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Eust_4che

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Limites d'une suite d'ensembles

Bonjour à tous,

Dans un livre que j'utilise, on définit la limite d'une suite d'ensembles $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en posant $ \lim \limits_{n \rightarrow + \infty} A_n = \bigcup \limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$ si la suite est croissante et $ \lim \limits_{n \rightarrow + \infty} A_n = \bigcap \limits_{n \in \mathbb{N}} A_n$ si elle est décroissante.
Il s'agit vraiment d'une définition ou d'un résultat de topologie ? J'ai essayé de le démontrer en prenant la topologie de l'ordre, mais ça ne fonctionne pas :-(

Fred

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Re : Limites d'une suite d'ensembles

Bonjour,

  Ce qu'on définit, pour toute suite $(A_n)$ de parties d'un ensemble $E$, c'est la limite inférieure et la limite supérieure de la suite $(A_n)$ :
$$\liminf A_n=\bigcup_{N\geq 1}\bigcap_{n\geq N}A_n\textrm{ et }\limsup A_n=\bigcap_{N\geq 1}\bigcup_{n\geq N}A_n.$$

Si ta suite est croissante, alors ces deux limites coïncident et sont égales à $\bigcup_{n}A_n$.

Si ta suite est décroissante alors ces deux limites coïncident et sont égales à $\bigcap_n A_n$.

F.

Eust_4che

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Re : Limites d'une suite d'ensembles

D'accord, merci Fred !