Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 11-02-2019 17:51:44
- Aethernalis
- Invité
PGCD de polynomes
bonjour,
dans un exercice, j'ai besoin de calculer le pgcd de deux polynômes :
X^n - 1 et (X -1)^n
Je bloque la dessus, je vous remercie d'avance pour votre aide !
#2 11-02-2019 18:48:01
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : PGCD de polynomes
Dernière modification par aviateur (11-02-2019 18:51:01)
Hors ligne
#3 11-02-2019 18:50:18
- Aethernalis
- Invité
Re : PGCD de polynomes
est ce interdit de poster une question sur plusieurs forums ?
#4 11-02-2019 18:55:21
- Aethernalis
- Invité
Re : PGCD de polynomes
je pense que la solution est X-1
en développant (X-1)^n on a uniquement des diviseurs polynomiaux de la forme (x-1)^k avec 0<k<n+1
or x^n -1 = x^n -1^n = (x-1)(1+x+...x^(n-1))
donc j'ai l'impression que X-1 se simplifie mais que l'on ne peut pas diviser le second membre par (X-1)^k
mais comment est ce que je prouve que (x-1)^k ne divise pas (1+x+...x^(n-1) pour k>1 ?
#5 11-02-2019 18:55:41
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : PGCD de polynomes
Il y des spécialistes qui postent simultanément la même question sur des forums différents. Il m'est déjà arrivé plusieurs fois de passer 1/4h ou 1/22 h pour répondre alors que plusieurs autres personnes ont passés du temps aussi à fournir la même réponse.
Bref on n'est pas des prestataires de services.!
Hors ligne
#6 11-02-2019 19:33:16
- Aethernalis
- Invité
Re : PGCD de polynomes
rien de vous oblige a me répondre, et de plus, je ne vais pas laisser une question sur un forum si je réussi a l'obtenir, je fais juste en sorte d'avoir plus de visibilité, je ne comprends pas la raison de votre mécontentement...
la question ne vous est pas spécifique, même sur ce forum les gens peuvent chercher simultanément, il se pourrai que vous cherchiez 1/2h et qu'une autre personne poste un message avant vous, donc je suis un peu surpris de votre réaction...
#7 11-02-2019 19:42:06
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : PGCD de polynomes
Si tu ne comprends pas ça prouve que tu ne comprends rien.
Hors ligne
#8 11-02-2019 19:44:15
- Aethernalis
- Invité
Re : PGCD de polynomes
bon, j'ai trouvé !
je ne vous remercie pas, je pensais trouver ici des gens plus aimables...
bonne soirée à vous
#9 11-02-2019 19:52:51
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : PGCD de polynomes
bon, j'ai trouvé !
je ne vous remercie pas, je pensais trouver ici des gens plus aimables...
bonne soirée à vous
Elle est bonne celle là.
Dernière modification par aviateur (11-02-2019 19:54:52)
Hors ligne
#10 12-02-2019 20:47:06
- Deugard
- Membre
- Inscription : 28-12-2018
- Messages : 36
Re : PGCD de polynomes
bonjour,
Il est clair que [tex]x-1[/tex] divise à la fois [tex] (x-1)^n[/tex] et [tex] x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1) .[/tex]
Pour montrer que [tex] x-1 [/tex] est bien le pgcd cherché , il suffit de prouver que [tex] x-1 [/tex] ne divise pas
[tex] x^{n-1}+x^{n-2}+...+ x+1[/tex], ce qui s'obtient en faisant la division euclidienne de [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex]
par [tex]x-1[/tex], dont le résultat est donné par :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = (x-1)(x^{n-2}+2x^{n-3}+3x^{n-4}+4x^{n-5}+...+(n-3)x^2+(n-2)x+n-1) + n [/tex],
(formule qui se vérifie facilement en développant) .
Le reste de la division étant le terme constant non nul n, on a bien le résultat voulu .
Hors ligne
#11 14-02-2019 19:03:57
- Deugard
- Membre
- Inscription : 28-12-2018
- Messages : 36
Re : PGCD de polynomes
bonjour,
Voici une autre façon de prouver que [tex]x-1[/tex] ne divise pas [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex], par la méthode des coefficients indéterminés .
Par l'absurde, supposons que [tex]x-1[/tex] divise [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex] : il existe alors un polynôme de la forme :
[tex]x^{n-2}+k_{n-3}x^{n-3}+k_{n-4}x^{n-4}+...+k_1x+k_0[/tex] tel que :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = (x-1)(x^{n-2}+k_{n-3}x^{n-3}+k_{n-4}x^{n-4}+...+k_1x+k_0)[/tex] .
En développant, on obtient :
[tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1 = x^{n-1}+(k_{n-3}-1)x^{n-2}+(k_{n-4}-k_{n-3})x^{n-3}+...+(k_1-k_2)x^2+(k_0-k_1)x-k_0 .[/tex]
Par identification des coefficients, on a d'abord: [tex]k_{n-3}-1 = 1[/tex] d'où [tex]k_{n-3}=2[/tex], puis [tex]k_{n-4}-k_{n-3} = 1[/tex] d'où [tex]k_{n-4} = 3[/tex];
par itérations on obtient finalement [tex]k_1=n-2[/tex] et enfin [tex]k_0=n-1[/tex]; mais on arrive à une contradiction,
puisque, d'après le développement, le coefficient [tex]k_0[/tex] doit valoir [tex]-1[/tex] .
Hors ligne
#12 15-02-2019 00:12:42
- Deugard
- Membre
- Inscription : 28-12-2018
- Messages : 36
Re : PGCD de polynomes
bonsoir,
Encore un procédé pour prouver que [tex]x-1[/tex] ne divise pas [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex] :
si c'était le cas, alors [tex]x-1[/tex] diviserait aussi [tex](x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1) + (x-1) =[/tex]
[tex]=x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+2x = x(x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)[/tex], d'où [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2[/tex] ;
ensuite, [tex]x-1[/tex] diviserait aussi [tex](x^{n-2}+x^{n-3}+...+x+2)+2(x-1)=[/tex]
[tex]=x^{n-2}+x^{n-3}+...+x^2+3x = x(x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3)[/tex], d'où [tex]x-1[/tex] diviserait
[tex]x^{n-3}+x^{n-4}+...+x+3[/tex] ;
en continuant ainsi, on arrive à ce que [tex]x-1[/tex] doive diviser [tex]x+n-1[/tex] : absurde .
Hors ligne
#13 15-02-2019 18:19:44
- Deugard
- Membre
- Inscription : 28-12-2018
- Messages : 36
Re : PGCD de polynomes
bonjour,
en fait, en théorie élémentaire des polynômes, [tex]x-1[/tex] divise le polynôme [tex]x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1[/tex]
si et seulement si 1 est racine de ce polynôme; or : [tex]1^{n-1}+1^{n-2}+...+1^1+1 = n \neq 0[/tex] ,
on peut alors conclure .
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée