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kadaide

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Relation de récurrence.

Bonjour,
La population d’une communauté est de 200 individus.
Chaque année la population diminue de 5% et augmente de 5 individus.
1°) Modéliser la situation par une suite récurrente.
2°) Démontrer par récurrence que la suite est décroissante et minorée
En déduire la limite de cette suite. Interpréter cette limite.

Réponses :
1°) Soit (Un) la suite de premier terme Uo=200
Uo=200
U1=200*0,95+5
U2=(200*0,95+5)*0,95+5=U1*0,95+5
.
.
.
J’en déduis : U(n+1)=0,95*Un + 5
Déjà cette démonstration est-elle juste ?

Merci d'avance.

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Hello,
j'essaie de comprendre ton raisonnement mais est ce que tu ne partirais pas plutôt de la formule $u_{n+1}=0.95u_n+5$ que tu déduis de :

Chaque année la population diminue de 5% et augmente de 5 individus.

pour en déduire les valeurs de $u_1$ et $u_2$..
Sinon ce que tu as écris pour les trois premiers termes de la suite est juste..

J'ai retrouvé une discussion très proche de ton sujet :

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12162

Mais ici la question 2 est un peu différente..

Dernière modification par Zebulor (09-02-2022 17:08:44)

kadaide

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Re : Relation de récurrence.

j'essaie de comprendre ton raisonnement mais est ce que tu ne partirais pas plutôt de la formule un+1=0.95un+5 que tu déduis de :

Non, je pars des termes Uo, U1, U2,... pour arriver à: J’en déduis : U(n+1)=0,95*Un + 5
et je demande est ce que c'est une démonstration ou tout simplement une déduction.

Bernard-maths

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Re : Relation de récurrence.

Bonsoir !

kadaide, il y a un énoncé, qui te dit d'écrire une formule ... On appelle cela la mise en équation du problème posé.

L'énoncé dit "chaque année la population diminue de 5%" puis "et augmente de 5 individus". Voilà 2 informations à transformer en formule !

Donc si u_n est la population d'une année donnée, u_n+1 celle de l'année suivante, tu écris u_n+1 = 0.95 u_n, puis tu dois ajouter 5. Finalement on a : u_n+1 = 0.95 u_n + 5.

Ainsi ce n'est pas une démonstration, mais une mise en équation de l'énoncé !!! Une "déduction" si tu veux, mais de l'énoncé, pas des calculs sur u₀ ou u₁ ... Par contre ce que tu as fait t'a aidé à trouver la formule, mais cela peut se faire directement ...

Par la suite, tu vas utiliser cette formule avec n = 0, puis 1, puis 2, etc...

Bonne suite,

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (09-02-2022 21:01:29)

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Bonjour,
@kadaide : après reflexion, je me demandais pourquoi tu parles de démonstrations ou déductions, car comme l écrit Bernard tu ne fais que retranscrire en langaqe mathématique l énoncé.
J'ai trouvé cette page intéressante - pour moi aussi -:
http://christophebertault.fr/documents/ … ediger.pdf et en particulier la page 9 sur le raisonnement par récurrence.

Dernière modification par Zebulor (10-02-2022 04:34:54)

Bernard-maths

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Re : Relation de récurrence.

Bonjour !

Très joli texte ! Plein de bons conseils ... pour MPSI

Cependant je ne trouve pas vraiment ce que j'appelle "la mise en équation".

Comme j'ai essayé de l'expliquer : on lit l'énoncé, on définit des variables, et avec ces variables, on transforme l'énoncé en équation (ou formule) !

J'ai pris Google et j'ai tapé : "maths, mise en équation d'un énoncé"

Il y a plein de conseils !

Allez, bonne suite, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (10-02-2022 08:14:30)

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Hello,

Très joli texte ! Plein de bons conseils ... pour MPSI

un peu raide certes, néanmoins je crois que les pages 9 et 10 sont accessibles pour un lycéen de terminale..

jpp

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Re : Relation de récurrence.

Salut,

On peut interpréter en se disant :

La population perd 5% de sa population existante l'année précédente , alors qu'il en arrive régulièrement 5 tous les ans . Au fil des ans , les pertes d'individus diminuent jusqu'à tenter d'égaler le nombre 5 (de naissances)

N , étant le nombre minimal cherche ,

[tex]\cfrac{5N}{100}=5[/tex]

On obtient immédiatement N

kadaide

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Re : Relation de récurrence.

Je continue.
2°) Pn : 0<=U(n+1)<Un<=200
Initialisation : U1<Uo vrai d’après le 1°)
Supposons que 0<=U(n+1)<=Un<=200 pour n fixé.
U(n+1)=0,95*Un + 5
0<=0,95*U(n+1)<*0,95*Un<=200*0,95
5<=0,95*U(n+1)+5<=0,95*Un+5<=200*0,95+5
0<5<=U(n+2)<=U(n+1)<=195<200
Pn est héréditaire donc pour tout n  la suite (Un) est décroissante et minorée par 5, donc convergente.
D’après le théorème du point fixe sa limite L est solution de l’équation : L = 0,95*L+5
L=100
Interprétation : la population se stabilisera à 100 individus dans n années.

