Comment répartir les sièges lors d'une élection proportionnelle ?

Le président de la confédération galactique se gratta le front d'un tentacule nerveux ... On ne peut tout de même pas découper un conseiller en trois !

12 février 3000. Les 3 astres habités du système solaire, sur le point d'adhérer à la Confédération, devaient se répartir 5 sièges au Conseil. Chacun trouvait raisonnable d'attribuer les sièges proportionnellement à la population de chaque astre :

Cela faisait un conseiller pour 3 milliards d'habitants, et déjà au moins 3 conseillers pour la Terre, et 1 pour Mars. Jusque-là, tout le monde était d'accord. Le hic, c'était le cinquième siège ... Le règlement de la Confédération était formel : attribution au plus fort reste.

Avec 3 milliards d'habitants pour chaque conseiller, cela faisait 3,3 conseillers pour la terre, 1,3 pour Mars et 0,4 pour la Lune : le siège revenait à la Lune. Le représentant de la petite colonie lunaire, frustrée d'être toujours considérée comme une annexe de la terre, était évidemment d'accord !

Mais les Terriens ne l'entendaient pas de cette oreille. « Ce point de vue est parfaitement injuste ! Un conseiller pour 1,2 milliards d'habitants sur la Lune, alors que chacun des nôtres "pèsera" en moyenne 3,3 milliards d'habitants! Si on attribuait ce cinquième siège à la Terre, chacun de nos conseillers représenterait encore près de 2,5 milliards d'habitant ! Bien plus que si on le donne à Mars, ou, pire encore, à la Lune ! Si l'on maintient ce règlement stupide, nous nous retirons de la Confédération ! disaient-ils. »

377 ans de négociations bêtement remises en cause ! Le président épongea une sueur verdâtre, et consulta discrètement ses adjoints : « Pas question de changer le règlement, mais j'ai une proposition qui pourrait nous sortir de l'impasse : attribuer un siège supplémentaire au système solaire. »

Tout le monde applaudit et signe avec enthousiasme. Il y avait donc maintenant six sièges à répartir. Ce n'est que le le lendemain que l'on retrouva le délégué de la Lune suicidé dans sa chambre. Cet événement devait marquer le début d'une des plus longues guerres du sytème solaire ...

Avec 6 sièges, la règle de proportionnalité donne maintenant un conseiller pour 2,5 milliards d'habitants. Cela fait alors 3,96 sièges pour la Terre, 1,56 pour Mars, et 0,48 pour la Lune ce qui, avec la règle du plus fort reste, donne 4 sièges pour la Terre et 2 sièges pour Mars. On a augmenté le nombre de sièges, et la Lune perd le sien, alors que Mars et la Terre gagnent un siège ! Pas si facile d'avoir un mode de scrutin juste ...

Voyons maintenant de façon un peu plus générale comment procéder. On considère une élection avec $V$ votants et $n$ partis, que l'on appelle $P_1,\dots,P_n.$ Le parti $P_k$ reçoit $v_k$ votes et il y a $S$ sièges à attribuer. Le parti $P_k$ représente une proportion égale à $v_k/V$ des votants, et donc, par simple proportionnalité, il devrait se voir attribuer $q_k=\displaystyle S\times \frac{v_k}{V}$ sièges. C'est ce que l'on appelle son quotient électoral. Bien sûr, le problème est que dans les votes réels, il n'y a pas de raisons pour que tous les $q_k$ soient des entiers, et comme on ne peut pas attribuer des fractions de siège, il faut trouver une solution !

La première méthode a été proposée par Alexandre Hamilton, un homme politique américain du XVIII^è siècle, considéré comme l'un des Pères fondateurs des États-Unis, alors qu'il réfléchissait aux modalités de fonctionnement de la première démocratie. On commence par attribuer à chaque parti la partie entière de son quotient électoral (le nombre avant la virgule). Il reste alors un certain nombre de sièges à attribuer, inférieur ou égal au nombre total $n$ de partis. On classe ensuite les partis en fonction des restes, c'est-à-dire de la partie après la virgule des quotients électoraux. On attribue alors un siège au premier parti classé, puis un siège au parti suivant, et ainsi de suite jusqu'à épuisement des sièges.

C'est le mode d'attribution qui a été expliqué ci-dessus pour le système solaire. Voyons un autre exemple, peut-être un peu moins caricatural. On considère une élection avec 1000 votants, 4 parties (A, B, C et D), le parti A ayant obtenu 414 voix, le parti B 324 voix, le parti C 134 voix et le parti D 128 voix. Il y a 20 sièges à pourvoir. Le tableau ci-dessous résume les différents calculs faits.

Initialement, 8 sièges sont attribués au parti A, 6 au parti B, 2 au parti C et 2 au parti D. Il reste deux sièges à attribuer, ils sont donnés aux deux partis avec le plus fort reste, le parti C et le parti D. On obtient finalement 8 sièges pour A, 6 sièges pour B, et 3 sièges chacun pour C et D, ce qui est plutôt proche de la répartition idéale théorique.

