Majoration d'une fonction par un polynôme

ccapucine · 20-03-2022 20:09:37

Bonjour,
on considère la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= x \ln|x|-x$ si $x\neq 0$ et $0$ si $x=0$.
Je lis qu'i existe un polynôme $P(x)= 1+x^2$ tel que $|f(x)| \leq P(x), \ \forall x \in \mathbb{R}$.
Ma question est comment on obtient ce polynôme $P$ qui majore $f$?

Merci d'avance

Dernière modification par ccapucine (20-03-2022 20:10:10)

Zebulor · 20-03-2022 23:30:12

Bonsoir,
peut être à partir de la fonction $t \mapsto 2t-ln(t)$ ? que tu peux intégrer de $0$ à $x$, où $x \gt 0$

Dernière modification par Zebulor (21-03-2022 19:33:36)

bridgslam · 21-03-2022 10:11:05

Bonjour,

La fonction $f$ est impaire, donc $|f|$ est paire ( comme $1 +x^2$ ).
Il suffit donc de montrer l'inégalité sur $]0, +\infty[ $ puisqu'elle est vraie en 0.

alors si 0 < x < e vous pourrez montrer que $x( 1 - ln (x) )$ est inférieur à 1, donc a fortiori à $1 +x^2$ .
(un changement de variable $y = 1/x$ et le fait le ln est en-dessous de sa tangente en 1 fournit le résultat sans étude de fonction).

Si x > e on montre facilement qu' elle est majorée par $x^2 -x$ , donc a fortiori par $1 + x^2$

A.

Michel Coste · 21-03-2022 10:13:21

Bonjour,

Simplement on sait que [tex]f(x)[/tex] est négligeable devant [tex]x^2[/tex] quand [tex]x[/tex] tend vers l'infini. Il ne reste plus qu'à trouver une constante [tex]c>0[/tex] telle que [tex]|f(x)| \leq x^2+c[/tex] pour tout [tex]x\in \mathbb R[/tex].

bridgslam · 21-03-2022 11:43:25

Bonjour,

On peut par ailleurs s'intéresser aussi au c minimum, de valeur voisine de 0.6105.
On peut donc améliorer le polynôme P.

A.

Zebulor · 21-03-2022 12:14:05

Hello,
et même proche de $0.60805$ .. avec un programme de dichotomie on peut s'amuser..

Dernière modification par Zebulor (21-03-2022 12:17:05)

bridgslam · 21-03-2022 13:46:39

Bonjour Zébulor,

en appelant g la fonction $(x,c) \rightarrow g(x,c) = |f(x)| - x^2 - c$ qui est continue, comme $ C = \cap_{x \ge 0} \;\; g(x,c)^{-1}( \mathbb{R-})$ est fermé comme intersection de fermés, et $\mathbb{R+}$ aussi, le $inf (C \cap \mathbb{R+} )$ ( existe $1 \in C$ ) est bien un minimum.
En confondant les notations entre g et les partielles g( x, . ) a fortiori continues.

c'est pratiquement évident mais on ne sait jamais :-)
Dans le cas contraire,ce serait difficile de dire qu' une fonction du type $x^2 + c$ majore le mieux |f(x)| puisqu'elle n'existerait pas
( une autre serait toujours mieux que la dernière en lice)

On a aussi $c = max ( |f(x)| - x^2 ) $ maximum d'une fonction continue, plus simplement

Alain

Dernière modification par bridgslam (21-03-2022 14:18:44)

Bernard-maths · 21-03-2022 13:52:49

Hello ! Les uns et les autres ...

Zebulor a dit, on peut s'amuser ... moi aussi !

Mais comme j'aime les dessins, voici un graphique :

On y voit 4 fonctions : f en rouge (en bas) et couvert par b ( en violet), g = l f l en bleu/violet, h(x) = 1 + x², et p ...

Il y a 36 façons de trouver un p majorant ... ici le minimum vaut a = 0.9, et b = 0.2 le coeff de x².

Pour chaque a (valide !), on peut chercher b tel que les courbes g et p soient tangentes (quelque part), on a alors le "meilleur b" pour le a choisi ? Mais comment trouver le meilleur a ???

Bon amusement ... Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-03-2022 14:00:13)

Zebulor · 21-03-2022 14:15:37

Bonjour!
@brigslam : je viens de comprendre la signification de ton $C$... :-)
et bonjour à Bernard au passage.
Sans avoir trop creusé le sujet je me demande si on ne peut pas trouver ce $c$ de Michel en cherchant le minimum d'une intégrale ...

bridgslam · 21-03-2022 14:21:27

Bonjour,

C'est plus simplement le max d'une fonction continue, si on ne veut pas jongler avec une fonction de deux variables.
Par étude de cette fonction, on doit obtenir sa valeur, je ne l'ai pas fait...

Alain

Bernard-maths · 21-03-2022 14:23:23

Re !!!

à relire bridgslam, je crois qu'on cherche la "même chose", mais moi j'ai rajouté un coeff à x² ...

A première vue, je pense qu'on peut trouver "LA" réponse en disant que l'équation g(x) = p(x) doit avoir 4 solutions doubles ...

Mais cette équation est compliquée !

