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ccapucine

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Résoudre Laplace dans S'

Bonjour,
je cherche à résoudre La place dans l'espace des distributions tempérées $S'(\mathbb{R^n})$
En passant à Fourier dans l'équation $\Delta u =0$, on a
$$
-||x||^2 F(u)=0.
$$

Voici ce que je lis, soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n,\star})$. On a
$$
\langle F(u), \varphi \rangle_{D',D}= \langle ||x||^2 F(u), \dfrac{\varphi}{||x||^2}\rangle
$$
Puisque $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n,\star)$, alors $ \dfrac{\varphi}{||x||^2} \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n,\star)$
Donc on a $$\langle F(u),\varphi \rangle_{D',D}= 0, \ \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n,\star})$$
ce qui implique que $Supp F(u)= \emptyset$ ou $Supp F(u)= \{0\}$

Mes questions sont:

1- pourquoi écrire le crochet $\langle F(u), \varphi \rangle_{D',D}$ avec  $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n,\star})$ au lieu de $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^{n})$?

2- Ca veut dire quoi $Supp F(u)= \emptyset$?

Cordialement