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#1 14-04-2007 08:52:30

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Bonjour,

Je redécouvre avoir promis à John (ça peut aussi en intéresser d'autres d'ailleurs) un problème.
Ce problème, lorsque je lui avais montré, avait fait saliver un prof de de Maths de mes amis et qui m'avait dit :
<< Ah, je sens que mes Maths-Sup vont te bénir, demain ! >>

Alors voilà :
On considère un champ en forme de disque de rayon R.
Sur le cercle, on plante un piquet, auquel on attache une corde (supposés sans épaisseur) au bout de laquelle il y une chèvre.
On demande quelle doit être la longueur x de la corde, exprimée en fonction de R, pour que la chèvre puisse brouter la moitié de la surface du champ.

Enjoy !!


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#2 16-04-2007 19:21:53

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
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Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Bonsoir Yoshi,
Problème d'intégration très intéressant effectivement, surtout pour le calcul des bornes... malheureusement, le problème que tu as traité cette semaine m'a donné la solution quasiment instantanément. Il aurait été préférable de poser ce problème dans un mois ou deux. Là, oui, j'aurais probablement galèré...
A+

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#3 19-04-2007 18:17:45

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut,

Chuis déçu...
Va falloir que je fouille ma boîte à malices pour trouver autre chose...

Mais pt'êt que ta soluce intéresse qqun ?

@+


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#4 20-04-2007 07:11:52

john
Membre actif
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Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Hello yoshi (et tous),
J'espère que tu es "déçu en bien" comme disent nos amis frontaliers... Solution après le 1er Mai, si je parviens à arracher ce poil qui pousse au creux de ma main en période de vacance.
A+

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#5 20-04-2007 10:45:58

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut,

A vrai dire, j'avais peu d'espoir de t'arrêter plus de 5 min... Mais quand même, découverte presque instantanée de la solution, là ne puis que m'incliner bien bas, au risque de devoir me "coltiner un tour de reins"...

Mais je vais bien exhumer quelque chose qui sort de l'ordinaire (sinon, c'est pas marrant)...

Patience :-)

@+


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#6 04-05-2007 19:25:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
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Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut,

Chais pas si t'as remarqué, mais les modos n'ont pas eu de roupiller pour que le forum reste propre : la lutte a été chaude : on a failli être submergé : avant le verrou posé par Fred, mercredi après-midi il y avait un spam par heure !
Pfff...
Depuis hier ça va bcp mieux !
Je réfléchirai à ton pb dans le calme...
@+


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#7 06-05-2007 12:30:44

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Hello tous, toutes
Comme promis yoshi, voici ma solution au problème de la chèvre... mais je suis revenu à une intégration que je trouve finalement plus directe (avec un bon formulaire d'intégrales).
----------------------------------------------
Pour simplifier, le pré circulaire a pour rayon r = 1.
On le considère centré sur l'origine => périphérie (C1) d'équation x² + y² = 1.
La chèvre peut atteindre la périphérie de (C2) d'équation (x-1)² + y² = u².
On cherche le rayon u = R tel que l'aire broutée soit la moitié de l'aire de C1.
----------------------------------------------
Les points d'intersection de C1 et C2 ont pour abscisse X = 1 - u²/2
On peut calculer l'aire A de la "lune gibbeuse" dévorée par la chèvre par intégration d'une bande en arc de cercle centrée en (1, 0) et de rayon u compris entre 0 et 2 :
Arc de rayon u intercepté par le pré = 2.Arccos[(1-X)/u] = 2.Arcos[u/2]
Longueur de l'arc =  2.u.Arcos[u/2]
A =  Somme de 0 à R de 2.u.Arcos[u/2].du
= (u² - 2).Arcos(u/2) - u.V(4 - u²)/2] prise entre 0 et R
= (R² - 2).Arcos(R/2) - R.V(4 - R²)/2 + Pi
Cette aire doit être égale à Pi/2, d'où l'équation à résoudre en R :
2.(R² - 2).Arcos(R/2) - R.V(4 - R²) + Pi = 0
qui donne par calcul numérique un rapport R/r = 1,1588...
------------------------------------------------
J'espère que yoshi va nous donner une expression analytique pour R/r...
Pour Bob : j'ai cherché une solution faisant intervenir S.Arcos(i)... mais les notations n'auraient pas été très cohérentes. Je vais donc me contenter d'aller voter.
A+

