lR est dénombrable par lN

renouve · 20-11-2005 03:16:33

Bonjour tout le monde

Malgré tous ce qui est écrit j'ai fait mes propre recherche et j'en suis venu à la conclusion que l'ensemble des réels est dénombrable par l'ensemble lN.

J'ai plusieurs d'émonstration, je vais vous montré le plus simple.

regardé le distribution suivante :
...............................................................................
... -4/4 ; -3/4 ; -2/4 ; -1/4 ; 0/4 ; 1/4 ; 2/4 ; 3/4 ; 4/4 ...
... -4/3 ; -3/3 ; -2/3 ; -1/3 ; 0/3 ; 1/3 ; 2/3 ; 3/3 ; 4/3 ...
... -4/2 ; -3/2 ; -2/2 ; -1/2 ; 0/2 ; 1/2 ; 2/2 ; 3/2 ; 4/2 ...
... -4/1 ; -3/1 ; -2/1 ; -1/1 ; 0/1 ; 1/1 ; 2/1 ; 3/1 ; 4/1 ...

forcément, tout les réels peuve être représenté dans ce tableau,
les reel peuvent donc être compté avec l'ensemble naturel.

Qu'en pensé vous ?

Fred · 20-11-2005 09:44:11

Ce que tu démontres là, c'est que l'ensemble des rationnels Q est dénombrable.
Mais il y a des réels qui ne s'écrivent pas sous forme de fraction, comme racine de 2 ou pi...

renouve · 20-11-2005 23:38:42

je savais qu'on allait me dire ça, mais c'est faux. La racine carré de 2 est représenté dans le tableau.

supeausont que le nombre de chiffre après la virgule de notre système de notation décimal est (W).
Alors ( racine2(2)*10^(W) )/( 10^(W) ) = racine2(2)
d'accord ?
Le numérateur racine2(2)*10^(W) est forcément dans le tableau, et le dénominateur 10*(W) y est aussi.
On doit donc en conclure que racine2(2) est dans le tableau et est dénombré lui aussi.

Fred · 21-11-2005 10:28:10

Sauf que racine de 2 a un nombre infini de chiffres après la virgule....

zidouni · 21-11-2005 10:29:12

l'ensembe R est presque surement non dénombrable par N car il n'ya pas de bijection possible entre eux, et pour cause la tribue des borrellien que contient R, cette proprieté est conférée par la topologie meme de R
voir cours :LES ESPACES DE BANACH

renouve · 22-11-2005 06:57:20

"presque surement non dénombrable" ? eh bien moi je sais qu'il sont dénombrable.
Ce qu'il faut faire c'est représenté le Cardinal(nbrs de terme) de l'ensemble lR. Deux ensemble infinie ayant un cardinal de même ordre/type sont dénombrable l'un et l'autre.
EX: Le Cardinal de l'ensemble lN est de même type que celui de l'ensemble Z, et une manière visuel de le prouvé est qu'il sont tout deux représentable sur une ligne pointillé :
L'ensemble lN est représenté comme ceci : ............................................>
L'ensemble Z est représenté comme ceci : <...........................................>
Cardinal de lN = ¥ et Cardinal de Z = 2¥ mais ¥ dénombre 2¥ car ils sont de même type.
Même si le Cardinal de un est le double de l'autre, ils restent de même type. Les deux ensemble nommé précédamment sont de la première dimention de nombre infini. Notre cher Cantor disait que l'ensemble lR faisait partie de la dimention suivante, mais c'est faux.
Dans notre systeme de notation décimal des nombre réels, avec un chiffre on peut fournir dix valeur. Et à cause des nombre négatif il faut doubler cette valeur. Combien y a t-il de chiffre au maximum pour écrire un nombre réel ? ¥ avant la virgule et ¥ après la virgule. Donc 2¥. Avec 2¥ chiffre ont peut fournir 2¥*10*2 valeur, donc 40¥. Est -ce que 40¥ est de même type que ¥ ? Oui, c'est réprésentable par 40 ligne pointillé. Alors l'ensemble lR est dénombralble car sont Cardinal est de type ¥.