C'est le N de jpp.

Est ce correcte ce que j'ai fait ?

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Hello kadaide,
Initialisation et partie calcul rien à redire ..

Ensuite, l'hérédité c'est assez subtil : il s'agit de prouver que, pour tout entier n, si $P_n$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie.

Supposons que 0<=U(n+1)<=Un<=200 pour n fixé.

Veux tu dire par là que tu supposes la propriété $P_n$ vraie pour un certain $n$ de $\mathbb N$ ?  pour n'importe quel $n$ de $\mathbb N$ ? de $\mathbb N^{*}$ ?
ton hypothèse de récurrence à mes yeux n'est pas assez précise..

Interprétation : la population se stabilisera à 100 individus dans n années.
C'est le N de jpp.

Dans N années dans ce cas ? parce que "dans n années" peut prêter à confusion

...pour tout n  la suite (Un) est décroissante ..

il me semble plus correct d écrire : la suite (Un) est décroissante. Point.
Une suite peut être : croissante, décroissante (strictement ou pas), ni croissante ni décroissante : en voici une (2;0.5;1;-4; 3;5;-10), ou encore croissante à partir d'un certain rang; etc...

Pas simple les maths, pour moi non plus !

Dernière modification par Zebulor (11-02-2022 10:52:54)

kadaide

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Re : Relation de récurrence.

Veux tu dire par là que tu supposes la propriété Pn vraie pour un certain n de N

Oui.

Et merci pour tour.

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

rebonjour kadaide,
supposer la propriété vraie pour un certain $n$ de $\mathbb N$ n'est pas correct. Ca sous entend qu'il existe au moins un $n$ pour lequel tu supposes la propriété vraie, alors que l'hérédité consiste à supposer que cette propriété $P_{n}$ est vraie pour n'importe quel entier, pour démontrer que $P_{n+1}$ l'est aussi.
Pour un certain $n$ peut vouloir dire pour $n=10$ par exemple, mais qu'en est il de tous les autres entiers ? on ne sait pas.

L'hérédité peut selon moi se rédiger comme suit :
Soit $n \in \mathbb N$. On suppose $P_{n}$ vraie. Montrons que $P_{n+1}$ est vraie. Ensuite tu déroules ta démonstration.

Soit $n \in \mathbb N$ : mentalement tu prends un élément quelconque de cet ensemble, n'importe lequel. Ca peut être l'élément $0$ car si $0$ est exclu ta démontration n'est pas valable.
En d'autres termes, on pourrait écrire : "pour n'importe quel entier $n$ (sous entendu fixé) plus grand ou égal à 0, on suppose $P_{n}$ vraie, ..."

Par exemple si tu écris : Soit $n \in \mathbb N^{*}$, On suppose $P_{n}$ vraie. Montrons que $P_{n+1}$ est vraie.. tu ne démontres pas que la propriété est vraie pour tout entier. Parce que la supposition $P_{0}$ vraie n'est alors pas incluse.

Je ne doute pas - et c est tant mieux - que si je me trompe, d'autres plus expérimentés que moi sur le sujet vont donner suite à cette discussion

Eust_4che

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Re : Relation de récurrence.

Bonjour à tous,

Je me permets de corriger Zebulor, comme il le souhaite. La récurrence n'exige pas que la propriété soit vérifiée pour tout $n \in \mathbf{N}$. Cela dépend de ce que tu cherches à démontrer. En revanche, il y a bien un problème à ne pas prendre $n$ dans $\mathbf{N}$, mais dans $ \mathbf{N}^*$. Voilà pourquoi :

La démonstration par récurrence repose sur la propriété suivante de $\mathbf{N}$ : tout ensemble non-vide possède un plus petit élément. Soit $P$ une propriété dépendante de $n$. Si l'ensemble des entiers $n$ pour laquelle $P_n$ est fausse est non vide, on a donc un plus petit élément $p$. Mais alors $p-1$ est vrai (si $p-1 \in \mathbf{N}$). C'est là qu'intervient l'hérédité ; elle permet de montrer qu'il n'y a pas de plus petit élément si - et c'est là le point clef - $P_{p-1} \Rightarrow P_{p}$. Quand à l'initialisation (en prenant $n = 0$), elle permet de montrer que $p-1 \in \mathbf{N}$.