Cependant, cette méthode n'est pas parfaite. Comme on l'a constaté sur l'exemple de la Lune, il est possible qu'en ajoutant un siège au total des sièges à pourvoir, un des partis perde un siège. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de l'Alabama. En effet, il fut observé pour la première fois en 1880 par C. W. Seaton, chef de service au bureau du recensement américain. Il étudiait le nombre de sièges à attribuer à chaque État à la chambre des représentants, et constata que l'Alabama se verrait attribuer 8 sièges avec une chambre de 299 sièges, et seulement 7 sièges pour une chambre de 300.

Un point important de cette méthode, c'est qu'elle donne plus d'importance aux votants des petits partis. Dans l'exemple qu'on vient de décrire, un élu du parti B représente 54 votants, alors qu'un élu du parti D représente 42,7 votants ! Dit autrement, D a la moitié du nombre d'élus de B, tout en ayant moins de 40% des voix de B. Mais ce n'est pas ce critère qu'on a choisi de privilégier.

En 1792, à peu près au même moment qu'Hamilton donc, Jefferson a proposé une autre méthode pour attribuer les sièges restants dans le but de rendre le plus équitable possible le rapport nombre de votants / élus. Cette méthode a été retrouvée par le mathématicien belge Victor D'Hondt en 1878 et est désormais connue sous le nom de méthode de Jefferson - D'Hondt.

Jefferson propose, pour attribuer les sièges restants, que l'on étudie, si on ajoute un siège à chaque parti, la moyenne de voix par sièges et il décide d'attribuer le premier siège restant au parti pour lequel la moyenne est la plus forte. Le but est que chaque élu représente à peu près le même nombre de votants. On continue ainsi avec les autres sièges, en tenant compte des sièges ajoutés au fur et à mesure, jusqu'à épuiser les sièges vacants.

Reprenons notre exemple précédent. La répartition initiale a été calculée ci-dessus, il reste deux sièges à attribuer, et calculons en outre le rapport nombre de volants / (nombre de sièges + 1). On trouve le tableau suivant.

Si on attribue un siège supplémentaire à chaque parti, la moyenne de voix par sièges la plus élevée est pour le parti B, c'est à lui qu'il faut attribuer le premier siège vacant. On recommence, mais en tenant compte que $B$ a désormais $7$ sièges. On obtient le tableau suivant :

Cette fois, c'est au parti A qu'il faut attribuer le siège restant. Finalement, avec cette méthode, le parti A se voit attribué 9 sièges, le parti B se voit attribué 7 sièges et les partis C et D se voient attribués 2 sièges chacun. On peut comparer par rapport à la méthode d'Hamilton : les sièges supplémentaires ont été donnés à deux partis différents.

En outre, avec la méthode de Jefferson, on peut démontrer que le paradoxe de l'Alabama ne peut pas exister. Pour autant, cette méthode n'est pas sans défaut. Ainsi, il est possible qu'un parti remporte plus d'un siège supplémentaire par rapport à son quotient électoral théorique. Prenons par exemple une élection avec 4 candidats, A,B,C et D, 100 votants, A recueillant 85 voix, B recueillant 6 voix, C recueillant 5 voix et D recueillant 4 voix. L'attribution des sièges par la méthode de Jefferson suit les étapes suivantes :

Première étape :

Autrement dit, après calcul du quotient électoral, seul A reçoit 8 sièges et il reste deux sièges à attribuer. Le premier tour nous dit que si on attribue 9 sièges à A, alors chacun de ces élus représentera 9,4 votants, soit plus que si l'on attribue un élu à B, C ou D. Le premier siège supplémentaire va donc à A.

Deuxième étape :

A nouveau, le siège supplémentaire est attribué au parti A. Finalement, avec la méthode de Jefferson, le parti A a complètement écrasé les autres partis. Et ne pensez-pas que ceci n'est qu'un cas d'école. Lors du calcul du nombre de sièges de chaque État à la Chambre des représentants des États-Unis en 1820, avec le « vrai » quotient électoral, l’État de New York devait recevoir 32,49 sièges, mais en reçut 34. Ceci se reproduisit en 1832, motivant les États-Unis à revenir à la méthode du plus fort reste.

Le scrutin à la proportionnelle évite certains abus : avec un scrutin majoritaire, il pourrait suffire de 51% pour obtenir tous les sièges à une Assemblée. La répartition des sièges entiers ne fait en général pas l'objet de contestations. C'est la répartition des fractions de sièges qui provoque les bizarreries. La répartition au plus fort reste avantage les "petits". La répartition à la plus forte moyenne avantage les "gros". Les deux méthodes sont adoptées suivant ce que l'on cherche à privilégier. Aucune des solutions n'est parfaite. Mais les mathématiques permettent de choisir en connaissance de cause!

Cette page est en partie inspirée d'un (vieux) livre Trapèze 3ième, aux éditions Bréal.