B-m

bridgslam · 21-03-2022 14:41:34

Bonjour aussi à Bernard

Quitte à faire varier le coeff de $x^2$ on peut chercher aussi les fonctions trinômes quelconque qui s'approche le mieux de |f(x)|,
sens à préciser ( minimiser l'aire entre les deux par exemple ? l'écart minimum? l'écart moyen minimum ?...).

Si on ne veut pas se casser la tête sur la question initiale, si la valeur de c est sans grande importance, le post de Michel
est le moyen le plus rapide de le voir.
Après les gens qui postent ne précisent pas systématiquement leur niveau, et penser à la négligeabilité n'est forcément automatique
compte-tenu de l'avancement dans leur cours.

Alain

Bernard-maths · 21-03-2022 14:46:20

Re !

exact, il ne faut pas s'égarer hors de la question posée !

ccapucine, es-tu satisfaite de ces explications et "compléments", ou bien veux-tu des précisions encore ?

Bernard-maths

bridgslam · 21-03-2022 15:03:10

Je n'ai pas dérivé, pour avoir une expression littérale, mais voilà la valeur numérique avec pas mal de décimales du
plus petit c tel $x^2 +c$ majore $ |f(x)|$

maximum

c = 0.608... est le nombre $\alpha^2 + \alpha$ avec $\alpha e^{2\alpha} = 1$
Alain

Dernière modification par bridgslam (21-03-2022 18:34:39)

ccapucine · 21-03-2022 21:38:01

Bonjour
je vous remercie pour votre aide. Je suis un peu perdu. Ma question est: comment on pense à P(x)=x^2+1 pour majorer |f(x)|? D’où vient l’idée?

Merci d’avance

Zebulor · 21-03-2022 22:01:58

Bonsoir ccapucine,
préciser le contexte de ton exercice pourrait aider à mieux te répondre

Bernard-maths · 21-03-2022 22:17:58

Bonsoir ccapucine !

Personnellement je vais faire référence au graphique que j'ai donné à la discussion #8 ...

On y voit la fonction g en bleu qui est la valeur absolue de f. A part au "sommet", sa forme générale rappelle une fonction parabole du second degré. Alors, pour faire "simple", on peut "voir" que la fonction h la majore ; il reste à le démontrer !!!

Si on veut aller plus loin, on peut chercher s'il existe une "meilleure" majoration du second degré ... j'ai proposé la fonction p, mais on peut trouver mieux ! Cela dépasse ta question ...

Zebulor te demande le contexte de ton exercice, cela peut aider à orienter des explications ...

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (21-03-2022 22:24:16)

Roro · 21-03-2022 22:27:11

Bonsoir Ccapucine,

Je pense que la réponse à ta question est dans le premier message de Michel : si tu veux contrôler ta fonction (qui est continue) à l'aide d'un polynôme, tu peux utiliser son équivalent en $+\infty$.

Le polynôme de plus bas degré qui majore $x\ln(x)$ en $+\infty$ est $x^2$...

Roro.

Dernière modification par Roro (21-03-2022 22:27:49)

ccapucine · 22-03-2022 07:10:23

Bonjour
comment on voit qu’au voisinage de l’infini, le polynôme de plus bas degré qui majore $x \ln x$ est $x^2$? De manière analytique et non par un graphique

Je vous remercie d’avance pour votre aide

Roro · 22-03-2022 07:36:56

Bonjour,

ccapucine a écrit :

Bonjour
comment on voit qu’au voisinage de l’infini, le polynôme de plus bas degré qui majore $x \ln x$ est $x^2$?

Simplement en remarquant que, pour $n$ entier, $x\ln(x) = o_{+\infty}(x^n)$ si et seulement si $n\geq 2$.

Roro.

bridgslam · 22-03-2022 07:44:10

bonjour,

$x ln(x)$et $-x$ sont tous les deux des petit o de $x^2$ au voisinage de +inf.

Ca donne l'idée recherchée. Il faut affiner ensuite, pour trouver un majorant ( comme 1) sur un intervalle borné suffisant ( comme [0, e ] ),
sachant qu'au delà de cet intervalle borné, on aura $|f(x)| < x^2$.
Il se trouve que le c minimum est celui qu'on vous a trouvé...
En résumé:
Au-dessus d'une valeur positive, on aura |f(x)| < x^2 ( impliqué par la négligeabilité en +inf).
D'ailleurs pour tout réel r > 1, $x ln(x) - x = o( x^r)$
En dessous , la fonction continue est de toute façon bornée.

La suggestion de Michel donne directement l'idée, ensuite il faut regarder plus précisément pour coller à ton affirmation, qu'on peut améliorer,
en valeur de c et en l'exposant de x.

Alain

Dernière modification par bridgslam (22-03-2022 07:55:21)

bridgslam · 22-03-2022 09:03:36

Bonjour,

@ccapucine normalement les notions de comparaisons au voisinage d'un point de $\overline{\mathbb{R}}$ des fonctions numériques de variable réelle sont au programme de MPSI ou des premières années d'université, sauf erreur, vus les sujets (questions de topologie, équa diff ...) de vos autres posts vous ne devriez pas être en terrain inconnu ?.
De mémoire je crois qu'on y passe avant d'étudier les développements limités, entre autres.
Les propriétés de limite sont très fortes et entraînent souvent des inégalités cruciales entre les entités en jeu.
Idem lorsqu'il s'agit des suites ( en $+\infty$ cette fois) .

A.

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#1 20-03-2022 20:09:37

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