Pour que le raisonnement reste cohérent, il faut donc que $p-1$ appartienne à l'ensemble $\{n \in \mathbf{N} \mid P_n \Rightarrow P_{n +1} \}$. Dans notre cas, cet ensemble est $\{ n \in\mathbf{N} \mid n \geq 1\}$ (on a démontré "pour tout $n \geq 1, P_n \Rightarrow P_{n +1}$"). Mais, en particulier, on ne sait pas si $1$ est vrai, car on n'a pas démontré que $P_0$, qui est vrai (c'est l'initialisation), est un élément de cet ensemble, c'est à dire vérifie : $P_n \Rightarrow P_{n +1}$. Alors, si $k$ est le minimum des entiers pour lesquels la propriété est fausse, on ne peut pas dire qu'il y a un problème : on ne sait pas si $k-1$ est vrai.

Pour conclure, on doit donc démontrer : ou bien $P_1$ directement ; ou bien que pour tout $n \geq 0, P_n \Rightarrow P_{n +1}$.

C'est quand même bougrement dommage qu'on présente le raisonnement comme un axiome dans le secondaire, alors que sa démonstration nécessite seulement une propriété de $\mathcal{N}$ qui, pour le coup, est un axiome et permet de bien comprendre ce qu'on est en train de faire avec nos entiers et nos propriétés.

E.

Dernière modification par Eust_4che (15-02-2022 08:57:46)

Bernard-maths

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Re : Relation de récurrence.

Bonjour à tous !

Je vois que les débats .. battent leur plein ! Je vais vous proposer ce que j'appelle un corrigé type, comme pour mes élèves.

1° Etablir la formule de réccurence : il s'agit de choisir des variables et d'écrire une formule qui traduit l'énoncé !

Si u_n est le nombre d'habitants l'année n, alors l'année suivante n+1, le nombre d'habitants
sera : u_n+1 = 0,95 u_n + 5.

2° Démontrer par réccurence que la suite est décroissante et minorée : il faut d'abord le constater une fois, par exemple, si on pose u₀ = 200 la population au début (on a donc choisi d'appeler 0 l'année de début des données), on calule u₁ = 0,95 u₀ + 5 = 195. On constate bien que 0 < u₁ < u₀ !

On va donc supposer que 0 < u_n+1 < u_n, et montrer que 0 < u_n+2 < u_n+1 !!!

Partant de 0 < u_n+1 < u_n, on applique la relation de réccurence : 0,95 * 0 + 5 < 0,95 u_n+1 + 5 < 0,95 u_n + 5,
ce qui donne : 5 < u_n+2 < u_n+1, qu'on peut ramener à : 0 < u_n+2 < u_n+1.

On vient donc de démontrer la décroissance minorée de la suite (u_n).

Alors la suite admet unelimite l qui vérifie l'équation de réccurence : l = 0,95 l +5, ce qui donne l = 100 !

Cela veut dire que dans un certain nombre d'années (théoriquement infini) la population sera descendue à 100 habitants, voilà.

Petite remarque sur les calculs de la population au fil des ans : on calcule une population, on a donc un nombre entier ! Que se passe t-il si on fait des arrondis dans les calculs ? Voilà un bout de tableau Excel :

où l'on peut appécier les caprices des calculs arrondis ... aura-t-on 100 habitants un jour ???

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (11-02-2022 16:56:29)

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Bonsoir,
merci à vous deux Bernard et Eust_4che

kadaide

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Re : Relation de récurrence.

Bonjour tout le monde
J'ai toujours appris à rédiger l'hérédité comme ceci: supposons ... pour n fixé, au rang n ...

Mais "Bernard-maths" ne précise rien, peut être c'est un oubli.

Voici un lien sur le web.
https://www.annales2maths.com/ts_exercices_rec1/

Bernard-maths

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Re : Relation de récurrence.

Bonsoir kadaide !

Quand je dis :

On va donc supposer que 0 < u_n+1 < u_n, et montrer que 0 < u_n+2 < u_n+1 !!!

Je sous-entend "au rang n" et "au rang n+1", mais c'est mieux de le préciser !

Il y a différentes façons de passer cette étape, comme on le voit dans les exos que tu as signalés.

Et j'aurais du préciser "on vient de démontrer la décroissance minorée de la suie" + "pour tout n de N !
...

B-m

Dernière modification par Bernard-maths (11-02-2022 19:19:45)

bridgslam

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Re : Relation de récurrence.

Je me permets de corriger Zebulator,

un variant de Zébulon et Terminator?

:-)
A.

Zebulor

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Re : Relation de récurrence.

Salut !
@bridgslam : c'est ce que je m'étais dit et j'avais trouvé çà amusant ..  donc rien de grave et je salue Eust_4che au passage.
Le rire est bon pour la santé . Bonne journée!
:-)

Dernière modification par Zebulor (15-02-2022 11:56:20)

Eust_4che

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Re : Relation de récurrence.

J'avais dû lire trop vite ! Mais voilà l'erreur est corrigée.

Bon mardi à tous,
E.