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Thgues

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Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bonjour,

Dans mon cours de géométrie différentielle, on souhaite démontrer que si [tex]f : X \to Y[/tex] est un difféomorphisme local en [tex]x\in X[/tex], alors [tex]f_{*x} : T_xX\to T_yY[/tex] est un isomorphisme.

Dans les notations de la preuve, on a noté [tex]U[/tex] un ouvert de [tex]X[/tex] contenant [tex]x[/tex], et [tex]f(U)[/tex] un ouvert de [tex]Y[/tex] contenant [tex]y=f(x)[/tex].
A la toute fin de la preuve, on affirme que [tex]T_xU=T_xX[/tex] car [tex]U[/tex] est un ouvert de [tex]X[/tex]. De même que [tex]T_yf(U)=T_yY[/tex] pour la même raison.

Je ne comprends pas pourquoi.

Pouvez-vous m'éclairer ?

Merci !

Dernière modification par Thgues (15-02-2022 14:47:37)

Fred

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bonjour,

  Peux-tu préciser tes notations?

F.

Michel Coste

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bonjour,

Une réponse pertinente à ta question dépend beaucoup de la façon dont on t'a défini l'espace tangent. Quelle est donc ta définition ?

L'idée dans tous les cas est que la notion d'espace tangent est locale : elle ne dépend que d'un voisinage ouvert du point considéré dans la variété.

Thgues

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bonjour à vous deux.

Alors, j'ai ceci :

Le sous-espace vectoriel [tex]TxX := (D\phi)_0(R^k)[/tex] image de l'application linéaire [tex](D\phi)_0 : R^k\to R^N[/tex] est dit l'espace tangent à [tex]X[/tex] en [tex]x[/tex].

Puis, on définit [tex]f_{*x} : T_xX\to T_yY[/tex] où [tex]y=f(x)[/tex] qui soit la meilleure approximation linéaire de [tex]f[/tex] autour de [tex]x[/tex].

Plus précisément, [tex]f : X\to Y[/tex] une fonction [tex]C^1[/tex] entre deux variétés, on pose [tex]\phi : U\to X[/tex] et [tex]\psi : V\to Y[/tex], des paramétrisations respectivement de [tex]X[/tex] en [tex]x[/tex] et de [tex]Y[/tex] en [tex]y=f(x)[/tex], avec [tex]U\subset R^k[/tex] et [tex]V\subset R^l[/tex], [tex]\phi(0)=x[/tex] et [tex]\psi(0)=y[/tex].
On obtient alors un diagramme commutatif, et on pose [tex]h=\psi^{-1}ofo\phi[/tex]

Puis, en notant [tex](D\phi)_0 : R^k\to T_x X[/tex] et [tex](D\psi)_0 : R^l\to T_yY[/tex], on a alors : [tex]f{*x}=(D\psi)_0o(Dh)_0o(D\phi)_0^{-1}[/tex].

Je viens de remarque qu'il est affirmé que [tex]T_0U=R^k[/tex], en paramétrant [tex]U[/tex] par l'identité [tex]U\to U[/tex].

Je sens que je vais avoir pas mal de questions avant d'acquérir des automatismes sur ces notions ^^

Thgues

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Aussi, une autre question : pourquoi est-ce que l'on ne considère que des différentielles évaluées en 0 ? Est-ce parce que la différentielle est une application linéaire, et que du coup on peut choisir un point qui va bien, le reste s'en déduisant pas translation ?

Michel Coste

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

On prend [tex](D\phi)_0(\mathbb R^k)[/tex] parce qu'on veut l'espace tangent en [tex]x[/tex] et que la paramétrisation [tex]\phi[/tex] est choisie de façon à envoyer [tex]0[/tex] sur [tex]x[/tex].
Si on a une paramétrisation locale [tex]\phi[/tex] de [tex]X[/tex] au voisinage de [tex]x[/tex] (envoyant [tex]0[/tex] sur [tex]x[/tex]), et si [tex]U[/tex] est un voisinage ouvert de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex], alors la restriction de [tex]\phi[/tex] à [tex]\phi^{-1}(U)[/tex] fournit une paramétrisation locale de [tex]U[/tex], et ça ne change bien sûr pas la différentielle en [tex]0[/tex] ([tex]\phi^{-1}(U)[/tex] est un voisinage de [tex]0[/tex]).

Thgues

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bonjour Michel, et merci de ta réponse.

Soit [tex]\phi : U_0\subset R^k \to X[/tex] une paramétrisation de [tex]X[/tex] au voisinage de [tex]x[/tex] telle que [tex]\phi(0)=x[/tex].

Soit [tex]U[/tex] un voisinage ouvert de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex].

Alors [tex]\phi^{-1}(U)[/tex] est un voisinage ouvert de [tex]0[/tex] et [tex]\phi_{|\phi^{-1}(U)} : \phi^{-1}(U)\to U[/tex] est une paramétrisation de locale de [tex]U[/tex] au voisinage de [tex]x[/tex], autrement dit on peut paramétrer [tex]U[/tex] par l'unité.

Est-ce correct ?

Merci

Michel Coste

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Je ne comprends pas ce que tu veux dire par "in peut paramétrer [tex]U[/tex] par l'unité".

Thgues

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Ah oui pardon.
J'essayais de rattraper ce qui est écrit dans mon cours, à savoir :

Je viens de remarquer qu'il est affirmé que [tex]T_0U=R^k[/tex], en paramétrant [tex]U[/tex] par l'identité [tex]U\to U[/tex].

La restriction de [tex]\phi[/tex] à [tex]\phi^{-1}(U)[/tex], ce n'est pas l'identité sur [tex]U[/tex] ?

Michel Coste

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Re : Différentielle et espace tangent d'un ouvert

Bien sûr que non. D'abord [tex]\phi^{-1}(U)[/tex], ce n'est pas [tex]U[/tex] ! Le premier est un voisinage de l'origine dans [tex]\mathbb R^k[/tex], le second un voisinage de [tex]x[/tex] dans [tex]X[/tex].