Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Tof

Membre

Inscription : 09-04-2022

Messages : 52

valeur possible de la limite d'une suite convergente

Bonjour,

Si f est une bijection quelconque sur $\mathbb{N*}$ et que la suite ( f(n)/n ) converge vers L, je comprends  que L ne peut pas être str. supérieur à 1 et , par ailleurs , si f = id,  L vaut 1.
Peut-on aussi montrer que L < 1 est impossible ?
J'ai inversé les termes de la suite et utilisé la bijection réciproque pour me ramener au premier cas, mais cela ne semble pas fonctionner, même en utilisant que f tend vers $+\infty$.

J'imagine que quelque chose m'échappe ( si L = 1 est la seule possibilité )

Tof

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : valeur possible de la limite d'une suite convergente

Bonjour,

  Si $f(n)/n$ admet une limite $L<1$, alors il existe $\epsilon>0$ et $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $f(n)\leq (1-\epsilon)n$.
Mais alors, pour $n\geq n_0$, $f(n_0)$, $f(n_0+1)$, ... , $f(n)$ sont des entiers distincts, qui sont tous inférieurs ou égaux à $(1-\epsilon)n$.
Ceci implique que l'on doit avoir $n-n_0\leq (1-\epsilon)n$, ce qui est impossible pour les grandes valeurs de $n$.

F.

Tof

Membre

Inscription : 09-04-2022

Messages : 52

Re : valeur possible de la limite d'une suite convergente

Bonjour,

Merci Fred.
On peut donc rédiger l'ensemble de la question je pense ainsi ( n' hésitez pas à me signaler toute bourde):
soit f une bijection  $\mathbb{N^*}  \rightarrow  \mathbb{N^*}$ telle que la suite  ( f(n)/n ) converge vers une limite L. Déterminer L.

Pour f = Id, L =1.

- Si L >1 , $\exists N \in \mathbb{ N^*} :  n \ge N => f(n) > n \; donc \; f(n) \ge n+1$.
Donc les entiers de [1 , N] sont les images par f des entiers de [ 1, N-1] ce qui est impossible.

- Si L < 1 , $\exists  \epsilon,  \;1> \epsilon> 0 \; \exists  N \in \mathbb{ N^*} \;n \ge N => f(n) \le  (1 - \epsilon) n$.
Les n - N +1 entiers non nuls $f(N), f(N+1),.. , f(n) \;appartenant \;à \;\; [1, (1 - \epsilon) n ]$ on a :

$\forall n \ge N, \; n - N +1 \le (1 - \epsilon) n $ donc $n\epsilon \le N-1 pour \; tout \;n \ge N$.
C'est impossible ( propriété d'Archimède).

Conclusion : L = 1 est la seule valeur effectivement possible.

Je pense aussi finalement pour éliminer le second cas, que la suite $f^{-1}(1)/1 , f^{-1}(2)/2, .... $tend vers 1/L > 1, qui ramène au premier cas impossible
en changeant f en $f^{-1}$ aussi bijective que f.
Mais ce n'est pas tellement plus simple si on veut être propre, il faut  3 lemmes préliminaires ( faciles par-contre et relativement intuitifs) pour le prouver:

- si L < 1 alors  L n'est pas nul
- $lim_{n \rightarrow +\infty} ( f(n) ) = +\infty$ si f est bijective quelconque (l'injectivité suffit )
- si $lim_{n \rightarrow +\infty} ( u(n) ) = L \; alors \; lim_{n \rightarrow +\infty} ( u(f(n) ) = L$ si $lim_{n \rightarrow +\infty} ( f(n) ) = +\infty$

nantis de ces 3 propriétés , alors en composant par $f^{-1}$  on a  $  u( f^{-1}( n ) )=  (n/f^{-1}(n) )$ qui tend aussi vers L, 0 <L <1.
Il vient immédiatement en inversant la suite que $lim_{n \rightarrow +\infty} f^{-1}(n)/n = 1/L >1 $
Résultat impossible selon le premier cas.

Tof

Dernière modification par Tof (24-04-2022 18:32:04)