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#1 01-02-2022 09:47:35
- Tania
- Membre
- Inscription : 09-09-2019
- Messages : 119
Tangente et derivabilité
Bonjour,
Il y a qque chose qui n'est pas clair, pouvez vous m'aider à comprendre
Si on peut tracer une tangente en un point à une courbe alors la fonction est derivable en ce point mais du coup pourquoi la fonction racine carrée n'est pas derivable en 0 alors qu'on peut tracer une tangente d'équation x=0 ?
Merci beaucoup !!!
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#2 01-02-2022 11:48:33
- Bernard-maths
- Membre Expert
- Lieu : 34790 Grabels
- Inscription : 18-12-2020
- Messages : 1 862
Re : Tangente et derivabilité
Bonjour Tania !
Si tu traces une tangente en un pont, c'est que tu peux arriver d'un côté ou de l'autre de ce point en suivant la courbe.
Comment est la courbe de Racine(x), et plus précisément en x=0 ??? Peux-tu approcher des 2 côtés ? Et que vaut le nombre dérivé en x=0 ?
La tangente en x=0 que tu évoques est-elle valable des 2 côtés ?
Si la tangente ne peut se tracer qu'en approchant d'un côté et pas de l'autre, on parle de demie tangente ... qu'on précisera "à droite" si on peut venir par la droite, ou "à gauche" si on peut venir par la gauche.
Si en 1 point on peut tracer une demie tangente à droite, et une demie tangente à gauche, alors il y 2 cas principaux : soit les 2 demies tangentes sont alignées, alors on a une tangente en ce point et la fonction est dérivable en ce point ; soit les 2 demies tangentes ne sont pas alignées ! Et là la fonction n'est pas dérivable en ce point ... il y a encore d'autres subtilités ...
J'espère que tu as un peu compris mes explications, sinon réclame !
Bernard-maths
Dernière modification par Bernard-maths (01-02-2022 12:01:07)
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#4 02-02-2022 11:07:22
- Tania
- Membre
- Inscription : 09-09-2019
- Messages : 119
Re : Tangente et derivabilité
Merci bcp je pense avoir compris.
Pour que ça soit derivable en un point il faut pouvoir construire une droite (et pas une demi droite comme pour la racine carree en 0) qui va approximer la courbe
Et du coup l'intérêt de dériver c'est de s'intéresser aux tangentes de la courbe ?
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#5 02-02-2022 12:16:14
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 220
Re : Tangente et derivabilité
Hello Tania,
S'intéresser à la dérivée ? c'est évaluer le taux d'accroissement qui s'appelle aussi nombre dérivé de la fonction (en ce point). C'est une limite.
Visuellement ce taux correspond à la pente de la tangente au point considéré.
Tangente parallèle à l'axe des x : pente nulle = dérivée nulle.
Tangente parallèle à l'axe des y : pente infinie = le nombre dérivé tend vers l'infini.
Pour que ça soit derivable en un point il faut pouvoir construire une droite (et pas une demi droite comme pour la racine carree en 0) qui va approximer la courbe
Oui... néanmoins si tu peux construire une demi droite, tu peux parler de dérivabilité à gauche (ou à droite), par exemple pour la fonction valeur absolue en 0.
En l'occurrence la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0, parce que les nombres dérivés à gauche et à droite de 0 sont inégaux. Graphiquement les vecteurs directeurs des demi tangentes correspondantes ne sont pas portées par la même droite.
En posant $f(x)=abs(x)$ on a :
$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=+1$ limite finie $f$ est dérivable à droite de 0.
et $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1$ limite finie $f$ est dérivable à gauche de 0.
Les limites sont différentes : $f'_{d}(0) \ne f'_{g}(0)$ Si elles étaient égales la fonction serait dérivable en 0.
Autre exemple de fonction non dérivable en 0 : $g(x)=abs(sin(x))$
https://www.solumaths.com/fr/graphique- … rbe/tracer
Peut être qu'une animation vaut mieux que des explications ?
https://sites.uclouvain.be/didac-physiq … ction.html
Mieux encore avec des tangentes ?
http://www.gymomath.ch/javmath/3eme_dip … edeg3.html
Dernière modification par Zebulor (06-02-2022 14:54:39)
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#6 09-02-2022 10:47:19
- bridgslam
- Membre Expert
- Lieu : Rospez
- Inscription : 22-11-2011
- Messages : 1 903
Re : Tangente et derivabilité
Bonjour,
Pour que ça soit derivable en un point il faut pouvoir construire une droite (et pas une demi droite comme pour la racine carree en 0) qui va approximer la courbe
Et du coup l'intérêt de dériver c'est de s'intéresser aux tangentes de la courbe ?
Non: c'est une condition nécessaire ( dérivable => tangente géométrique, quitte à séparer les questions à droite ou à gauche) mais pas suffisante : tangente n'implique pas dérivabilité.
La définition ( mieux vue si on parle de différentiabilité, plus propre, mais c'est pareil ) est qu'il doit exister une fonction linéaire en ce point qui approche la fonction.
La droite "x = 0" n'est justement pas une fonction.
Le raccourci géométrique trop rapide ( droite tangente à la courbe => dérivabilité ), faux, peut induire en erreur.
En fait dès qu 'une fonction ou sa réciproque auront une dérivée nulle en un point, sa comparse aura une "pente infinie", donc ne sera pas dérivable...
ta fonction racine carrée étant réciproque sur [ 0, +inf [ de la fonction carré, tu vois le problème?
Pour l'approche géométrique (tangence par n'importe quelle droite, verticale ou pas) il faut se placer en dimension 2 ou 3, donc parler de fonctions vectorielles.
Ainsi une spirale ( comme celle d'Archimède ) par exemple aura une tangente partout, mais on sort du cadre des fonction de R dans R.
A.
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