Si vous ne me croyer toujours pas, écrivé moi votre opinion et je vous répondré. De toutes manière j'ai plein d'autres preuves.

corto · 01-12-2005 13:02:46

renouve a écrit :

Si vous ne me croyer toujours pas, écrivé moi votre opinion et je vous répondré. De toutes manière j'ai plein d'autres preuves.
réponse : Une preuve suffit, a condition qu'elle en soit une !
Tu dis :
" Dans notre systeme de notation décimal des nombre réels, avec un chiffre on peut fournir dix valeur. Et à cause des nombre négatif il faut doubler cette valeur. Combien y a t-il de chiffre au maximum pour écrire un nombre réel ? ¥ avant la virgule et ¥ après la virgule. Donc 2¥. Avec 2¥ chiffre ont peut fournir 2¥*10*2 valeur, donc 40¥. Est -ce que 40¥ est de même type que ¥ ? Oui, c'est réprésentable par 40 ligne pointillé. Alors l'ensemble lR est dénombralble car sont Cardinal est de type ¥."
Réponse : Avec 2¥ chiffres on peut fournir (10 puissance 2¥) valeurs : c'est bien là la grande différence !!
Ce qu'a prouvé Cantor c'est que quelque soit l'ensemble E de cardinal x , un ensemble de cardinal (2 puissance x) ne peut pas être mis en bijection avec E.
En particulier si Aleph0 désigne le cardinal de l'ensemble N des entiers naturels, il n'y a pas de bijection entre N et l'ensemble SI des suites infinies de 0 et de 1.
Par contre (et ton idée de preuve marchera pour cela), il y a bijection entre N et l'ensemble SF des suites finies de 0 et de 1

renouve · 02-12-2005 21:14:17

c'est vrai corto 2¥ chiffre fourni 10^2¥ (10 exposant 2¥) chiffres, c'était pour voir si vous suiviez ;) lol. Mais ça ne change rien car c'est là que cantor c'est tronpé. 10^2¥ est bien un infini de type Aleph0.
Vous-êtes d'accord avec moi que que 2^Aleph0 peut être représenté par un solide de la dimension Aleph0 et ayant 2 point par arrête. Donc un solide infini de dimension infini mais d'arrête fini. Et c'est pour ça qu'on peut compté tous les points du solide. Il sufit d'y aller une dimension après l'autre : on commence par en compté 1, puis 1, 2, 4, 8, 16... soit 2*2*2*2. on ne manquera jamais de nombre naturel.
Maintenant il reste à savoir si Aleph1 existe ? et si oui, comment le représenté ? par Aleph0^Aleph0 ? Je vais y réfléchir, faite de même, on s'en reparle @+

chaos140 · 05-12-2005 20:14:47

Salut a tous,
je voulais vous signaler (mais vous deviez deja le savoir) que la demontration que R n'est pas denombrable ce fait avec le raisonnement par l'absurde sur la diagonale de cantor... Si quelqu'un pense que R est denombrable c'est qu'il doit y avoir une erreur dans cette demo?!? De plus on sait depuis longtemps que racine de 2 n'est pas un rationnel donc ca sert a rien de chercher un fraction egale a rac(2)...

renouve · 12-12-2005 01:42:19

Salut Chaos,
Effectivement la méthode de Cantor est une démonstration ABSURDE !

Réfléchissez ! C'est pas parce que Cantor la dit que ce doit être vrai. On peut tous ce trompé.

