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Abdoumahmoudy

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Limite et domaine de définition

Salut , je veux poser une question qui est relatif au calcul de limites , je sais que pour calculer la limite d'une fonction en un point,il faut que la fonction soit définie en ce point, mais pourquoi on a sin(x)/x comme exemple, admet une limite de valeur 1 en 0 ,mais elle n'est pas définie en 0?!

Roro

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Re : Limite et domaine de définition

Bonjour,

Si tu veux calculer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $x_0$, on n'a pas besoin que $f$ soit définie en $x_0$. Il faut simplement que $f$ soit définie dans un voisinage de $0$.

C'est justement le cas de la fonction $f(x)=\sin(x)/x$ qui est définie sur $\mathbb R^\star$ mais pour laquelle on peut calculer la limite en $0$.

En faisant ça, il est alors possible de définir une fonction $\widetilde f$ continue qui prolonge $f$ sur $\mathbb R$ :
$$\widetilde f (x) = \left\{\begin{aligned} &\sin(x)/x \quad &&\text{si $x\neq 0$}\\ & \quad 1 \quad &&\text{si $x=0$}\end{aligned}\right.$$

Roro.

Dernière modification par Roro (24-03-2022 07:46:26)

bridgslam

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Re : Limite et domaine de définition

Bonjour,

Votre première affirmation est fausse. Voilà la raison. Mais c'est une bonne question.

Il suffit que le point soit adhérent à l'ensemble D où f est défini, pour les fonctions d'un espace topologique dans un autre.
Cela n'implique pas du tout que le point soit dans D, car il peut en être un point d'accumulation.

La définition orthodoxe des limites passe par les bases de filtres, ou les filets, qui synthétise tous les contextes et configurations.
En fait même si l'espace de départ n'est pas topologique, on s'appuie sur un ensemble de parties ayant des propriétés précises, qui permettent de cerner ce qui se passe pour la fonction au travers seulement de ces parties.
Par exemple pour les suites, ce sont les parties $ \{ n, n+1 , .... \}$ de $\mathbb{N}$ permettant de voir ce qui se passe "à la fin" de la suite, qui permettent de filtrer.
En fait on s'intéresse plus aux images de certaines parties B, qu'à f(a) ( si tant est que f y soit même définie).

D'ailleurs quand on considère la limite ( éventuelle ) en $+\infty$ , vous voyez bien que f en ce "point" n'est pas définie,
ce qui n'empêche nullement de voir la limite nulle de la fonction inverse (x -> 1/x) en ce point  (par exemple) .
Ce qui importe ce sont les valeurs prises par la fonction à côté et "au plus près ad libitum" du point.
Il est vrai que la terminologie est peut-être mal choisie: étudier la limite de f "au point a"...
Il faut plutôt comprendre que a sert juste à cristalliser les parties B sur lesquelles on étudie f(B).

Pour la continuité il faut par-contre que f soit définie au point considéré.

A.

bridgslam

Membre Expert

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Re : Limite et domaine de définition

Bonjour,

Il faut simplement que $f$ soit définie dans un voisinage de $0$.

Non, un voisinage d'un point inclut ce point... Si vous dîtes que f est définie sur un voisinage de a, f est définie en a.
Ou alors il faut préciser: voisinage de a dans $ \mathbb{R} \backslash \{a\}$, ce qui n'est pas pareil.

A.

Dernière modification par bridgslam (24-03-2022 08:26:17)

Roro

Membre expert

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Re : Limite et domaine de définition

Bonjour,

Il faut simplement que $f$ soit définie dans un voisinage de $0$.

Non, un voisinage d'un point inclut ce point... Si vous dîtes que f est définie sur un voisinage de a, f est définie en a.
Ou alors il faut préciser: voisinage de a dans $ \mathbb{R} \backslash \{a\}$, ce qui n'est pas pareil.

A.

Effectivement, j'aurai dû dire voisinage "épointé"...

Roro.

Junior ste

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Re : Limite et domaine de définition

Salut.
Il faut juste que ce point soit adhérent au domaine de définition de la fonction.