0,4Q_{n-1}=0,4\times\underbrace{ 0,4Q_{n-2}}_{Q_{n-1}}=0,4^2Q_{n-2}=0,4^3Q_{n-3}=....... = 0,4^{??}Q_0[/tex]
Donc pour cela, il faut que
[tex]120+0,6k = 0[/tex]
qui nous donne k=-200
Tu vois mieux maintenant ?
@+

ah oui d’accord merci beaucoup ça me parait plus clair ! donc maintenant je dois exprimer Qn et Pn en fonction de n, ce qui ne va pas être une mince affaire...

yoshi · 20-03-2019 09:49:36

Bonjour,

donc maintenant je dois exprimer Qn et Pn en fonction de n

Dit comme ça, c'est impossible !!!
Heureusement, ce n'est pas ce que dit l'énoncé, ta citation est incomplète :

En déduire l'expression de Qn puis celle de Pn en fonction de n et du prix initial

Et le prix initial, c'est $P_0$

@+

yumi · 20-03-2019 10:06:09

Re,

Alors pour Qn je propose Qn = P0 + 200 et pour Pn........ ?? 0,4P0 + 120 ?

yoshi · 20-03-2019 10:16:29

Re,

Non, tout à fait incorrect : cela voudrait dire que Qn est constant...
Déjà, commence donc par exprimer $Q_n$ en fonction de $n$ et $Q_0$ puis de $n$ et $P_0$

@+

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