Regardez je vais recencé les nombre de zéro à un ( Je sais il y a plus de chiffre après la virgule mais c'est pour vous montrez le principe ) :

0,00000000000 On garde le 1e caractère : 0
0,00000000001 On garde le 2e caractère : ,
0,00000000002 : 0
0,00000000003 : 0
0,00000000004 : 0
0,00000000005 : 0
0,00000000006 : 0
0,00000000007 : 0
0,00000000008 : 0
0,00000000009 : 0
0,00000000010 : 0
0,00000000011 : 1
0,00000000012 : 2

Soit 0,00000000012
Si on fait le procodé diagonale cela nous donne un nombre qui existe déjà. Et ça marche peut importe le nombre de chiffre après la virgule.

Et en passant il existe une fraction représentant la racine carré de 2.

chaos140 · 12-12-2005 23:11:33

Je ne suis pas sur que ce soit la diagonale de Cantor....
En faite la version que je connais s'ennonce plutot comme ca:
Supposons que les ri forment une liste des reels de l'intervalle ]0, 1[.

r1=0, 3 7 5 1 9 7 ...
r2=0, 4 5 8 0 6 4 ...
r3=0, 5 7 0 1 2 1 ...
r4=0, 1 0 5 3 3 3 ...
...
Considerons un reel x = 461275...di...
tel que di n'est pas egal a la ieme decimale de ri
x ne figure pas dans notre liste donc elle est incomplète.
L'ensemble R des reels n'est donc pas denombrable.

Il me semble qu'on ne peut contredire ca.

Sinon s'il existe un fraction de racine de 2 (au sens ou racine de 2 est dans Q)
jamerais bien la voir ecrite ou avoir une preuve de sont existence ...
( il y aurait plutot un demonstration de son inexistance et ce que l'on appelle une "fraction continue" mais cela ne veut pas dire que racine de 2 s'ecrit comme un quotient. Bien au contraire)

Sinon tu a raison tout le monde peut se tromper...

renouve · 13-12-2005 03:34:24

C'est vraie racine carré de 2 ne s'écrit pas comme un quotient de deux nombre fini, mais comme un quotient de 2 nombre infini.
J'aime ta manière de pensé chaos, et je suis sure que bientot tu aura ta propre vision et non celle de Cantor, malgré que tu peut bien sûre partagé son avi.
Je n'ai bien sur pas la prétention d'être un plus grand mathématicien que Cantor, cepandant je suis sûr d'avoir comprit quelque chose qui à échappé à Cantor.

Cantor disait que Aleph1 = 2^Aleph0 (2 exposant Aleph0)
Je te demande ton opinion sur cet énoncé. Est-ce que tu croit vraiment que 2*2*2*2... Va un jour donné un nombre d'un dimention plus grande que celle d'Aleph0.
Moi je pense plutot à Aleph1 = Aleph0^Aleph0, bien que je doit encore y réfléchire.
L'énoncé ci haut ne nous dit pas si les lR son dénombrable par les lN mais je veus juste savoir ton oppinion.

chaos140 · 13-12-2005 10:50:32

Il n'y a pas besion d'introduire de nouvelles notion qui a mon avis t'echappe un peu (en effet Aleph1 = 2^Aleph0 n'est qu'un facon d'expliquer un idee a des etudiants mais ne NA AUCUNE VALEUR EN SOI... Pour pouvoir etre rigoureux sur ces choses la Il faut d'autres notions beucoup plus difficiles et dont il n'est pas necessaires d'utiliser tant que la diagonale de cantor n'est pas comprise...)

La definition de denombrable (je te la rappelle) est l'existence d'une bijection entre N et ton ensemble; Ici R.
Or la demonstration de Cantor montre qu'il N'EN EXISTE PAS. A moins qu'il y est une erreur dans la demo (ce qui m'etonnerai puisque elle est connu depuis des dizaines d'annees et tous les mathematiciens sont d'accord pour dire qu'elle est juste; de plus je l'avait trouve par moi meme etant petit) il n'y a pas a discuter sur aleph1 etc... Donc si tu as un probleme de comprehension avec la demo je pourrai t'eclairer ou si tu as une erreur a faire remarquer je suis pret a argumenter dessus. En attendant R est toujours indenombrable, jusqu'a preuve du contraire.

