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#1 29-04-2022 12:34:39
- raphael.thiers
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Facteur de convergence dans la méthode de la puissance
Bonjour, je m'intéresse à la démonstration de la convergence de la méthode de la puissance dans le cas d'une matrice diagonalisable, dans l'ouvrage d'analyse numérique de Lascaux& Théodor.
Je bloque sur le point du facteur de convergence.
Si on a une suite de point de $\mathbb{C}^n ~ z_k = u + a^kv+o(a^k) $ avec $a$ un complexe tel que $|a|< 1$, et $u$ et $v$ deux vecteurs non nuls et non colinéaires
alors $||z_k||=||u||+O(|a|^k)$ (là je suis d'accord)
mais la conclusion semble évidente pour l'auteur que la suite $w_k=\frac{z_k}{||z_k||}$ ait pour facteur de convergence $|a|$
Or pour moi, pour le prouver il me faudrait plutôt un développement asymptotique de $||z_k||$ (avec un $o$ et pas un $O$ donc)
Sinon j'obtiens $||w_k-\frac{u}{||u||}||=O(|a|^k)$. et je ne peux pas conclure car je ne peux pas diviser des $O$.
J'arrive à trouver un développement asymptotique avec la norme euclidienne mais je n'y arrive pas avec n'importe quelle norme. Or le résultat de la méthode de la puissance est valable pour toute norme.
Pourriez- vous m'aider? Il suffirait de prouver que pour une norme donnée il existe un réel $\alpha$ tel que $||z_k||=||u||+\alpha|a|^k+o(|a|^k)$.
A moins qu'on ne puisse s'en sortir autrement ?
PS : le rapport de convergence d'une suite $z_k$ tendant vers $l$ c'est la limite en l'infini de $\frac{||z_{k+1}-l||}{||z_k - l||}$
Dernière modification par raphael.thiers (29-04-2022 17:49:08)
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#3 29-04-2022 17:46:11
- raphael.thiers
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Re : Facteur de convergence dans la méthode de la puissance
C'est la suite $w_k$ qui m'intéresse Fred; j'ai fais une erreur que je vais corriger dans la première demande (pour z_k c est immédiat en effet)
$||w_k-\frac{u}{||u||}||=O(|a|^k)$.
Dernière modification par raphael.thiers (29-04-2022 17:52:25)
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#5 30-04-2022 07:59:13
- raphael.thiers
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Re : Facteur de convergence dans la méthode de la puissance
Bonjour Fred, voici les quelques pages concernées; par rapport à l'ouvrage j'ai fais quelques simplifications en considérant $z_k=\frac{x_k}{\alpha_1\lambda_1^k}$.
C'est en page 492 que tombe la conclusion sur le facteur de convergence.
Comme je disais, je n'arrive au résultat que pour la norme euclidienne (car je peux expliciter le développement asymptotique de la norme) et pas pour n'importe quelle norme.
J'ai surement compris un truc de travers .. Si tu arrives à m'aider c'est cool !
Raphaël
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#7 30-04-2022 17:12:26
- raphael.thiers
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Re : Facteur de convergence dans la méthode de la puissance
(c'est $w_k$ le mauvais élève) Merci Fred d'avoir pris du temps sur ce problème! A la prochaine !... Raphaël
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#8 02-05-2022 16:27:08
- raphael.thiers
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Re : Facteur de convergence dans la méthode de la puissance
Après avoir cherché de façon un peu désespérée sur internet, j'en suis arrivé à la solution très simple que l'auteur ne respecte pas sa définition du facteur de convergence... (celle que j'avais donné en PS)
Cette notion semble assez floue et ne fait pas l'unanimité, sur Wikipédia on parle de "taux de convergence" en $O( |\frac{\lambda_2}{\lambda_1}|)$ et sur une archive HAL je trouve "Le facteur de convergence vers la première valeur propre est en $O( |\frac{\lambda_2}{\lambda_1}|)$"
et malheureusement à chaque fois je n'ai pas accès à leur définition du taux ou du facteur ...
( ma valeur $a$ dans mon texte, correspond bien à $a=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}$ ou une valeur de module inférieure) .
Bref, si une personne maîtrise l'analyse numérique ...
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