Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Doddy

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Complexes représentation géométrique

Bonjour
Je dois trouver la représentation géométrique des points M d'affixe z tels que :

|1-1/z|²=2

Après simplification je trouve

(a-1)² -b² = 2a²

Est-ce suffisant pour dire que c'est un cercle de centre o( 1; 0 ) et de rayon ( racine de 2 ) × a  . Merci d 'avance pour votre aide .

Pidelta

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

ce qui suit est faux

(a-1)² -b² = 2a²

Est-ce suffisant pour dire que c'est un cercle de centre o( 1; 0 ) et de rayon ( racine de 2 ) × a

Doddy

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Re : Complexes représentation géométrique

Merci Pidelta pour votre réponse. Mais pouvez-vous préciser ce qui est faux : la simplification ou l'interprétation qui la suit ? Car j'ai cette interprétation ne me satisfait pas mais je n'arrive pas à faire le lien entre mon calcul et l'équation d'un cercle ( peut-être car il ne s'agit peut-être pas d'un cercle dans cet exercice. 
En vous remerciant par avance de votre réponse.
Bonne soirée.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonsoir,

l'équation réduite d'un cercle de centre $A(x_A\,;\,y_A)$ et de rayon $R$ est $(x-x_A)^2$+$(y-y_A)^2=R^2$
M étant un point quelconque de ce cercle, on a : $AM^2=R^2$
Et $AM^2=(x-x_A)^2$+$(y-y_A)^2$

OK ?
Donc,non, ce que tu as trouvé, n'est pas l'équation d'un cercle...
Si tu devais trouver l'équation d'un cercle, alors il y a une erreur dans les calculs (que je n'ai pas faits !)...

@+

Doddy

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Re : Complexes représentation géométrique

Merci pour votre réponse rapide. Et votre explication .c'est parce que je ne trouvais pas exactement une équation de cercle que je pensais être dans le faux.

Après avoir retravaillé ma simplification je trouve aussi :
( a-1)(-a-1)= b²

Mais je ne parviens pas à faire le rapprochement avec une équation de quelque représentation géométrique que se soit.  .
En vous remerciant par avance de vos éclaircissements.

Je ne suis ni lycéen ni étudiant, j'ai plus de 50 ans et je fais des maths pour le plaisir !

Pidelta

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Re : Complexes représentation géométrique

ta ligne est fausse développe un peu

Dernière modification par Pidelta (10-04-2022 17:36:13)

Doddy

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour et merci pour les réponses.
J'avoue ne pas savoir où je fais erreur...
Je pose M d'affixe a+ ib,  après avoir mis les modules au carré j'ai :
[(a-1)²+b²] / [ a² +b²]  = 2

( a-1)² + b² = 2a² + 2b²

(a-1)² - 2a = b²

Ensuite quelquesoit mes factorisations ou développements je retombe sur :
-a²-2a+1 = b²      que j'ai factorisé en

(a-1)(-a-1) = b²

b = +ou- racine de[(a-1)(-a-1)]

Pourriez-vous s'il vous plaît me dire à partir de quelle ligne il y a erreur,  me l'expliquer et vers où dois-je aller ?
Merci d'avance pour votre service !

Bernard-maths

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour à tous !

Il me semble que |1-1/z|² = 2 <=> lz-1l² = 2* lzl² pour z non nul ...

Reste à remplacer z par M(x,y) ; si I(1,0) et O(0,0), cela revient à : MI² = 2 * MO² ...

La suite donne une équation en x et y ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-04-2022 11:03:22)

Tof

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

l'ensemble cherché est l'image du cercle de centre 1 et de rayon $\sqrt{2}$ ( donc ne passant pas par O ) par l'homographie Z -> 1/Z,
c'est alors un cercle.
Plus précisément le cercle en Z d'équation $( Z -1) ( \overline {Z} -1) = 2$ donne directement en z l'équation $( z +1) ( \overline {z} +1) = 2$
qui donne dans la foulée le cercle de centre -1 et de rayon  $\sqrt{2}$.

