Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Hysed

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Le champ complexe n'est pas ordonné

Bonjour,

En relisant mon cours, je suis tombé sur une phrase qui dit que le champ des complexes ne peut pas être ordonné, mais j'ai vraiment du mal à voir pourquoi on ne peut pas lui imposer les deux règles pour l'ordonner que pour les réels, ne serait-ce qu'en utilisant le module.
Si je reformule ma question de façon plus claire : pourquoi ne pouvons nous pas ordonner le champ des complexes ?

vam

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Bonjour
1+i a pour module [tex]\sqrt 2[/tex]
[tex]\sqrt 2[/tex] a aussi pour module [tex]\sqrt 2[/tex]
tu fais comment pour les ordonner ?

Michel Coste

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Bonjour,

On peut bien sûr ordonner l'ensemble des complexes. On peut même l'ordonner totalement. Mais le problème, c'est qu'on ne peut pas l'ordonner en tant que corps, c'est-à-dire de manière compatible avec l'addition et la multiplication : le hic c'est qu'on a un carré qui, additionné avec 1, donne 0.

Je remarque que tu utilises la terminologie "champ". Tu étudies en Belgique ?

bridgslam

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Bonjour,

Par-contre sauf erreur si on peut se contenter d'un ordre partiel $\mathbb{C}$ muni de l'ordre $x + iy \le x' + iy'  <=> y = y' \;et\; x \le x'$,
lui confère bien une structure de corps ordonné (non total).
On vérifie que c'est bien une relation d'ordre, qu'elle est compatible avec la structure de corps.
Je ne sais pas si cela a le moindre intérêt.

Son ordre induit sur $\mathbb{R}$ est l'ordre classique.
Celui induit sur l'axe imaginaire est l'identité.
L'ordre induit sur une droite quelconque du plan complexe est toujours l'identité, sauf pour celles dirigées par 1.

A.

Dernière modification par bridgslam (14-03-2022 12:21:42)

bridgslam

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

re-bonjour

pourquoi on ne peut pas lui imposer les deux règles pour l'ordonner que pour les réels, ne serait-ce qu'en utilisant le module.

Ce procédé munirait le corps des complexes d'un ordre total, ce qui est incompatible avec l'algèbre sur $\mathbb{C}$
Mais plus grossièrement, cet ordre ferait de toute façon passer 1 plus grand que 0 (pour cet ordre) à -1 en prenant l'opposé qui reste pour cet ordre aussi plus grand que 0...

Alain

Hysed

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Je vois je vois, je pense avoir compris.
Merci pour vos réponses

Sinon, oui Michel Coste, je suis belge, et je suis amusé d'apprendre que le mot champ n'est pas utilisé partout, au profit j'imagine du terme corps commutatif, mais comment as-tu déduit précisément que j'étudie en Belgique ?

Michel Coste

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Parce qu'il n'y a qu'en Belgique, à ma connaissance, qu'on utilise le mot "champ" pour désigner un corps.

Pas besoin d'ajouter "commutatif", un corps tout court est commutatif par définition. Si la multiplication n'est pas commutative, on parle de corps gauche ou d'algèbre à division. Tout le monde n'est pas d'accord avec ça, mais c'est conforme avec la tradition algébrique et en particulier avec la définition axiomatique originelle des corps par Steinitz.

bridgslam

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Bonjour,

Le théorème de Wedderburn ("Tout corps fini est commutatif")  est donc un vulgaire calembour :-). Je blague bien-sûr.
Sinon je crois aussi que le terme Field signifie ipso facto "corps commutatif".

Alain

Dernière modification par bridgslam (16-03-2022 09:00:26)

Michel Coste

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

Wedderburn n'a jamais formulé son théorème comme cela. Les premières démonstrations de ce théorème se trouvent dans des papiers de Dickson et de Wedderburn, et c'est toujours en termes de "une algèbre à division finie est un corps".

Dernière modification par Michel Coste (15-03-2022 15:35:30)

bridgslam

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Re : Le champ complexe n'est pas ordonné

OK pas de souci alors. Les diverses traductions francophones en ces termes trop approximatifs qu'on peut trouver à droite ou à gauche ont du déraper (Groupes- Alain Bouvier - Denis Richard c'est exprimé en ces termes )
Merci

Alain

Dernière modification par bridgslam (16-03-2022 09:02:20)