Dernière modification par john (06-05-2007 12:34:15)

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#8 04-06-2007 07:21:35

JJ
Membre
Inscription : 04-06-2007
Messages : 95

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Bonjour,

ce problème, dit "de la chèvre", est fréquemment évoqué sur les forums de maths. Sa réponse a été donnée à de nombreuses occasions. Elle figure en introduction dans un article publié dans le magazine QUADRATURE n°49 de juillet 2003 (article donnant une réponse à un problème plus général). Voir :
http://www.maths-express.com/articles/hyperchevre.pdf

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#9 04-06-2007 12:10:59

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Bonjour et merci JJ pour ce lien très intéressant.
A+

(et aussi bienvenue, bien que ce ne soit pas la toute première fois...).

Dernière modification par john (04-06-2007 12:13:44)

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#10 04-06-2007 12:43:15

Simon Cussonet
Invité

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

JJ a écrit :

Bonjour,

ce problème, dit "de la chèvre", est fréquemment évoqué sur les forums de maths. Sa réponse a été donnée à de nombreuses occasions. Elle figure en introduction dans un article publié dans le magazine QUADRATURE n°49 de juillet 2003 (article donnant une réponse à un problème plus général). Voir :
http://www.maths-express.com/articles/hyperchevre.pdf

La petite histoire ne dit pas quelles sont les probabilités que la chèvre attachée à ce piquet se fasse dévorer avant d'avoir pu brouté la superficie voulue ?, sachant que les champs circulaires sont statistiquement 13,5 fois  plus fournis en terriers de renards et autres prédateurs caprins de tous genres que les champs magnétiques .

#11 06-10-2009 05:32:53

gatha
Membre
Inscription : 28-09-2009
Messages : 46

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

bonjour, on me l'avait présenté comme le problème de Poincaré
J'y broute toujours!
@+

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#12 10-10-2009 17:14:00

nerosson
Membre actif
Inscription : 21-03-2009
Messages : 1 658

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut à tous,
Il y a une chose (parmi beaucoup d'autres) que je ne comprends pas.
Je vois tous ces agrégés ou au moins licenciés (au bon sens du terme) en maths et en informatique s'exciter sur ce problème de chèvre et élaborer des solutions auxquelles moi, petit matheux de merde, ancien collégien rouillé par l'âge et future victime d'Alzeimer (et encore : future...hum!), ça me parait simple.
Comme je ne suis pas prétentieux, je me dis que sans doute c'est moi qui n'ai rien compris et que ma solution ne tient pas la route.
Alors je voudrais vous la donner pour que vous m'expliquiez en quoi je me ridiculise, mais ça va pas être simple, parce que je ne sais pas représenter des équations sur ordinateur. N'abandonnez pas en cours de route.
La surface (S) du champ, c'est bien PI multiplié par le carré du rayon (R) ? Donc, la surface à brouter par la chèvre, c'est (PI x R carré) divisé par 2 .
Passons au cercle destiné à la chèvre : J'appelle "s" sa surface et "r" son rayon qui est la longueur de la corde.
On a :  s = PI x r carré, donc r = racine de (s divisé par PI). Je remplace "s" par sa valeur :
r = racine de (PI x R carré divisé par 2 PI). En simplifiant : longueur de corde = r = racine de (R carré divisé par 2).
Qu'est-ce qui cloche ?

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#13 10-10-2009 17:51:05

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut jeune homme,

Oui, ça cloche, parce que ta formule calcule l'aire d'un disque (pas d'un cercle, le cercle c'est juste la ligne frontière entre intérieur et extérieur, mais passons...), or la forme broutée par la chèvre n'est pas un disque, ni même UN morceau de disque :
chevrenerosson.jpg

C'est la somme de deux aires de 2 calottes (????  j'ai oublié le nom de ces tranches) circulaires l'une se calculant à partir du disque de rayon R, l'autre du disque de rayon r (mises en évidence par ma corde marron, corde du cercle pas de la chèvre), à condition de connaître de r qui est précisément l'objet de la question !

