Enigmes géométriques

  Notons $L$ la somme des longueurs des segments ajoutés. Alors, lorsqu'on fait la somme des périmètres des 3 quadrilatères et des 4 triangles, on fait la somme des longueurs des côtés du grand triangle, et deux fois la somme des longueurs des trois segments. En effet, chaque segment se décompose en 3 parties. Chacune de ces parties est un côté d'un petit triangle et d'un quadrilatère. Sa longueur est comptée deux fois lorsqu'on fait la somme des longueurs des quadrilatères et petits triangles. On a donc l'équation : $$19+2L=20+25$$ ce qui donne $L=13$.

  Il suffit de les aligner comme sur la figure ci-dessous : En fait, si l'on prend 6 droites, 2 à 2 non parallèles, et qui ne se coupent jamais à 3 ou plus en un même point, il y a 15 points d'intersection. Il suffit de disposer les arbres aux points d'intersection de ces droites.

  Vous sauverez Véro en remarquant que l'emplacement de la potence n'a pas d'influence sur le point que l'on trouve au final. Regardez le dessin suivant : la potence a été placée à deux endroits différents, P₁ et P₂. En suivant toute la démarche indiquée dans le parchemin, on trouve le même point!   Expliquons géométriquement ce fait. On note P la potence, C le chêne, E l'érable, T le trésor, J le premier pieu, K le second. On se place dans le repère suivant : C est le centre du repère, (CE) est l'axe des abscisses, et le repère choisi est orthonormé. E a pour coordonnées (a,0), et P(x,y) (x et y sont inconnues). K est obtenu à partir de P par rotation de centre C et d'angle -pi/2. Ses coordonnées sont donc K(y,-x). K est obtenu à partir de P par rotation de centre E et d'angle Pi/2. Ses coordonnées sont donc J(a-y,x-a). Les coordonnées de T milieu de [KJ] sont donc T(a/2,-a/2). Cela ne dépend pas des coordonnées de la potence.

  Pour Véro, il suffit donc de prendre n'importe quel point de l'ile pour point de départ. Le plus facile est encore de prendre un des deux arbres!