Proverbe chinois: si on se sert des complexes en géométrie, autant s'en servir jusqu'au bout.  :-)

Tof

Dernière modification par Tof (11-04-2022 15:34:55)

HeX666

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

sauf erreur, on est tous d'accord que
(x-1)(x-1)+y²=2(x²+y²)

Donc
x²-2x+1+y²=2x²+2y²
x²+y²+2x-1=0
(x+1)²-1+y²-1=0
(x+1)²+y²=2

Ce qui est clairement l'équation d'un cercle de rayon √2, mais de centre (-1;0)

Xavier

Doddy

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

sauf erreur, on est tous d'accord que
(x-1)(x-1)+y²=2(x²+y²)

Donc
x²-2x+1+y²=2x²+2y²
x²+y²+2x-1=0
(x+1)²-1+y²-1=0
(x+1)²+y²=2

Ce qui est clairement l'équation d'un cercle de rayon √2, mais de centre (-1;0)

Xavier

Merci à vous tous pour vos messages.
Xavier,
Après vérification avec M d'affixe  -1-racine de 2 je trouve bien que le module au carré est égal à 2. Donc c'est bien le bon cercle. 
C'est une méthode algébrique mais peut-on aussi le trouver plus geometriquement ?
En prenant le point A d'affixe -1 je ne suis pas allé plus loin que
  | Z(M) - Z (A)|² = 2 | Z(M)|²

En vous remerciant par avance de votre éclaircissement

Doddy

Tof

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

Dans le plan euclidien, la relation MA/MB = k (>0) fournit un cercle ou une droite, en passant aux vecteurs et en exprimant les choses avec le produit scalaire.

Tof

Dernière modification par Tof (12-04-2022 06:42:24)

Tof

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,

Si on préfère se cantonner à des calculs algébriques dans $\mathbb{C}$,  il vaut mieux employer l'équation des droites-cercles faisant intervenir z et son conjugué $\overline{z}$, ce  qui permet de rester clair lorsqu'on applique par la suite des transformations classiques ( inversions, homographies, similitudes directes ou indirectes...), la structure des équations restant généralement inchangées.

Tof

HeX666

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Re : Complexes représentation géométrique

Back to roots...

Reprenons la définition initiale du problème:
[tex]|1-\frac{1} {z}|²=2[/tex]
soit
[tex]\left( 1-\frac{1}{z} \right) \left( 1-\frac{1} {\bar z} \right)=2[/tex]
[tex](z-1)(\bar z-1)=2z\bar z[/tex]
[tex]z\bar z-z-\bar z+1=2z\bar z[/tex]
[tex]z\bar z+z+\bar z -1=0[/tex]
soit au final
[tex](z+1)(\bar z+1)=2[/tex]
Soit [tex]\Omega[/tex] le point d'affixe -1+i.0 (on remarquera sans trop de difficulté que [tex]\Omega=\bar\Omega[/tex]
on cherche donc l'ensemble des complexes z tels que
[tex](z-\Omega)(\bar z-\bar\Omega)=2[/tex]
soit
[tex](z-\Omega)\overline{(z-\Omega)}=2[/tex]
[tex]|z-\Omega|²=2[/tex]
[tex]|z-\Omega|=\sqrt 2[/tex]
Ce qui est, sauf erreur, la définition géométrique d'un cercle de centre [tex]\Omega[/tex] et de rayon [tex]\sqrt 2.[/tex]

Xavier

Doddy

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Re : Complexes représentation géométrique

Merci de vos réponses.
Xavier,
Pour moi le " soit "n'est pas si evident que çà. J'ai pu retrouver l'énoncé après quelques lignes de calcul à partir de la ligne en dessous de " soit" . Mais passer de l'énoncé à cette ligne et coulait pas de source pour moi. Pour la suite, c'est bon je  comprends l'enchaînement. 
Bon week-end à tous !

HeX666

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Re : Complexes représentation géométrique

Bonjour,
pour clarifier ce qu'il se passe avant le "soit":
[tex]|1-\frac{1} {z}|²=\left( 1-\frac{1}{z} \right) \overline { \left( 1-\frac{1} { z}  \right) } =\left( 1-\frac{1}{z} \right) \left( 1- \overline{(\frac{1}{z})} \right)=\left( 1-\frac{1}{z} \right)\left( 1-\frac{1}{\bar z} \right)[/tex]

Et la suite de l'histoire reprend son cours.

Xavier