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#1 26-02-2022 12:05:16
- Thgues
- Membre
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Application bornée sur les bornés...
Bonjour tout le monde,
Je considère [tex]E[/tex] un espace de Banach et [tex]f[/tex] une application bilinéaire de [tex]E\times E[/tex] dans [tex]R[/tex].
De plus, on munit E\times E de la norme définie par [tex]||(x,y)||=\sup(||x||_E,||y||_E)[/tex].
Dire que f est bornée sur les bornés, est-ce que cela revient bien à dire que :
[tex]\forall \epsilon > 0, \exists a\in R, \exists r>0, \forall (x,y)\in E\times E, f(B((x,y),r)\subset B((a,\epsilon))[/tex]
Qu'en pensez-vous ?
Merci pour vos remarques et éclaircissements !
Dernière modification par Thgues (27-02-2022 05:59:25)
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#2 26-02-2022 13:18:46
- bridgslam
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Re : Application bornée sur les bornés...
Bonjour,
Pouvez-vous revoir l'énoncé... F ?, $\epsilon$ ?, R ?
F ne semble servir à rien, comme $\epsilon$ pour la suite...
R est-il l'ensemble des réels ou bien s'agit-il d'une coquille ( R mis à la place de F )?
Merci
A.
Dernière modification par bridgslam (26-02-2022 13:19:01)
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#4 27-02-2022 05:32:05
- Thgues
- Membre
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- Messages : 127
Re : Application bornée sur les bornés...
En fait, je souhaite montrer que toute application bilinéaire bornée sur les bornés est continue.
Je souhaiterais ne pas utiliser la caractérisation [tex]\exists C>0[/tex] telle que [tex]|f(x,y)|\le C||x||_E||y||_E[/tex].
C'est pour cela que je cherchais à écrire le fait d'être bornée sur les bornés à l'aide de boules., pour rattraper la définition de la continuité pour f, à savoir :
[tex]\forall \epsilon >0, \exists \eta_{\epsilon} >0, \forall (x,y)\in E\times E, ||(x,y)||_{E\times E}=\sup(||x||_E,||y||_E)\le \eta ⇒ |f(x,y)|\le \epsilon[/tex]
Dernière modification par Thgues (27-02-2022 06:11:12)
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#5 27-02-2022 10:09:48
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 903
Re : Application bornée sur les bornés...
Bonjour,
Alors je pense déjà qu'avec la bilinéarité et le fait qu'une partie bornée est incluse dans une boule de centre O , il suffit d'avoir le bornage sur la boule fermée B(O,1) dans les hypothèses, sauf erreur ( avec une homothétie de rapport k entre une boule quelconque de centre O et la boule unité, on aura de toute façon un rapport $k^2$ après l'application de f, donc ça reste borné.
Qui plus est, ce que tu cherches à prouver ressemble davantage à une continuité juste en (0,0).
Mais je suis loin d'être un spécialiste.
Je reprends en ce moment-même mes anciens cours justement pour un bon rafraîchissement tous domaines confondus ;-) ...
A.
Dernière modification par bridgslam (01-03-2022 18:37:46)
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#6 27-02-2022 12:33:54
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Re : Application bornée sur les bornés...
Bonjour,
Tout d'abord, E est un espace de Banach, et l'espace produit [tex]E\times E[/tex] est muni de la norme [tex]||(x,y)||=\sup(||x||,||y||)[/tex].
Je suis d'accord avec tout ton premier paragraphe, mais j'ai dû mal à l'écrire.
Il suffit de considérer l'application [tex]\varphi : B(0,1) \to B(0,r), z\to \frac{rz}{||z||}[/tex]
Supposons donc que [tex]f : E\times E \to R[/tex] soit bilinéaire et telle qu'il existe [tex]M>0, \forall (x,y)\in B(0,1), |f(x,y)|\le M[/tex].
Là l'idée est donc de considérer par exemple [tex]x'=\frac{x}{r||x||}[/tex] et [tex]y'=\frac{y}{r||y||}[/tex] pour tout [tex](x,y)\in E\times E[/tex] avec [tex]x,y neq 0[/tex].
Alors [tex]\sup(||x'||,||y'||)\le 1[/tex], et donc [tex]|f(\frac{x}{r||x||},\frac{y}{r||y||})|\le M[/tex].
Puis par bilinéarité, et homogénéité de la norme, il vient que [tex]|f(x,y)|\le Mr^2||x||\times||y||[/tex], et donc [tex]f[/tex] est bornée.
Qu'en penses-tu ?
Dernière modification par Thgues (27-02-2022 12:45:04)
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#10 27-02-2022 19:50:54
- alm
- Membre
- Inscription : 23-09-2014
- Messages : 7
Re : Application bornée sur les bornés...
Bonsoir yoshi,
C'est vrai qu'il y'avait du sentiment là dessus, je me suis dit qu'étant ancien membre de ce précieux forum j'ai aimé contribuer d'une façon ou une autre. Je connais bien les règles du forum et ayant vu que Thgues a été tangent à la réponse, j'ai voulu lui simplifier les choses mais j'avais tort car il vaut mieux qu'il arrive lui même à tout faire.
Bref, je suis désolé et je saisi l'occasion pour remercier l'équipe de ce forum ( et ce site) pour leur régularité et les précieux services qu'ils rendent par le contenu du site et les aides dans le forum.
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#11 01-03-2022 18:06:33
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Application bornée sur les bornés...
Bonjour,
Hélas, cela ne permet de prouver que la continuité en (0,0), qui n'est pas équivalente trivialement à la continuité partout ( f n'est pas linéaire, mais bilinéaire et ce n'est donc pas trivial).
Je crois qu'on peut difficilement échapper à la preuve classique sans passer par l'inégalité en normes que Thgues voulait shunter, qui est très forte, et qui utilise bien toutes les hypothèses ( sauf Banach, qui n'a rien à voir je pense avec la propriété cherchée).
On peut d'ailleurs remarquer que l'argument de Alm n'utilise que la propriété d'homogénéité de f, et pas la partie additivite de la linéarité des applications partielles.
Le circuit suivant me semble incontournable ( preuve en boucle en partant de la première propriété):
1- f est continue sur ExE
2- f est continue en (0,0)
3- f est bornée sur le produit cartésien des boules fermées de centre O et de rayon 1
4- f est bornée sur le produit cartésien des sphères de centre O et de rayon 1.
5- $|f(x,y)| \le C ||x||.||y||$ pour un C > 0 indépendant de x et y.
On démontre sans trop de mal 1 => 2 => 3 => 4 => 5 => 1 ( certaines sont d'ailleurs presque immédiates)
le passage 5 => 1 est le plus délicat, il utilise bien la bilinéarité additive.
En résumé pour répondre à la question initiale, à moins de ne prouver que la continuité de f en (0,0), je ne vois pas de moyen clair de court-circuiter 5- pour montrer la continuité en tous points de ExE (ce qui était bien demandé, sans autre précision de continuité).
A.
Dernière modification par bridgslam (02-03-2022 11:06:45)
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