Sinon juste une precision, on dit que le quotient (irreductible) Q1/Q2 est dans Q ssi Q1 ET Q2 sont finis... En effet dans le cas contraire, ce "nombre" est dans R. (pour rappel inf n'appartient pas a N ni a R)
On peut meme demontrer (mais pas aujourdhui) si la fration continue est infinie alors le nombre est irrationnel.

Les etudes en + ou - inf sont des choses tres bien connus des mathematiciens, qui ont developper des techniques fiables et rigoureuses depuis des centaines d'annees. Le probleme c'est qe des gens ne connaissant pas bien les mathematiques peuvent tres vite faire des erreurs de raisonnement ou de demonstration dans ce domaine. Le conseil que je pourrai te donner est de bien regarder ce qui ete fait, d'essayer de bien comprendre les choses (qui n'ont rien d'evidente surtout dans le domaine des ensembles infinis.)

Pour reprendre ta remarque, il est difficile d'avoir chacun son oppinion en maths. Ce n'est pas de la philo. C'est une science abstraite. On peut observer des erreurs, ne pas comprendre des choses, mais il ne peut y avoir 2 raisonnements justes et contradictoires (a notre niveau en tout cas). C'est la base des maths.

Pour t'expliquer un peu quand meme, les explications d'aleph viennent du cardinal de l'ensemble des partitions d'un ensemble... (fait le calcul dans un ensemble fini tu verra) De plus, ici "aleph = infini " n'est ce pas ? Donc Aleph = 2^Aleph (quelque soit l'aleph A ou 2) n'a pas de sens. Par contre, tu peux ecrire des fonctions du genre f(x)=2^x=exp(xln(2)) et regarder la limite a l'infini. Ca ne tapportera rien pour ta demo mais ca veut dire plus de choses que 2*2*2*2...
Sinon la notion de dimension n'a RIEN a voir avec les Aleph mais plus avec les espaces vectorielles (au minimun)...

Et pour te donner mon avis, sur aleph1 = Aleph0^Aleph0 (en supposant que ce ne soit qu'un moyen d'expliquer ce que tu veux dire ) Ce nombre est encore ""plus grand que 2^Aleph0 "" (tu remarquera mes doubles " parceque ca ne veux rien dire plus grand que ici mais bon) Donc cela montrerai, si cetait vrai que R serai encore "plus indenombrable". Donc cette idee est le contraire de ce que tu me dis au dessus.

Tu dois savoir aussi que les mathematiciens ont des ensembles qui on un cardinal different de ce que l'on parle ici...

J'attend donc "ton avis sur la diagonale de cantor" (je m'en tiendrai a ca)

chaos140 · 13-12-2005 10:58:12

Une petite precision: quand j'ai parlé des quotients de nombres infinis,
si on a lim x->inf f(x)=inf et lim x->inf g(x) (et g(x)!=0 pour tout x) alors lim x->inf f(x)/g(x) peut avoir une valeur dans N, Q, R ou dans aucun des trois... J'espere que c'est ce que tu avais compris (je navais pas ete clair desole)

renouve · 14-12-2005 18:08:14

Je t'avoue ne pas avoir le même language que les mathématicien car, à vrai dire, je n'ai que 16 ans et je ne suis même pas au cegep. Et c'est pourquoi que je ne comprend pas la version orginel du procédé diagonal de cantor. Et pour moi, quand je dit qu'un ensemble A est dénombrable par un ensemble B, c'est qu'on peut associer a chaque terme de la liste A un terme de la liste B, sans utilisé 2 fois un même terme de l'ensemble B. Ai-je raison ? Parce que pour moi le mot bijection ne me dit rien.
À tu msn messenger ? Si oui, je croit qu'il sera plus facile de communiqué. Je vois tajouté à mes contact.

