Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Junior ste

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Divisibilité

Salut.
Désolé pour le dérangement mais j'ai un souci qui est le suivant:
La représentation en décimal d'un nombre est donnée par 770ab45c. Trouver les chiffres a,b et c tels que 168 divise ce nombre....

yoshi

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Re : Divisibilité

Bonsoir,

J'ai envisagé 3 étapes.
$168=3\times7\times 8$
1. Divisibilité par 8. Elle doit exister sur le modèle de cette par 4 : 3 derniers chiffes. 45c doit se diviser par 8. Une solution.
2. Divisibilité par 3. Plusieurs couples candidats
3. Départage avec 7.
    Un lemme très intéressant :
    un nombre se divise par 7 ssi la somme du nombre de dizaines et de 5 fois le chiffre des unités est lui-même divisible par 7.
    Recommencer tant que cette somme est strictement supérieure à 56.
    Le nombre testé est divisible par 7 si le résultat final l'est.
    ex : 861. $86 + 1\times 5=91 =13\times 7$ (Là c'est ma mémorisation des tables de multiplication avec tous les résultats jusqu'à 100).
    Sinon 91> 56 d'où  $9+1\times 5 =14$ permet de répondre

@+

Dernière modification par yoshi (25-03-2022 23:23:56)

Junior ste

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Re : Divisibilité

Salut.
Yoshi soit plus explicite stp??

yoshi

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Re : Divisibilité

RE,

Yoshi soit plus explicite stp??

Je veux bien, mais je ne vois pas ce qui te gêne.
A part peut-être la divisibilité par 7 : elle est pénible. Je n'ai pas testé, je me suis dit que j'allais te laisser un peu de grain à moudre.
Il y a d'autres techniques pour cette divisibilité, par ex :
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … visi7D.htm
https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_de_ … ilit%C3%A9
La méthode par soustraction semble aller plus vite, ainsi que faire le boulot par tranches de 3 chiffres.

Je n'ai pas trop de temps :je n'ai pas fini ma revue, j'ai encore deux pages à faire un édito à rédiger et  préparer le routage pour 140 exemplaires... Je prends un peu de mon temps, mais je ne peux guère intervenir plus souvent d'ici encore quelques jours : j'ai aussi encore qq problèmes avec les comptes de ma mère à régler.
Désolé...

@+

Djean

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Re : Divisibilité

Salut,
... en remarquant que (0, 0, 0) est solution, il reste à trouver avec un tableur les multiples de 168 de la forme **00*, soit 10 solutions en tout.
A+

Black Jack

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Re : Divisibilité

Salut,
... en remarquant que (0, 0, 0) est solution, il reste à trouver avec un tableur les multiples de 168 de la forme **00*, soit 10 solutions en tout.
A+

Bonjour,

Tu penses donc que le nombre 77000450 est divisible par 168 ?

Je ne trouve pas la même chose.

Sauf erreur de ma part :

Par la divisibilité par 8, on trouve qu'il y a une seule solution pour c

Par la divisibilité par 3, on trouve 6 possibilités pour la somme (a+b)

Par la divisibilité par 7 (toujours plus ennuyeuse), et en remarquant que 77000000 est divisible par 7, on peut en chipotant un peu limiter les candidats solutions pour ab (pas le produit, les 2 chiffres se suivant) à 15 possibilités.

Et en déduisant la somme (a+b) à partir des "ab" candidats solutions ... on arrive finalement à 5 nombres solutions.

Je n'ai tien vérifié (sauf que les 5 solutions que j'ai trouvées conviennent).

Dernière modification par Black Jack (28-03-2022 11:43:48)

Junior ste

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Re : Divisibilité

Salut.
J'ai déjà résolu mon problème mais je n'ai pas encore publié parceque la solution au problème est longue et je ne connais rien en latex si une personne peut me donner le code pour insérer une image ici envoit comme ça je publie le résultat et nous vérifions tout ensemble. Merci bien.

Djean

Invité

Re : Divisibilité

Oups !
Piégé par excel ! Désolé.
Mais par la même méthode (77000450 -2) divisible par 168, il reste à trouver les multiples de 168 de la forme (**00* + 2).
Soit 5 solutions
(0, 1, 6)
(2, 2, 6)
(4, 3, 6)
(6, 4, 6)
(8, 5, 6)
NB -  3 min de calcul pour qui sait se servir d'excel (càd pas moi).
Merci de me signaler mon erreur puisque je trouve 5 solutions.

yoshi

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Re : Divisibilité

Re,

Non, pas d'erreur...
Un p'tit coup de Python en "brute force" :

 

print ("Solutions :")
for a in range(10):                                        # a varie de 0 à 9
    for b in range(10):                                    # Pour chaque a, b varie de 0 à 9
        N= 77000000+a*10**4+b*10**3+456  # Calcul de N. ** est ^ en Python
        if N%21==0:                                        # Je teste la divisibilité par 21 (3 x 7)
            print(N,end=" ")                               # J'écris les résultats séparés par une espace
 

Et on obtient :

Solutions :
77001456 77022456 77043456 77064456 77085456

Pour qui sait programmer en Python :
- 30 s d'écriture
- Lancement du script
- Résultats instantanés

@+