@+


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#14 11-10-2009 12:27:48

nerosson
Membre actif
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Messages : 1 658

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Merci, Yoshi,
Bien compris. Compris surtout que c'est trop fort pour moi et que je ferais mieux d'aller brouter ailleurs. Le malentendu vient de ce que j'ai confondu les notions de "cercle" (je crois me souvenir que, "de mon temps", on disait "circonférence") et de "disque". J'ai planté mon piquet dans le disque. Honte à moi ! Je me coucherai moins bête ce soir.
P.S. Tout ce que je crois discerner, au vu de ta figure (pardon : ton schéma) c'est que x > R. Encore une sottise ?

Dernière modification par nerosson (11-10-2009 12:34:03)

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#15 11-10-2009 13:16:24

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 11 391

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut,


A priori, non, pas de bêtise !
Facile à voir : si tu prends un rayon = R et si tu traces le diamètre tangent à l'arc de cercle frontière du "broutage" tu vois bien que la zone verte est à l'intérieur du demi-disque ainsi matérialisée et donc que dans ce cas que la longueur R de la corde n'est pas suffisante.
Donc on doit  bien avoir x > r.
Oui, c'est assez difficile !

@+


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#16 12-10-2009 15:15:44

nerosson
Membre actif
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Messages : 1 658

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut, Yoshi, j'ai réfléchi à ma fausse interprétation du problème.
A l'époque où j'usais mes fonds de culotte sur les bancs du collège (qui, en ce temps là menait jusqu'à la fin des études secondaires), on employait les mots "circonférence" et "cercle". le disque était réservé au terrain de sport.
C'est la terminologie qui a varié. Ma fausse interprétation était donc légitime. Donc, toutes réflexions faites, je m'accorde l'absolution sans pénitence.
Par contre, en disant que x > R, j'ai un peu enfoncé une porte ouverte. excuses.

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#17 17-01-2010 19:17:27

gatha de La Ciotat
Invité

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

bonsoir. Ce problème me laisse songeur ...
A savoir qu'il est plus simple à résoudre en 3 dimensions, que dans un plan.
Sur un plan, le longueur de la corde semble difficile à calculer, alors que sur un globe, elle doit être égale à PI/2 . R
,où bien me trompe-je?

#18 17-01-2010 19:34:48

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Ave Gatha,

Sur un plan, le longueur de la corde semble difficile à calculer(...)

Semble ? J'espère que c'est une clause de style : je peux te dire que c'est fichtrement coton à faire.
Je te conseille vivement d'aller voir ic :
http://www.maths-express.com/articles/hyperchevre.pdf
et tu auras la réponse à tes questions...

@+


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#19 17-01-2010 23:09:49

gatha de La Ciotat
Invité

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Merci yoshi, pour la précision. Toutefois, imagine la scène, sans plonger trop loin dans les mathématiques.
Au pôle nord, tu plantes un piquet, avec la corde et la chèvre. Quelle longueur de corde est nécessaire pour permettre à la chèvre de brouter jusqu'à l'équateur.
Je pense sûrement à tort que la corde doit atteindre l'équateur sans le dépasser, soit PI/2 . R.
Vois tu une autre solution?
Merci

#20 18-01-2010 08:57:05

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 11 391

Re : Une chèvre doit brouter la moitié d'un pré circulaire... [Résolu]

Salut,

Non, c'est juste : [tex]l=\frac{\pi R}{2}[/tex]
Et si je veux que la chèvre attachée à un piquet planté à l'un des pôles broute exactement la surface d'une calotte sphérique de hauteur h, il me faut une corde de longueur :
[tex]l=R\times \arccos\left(\frac{R-h}{R}\right)[/tex].
Au passage si h = R, on retrouve une demi-sphère et [tex]\frac{R-h}{R}=0\Rightarrow \arccos(0)={\pi \over 2}[/tex] et on retrouve le résultat précédent que j'avais obtenu autrement  (comme toi probablement)...

En effet, pour générer une demi-sphère de révolution de rayon R, il faut que je fasse tourner autour de l'un des rayons un secteur circulaire de rayon R et d'angle [tex]\frac{\pi}{2}[/tex].
La longueur de la corde est la la longueur de l'arc de cercle donné par la formule : [tex]l=R.\alpha,\;avec\; \alpha={\pi \over 2}[/tex].

@+


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