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Kibi

Invité

Arithmétique

Bonjour à tous ! J'espère que vous allez bien.
Je coince sur cet exo, je ne sais pas comment l'aborder

Déterminer une famille de nombres premiers tels que l'équation $E_{p} : px^{3} +  py^{2} + x^{2} = 200$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}^{2}$.

Je pensais poser une famille de nombres premiers adéquate puis montrer qu'elle fonctionne mais je ne vois pas comment poser une telle famille.
Merci d'avance !

Tof

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Re : Arithmétique

Bonjour,

La famille ( p, premier, 200 non carré modulo p ) répond à la question.
Sauf erreur elle contient (3,11,13,...).

Tof

Dernière modification par Tof (27-04-2022 09:28:27)

Kibi

Invité

Re : Arithmétique

Bonjour Tof,
Merci de votre retour !

Pour démontrer que cette famille fonctionne, j'ai posé $a$ tel que $200 \equiv a [p]$ et supposé que a n'est pas un carré modulo p. Alors dans $\mathbb{Z}_{p}$, $E_{p}$ devient $x^{2} = a$ qui n'a pas de solutions car on a supposé que a n'était pas un carré modulo p.
On en déduit que $E_{p}$ n'a aucune solution dans $\mathbb{Z}^{2}$.
Le raisonnement est-il juste ? Merci d'avance !

Tof

Membre

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Re : Arithmétique

Bonjour,

Je vous ai donné une condition suffisante sur p ( premier ) telle que si elle est vérifiée ( selon les valeurs de p) , alors l'équation relative au mêmes p n'a pas de solution.
Dans l'autre sens, dit autrement,  s'il existe une solution, nécessairement 200 à l'ajout près d'un multiple de p, doit être un carré.
Autrement dit, si elle est résoluble en entiers, 200 modulo p est un carré.
D'où la contraposée qui donne une condition suffisante sur p pour que votre équation n'ait pas de solution.
Vous pourrez vérifier que 200 n'est pas carré dans Z/3Z, Z/11Z, Z/13Z etc .
On peut regarder aussi pour les autres non mentionnés, si c'est possible ou pas.
La question, telle qu'elle semble posée, ne demande pas la famille exacte S, mais de donner  au moins une partie de S.
Donner l'ensemble complet S des solutions me paraît plus difficile.
Ou encore dit différemment, il faut cette condition, au minimum, sur p , pour que ce soit compatible:
à savoir que 200 soit carré modulo p.

Je pense aussi que c'est pour cela que la question est ainsi formulée:
si on vous demandait pour quels p c'est compatible, après avoir purgé ceux qui ne conviennent pas, il faudrait examiner les autres... bon courage!
J'avoue que côté divisibilité je n'ai pas regardé davantage la question... la vue de l'autre carré et pire du cube étant assez décourageant.
Sans doute peut-on affiner encore...

Tof

Kibi

Invité

Re : Arithmétique

Merci pour votre retour,
Je comprends ce que vous voulez dire. Déterminer S doit être un cran de difficulté supérieure.
Merci encore pour votre aide, je vous souhaite une bonne journée !