chaos140 · 14-12-2005 19:28:14

oui c'est une bonne idee voila mon pseudo : chaos140@hotmail.fr
tu as raison de t'interesser a des sujets comme ca... C'est aussi bon de critiquer les choses ca fait toujours avancer les choses...

chaos140 · 14-12-2005 19:28:58

oui c'est une bonne idee voila mon pseudo : chaos140@hotmail.fr
tu as raison de t'interesser a des sujets comme ca... C'est aussi bon de critiquer les choses ca fait toujours avancer les choses...

chaos140 · 14-12-2005 19:29:42

oui c'est une bonne idee voila mon pseudo : chaos140@hotmail.fr
tu as raison de t'interesser a des sujets comme ca... C'est aussi bon de critiquer les choses ca fait toujours avancer les choses...

chaos140 · 14-12-2005 22:04:39

Desole pour la repetition des messages, j'ai eu un bug mon navigateur...

moiseti · 25-12-2005 15:54:42

Ce problème relève de la logique mathématique et de la théorie des ensembles (fondateur : G. Cantor). Sur le site http://perso.wanadoo.fr/moiseti je démontre que tous les ensembles infinis ont la même puissance, celle de N (ensemble des entiers naturels), et que, par conséquent, R (ensemble des réels) est dénombrable. Attention, il faut bien connaître la théorie des ensembles (ZFC).

renouve · 26-12-2005 02:56:06

Enfin quelqu'un qui me croit ! lol

jean paul · 07-05-2006 15:40:33

pourrais-tu tous me reespliquez je n'y ai rien compris

Mmm · 04-06-2006 01:49:23

Topic assez exceptionnel... je dois dire que j'ai bien rigolé !

Mmm · 04-06-2006 15:33:59

Et pour ceux que ça intéresse :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Argument_d … _de_Cantor

Il faut se lever tôt pour montrer que cette démo est fausse :-D

moiseti · 14-06-2006 13:17:38

A propos de la démonstration donnée par Wikipedia (message 24)

Pour démontrer : "R est plus puissant que N", on montre que l'hypothèse "R peut être mis sous forme d'une suite" mène à une contradiction.

1) Cette suite est l'image, dans R, d'une surjection h de N dans R. L'application surjective h est représentée par une partie de l'ensemble produit N×R, appelée graphe de l'application h. Tout couple (a, b) du graphe signifie h(a) = b ("b est l'image, par h, de a"), où a est un élément de N et b un élément de R. Ce graphe est une partie structurée : tous les graphes d'applications surjectives sont définis par les mêmes formules, quels que soient les ensembles en jeu (1).
Il est important de se rappeler que la construction de N×R est "mécanique", a priori, en ce qu'elle ne tient absolument pas compte des propriétés naturelles des éléments de N et de R associés par les couples de N×R.

2) On doit donc démontrer dans les mêmes conditions, en faisant abstraction des propriétés naturelles des éléments de N et de R, qu'aucune partie de N×R n'est le graphe d'une application surjective h.

3) Or la démo, très télévisuelle, donnée par Wikipedia ne se sert que des propriétés naturelles.
Le raisonnement tient, mais la conclusion qu'on en tire est fausse. Elle est en fait : "si h est une application surjective de N dans R, alors on ne peut en donner une définition "locale" (basée sur les propriétés naturelles de N et de R)". Autrement dit : "on ne peut construire la suite recherchée en s'appuyant sur les propriétés naturelles des éléments de N et de R".

4) On n'a donc pas démontré que h, sous la forme d'un graphe, n'existe pas dans N×R. Pour cela il faudrait en outre démontrer que les deux approches, propriétés naturelles/graphe, sont équivalentes.

(1) Pour en savoir plus rendez vous sur mon site (voir message # 20).

(Suite dans 28)

Dernière modification par moiseti (11-10-2006 10:59:41)

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#21 26-12-2005 02:56:06

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#22 07-05-2006 15:40:33

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#25 14-06-2006 13:17:38

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