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Abdoumahmoudy

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Éléments du groupe symétrique S4

Bonjour , on sait bien que le groupe S4 contient les transpositions , l'identité , les doubles transpositions , les cycles d'ordre 3 , et les cycles d'ordre 4 , mais , pourquoi pas avoir des produits de deux cycles d'ordre 3 ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : Éléments du groupe symétrique S4

Bonjour,

  Les produits de deux cycles d'ordre 3 sont bien sûr dans $S_4$, mais ils rentrent dans une des classes précédentes. On peut voir cela en dénombrant les éléments de $S_4$. On sait d'abord qu'il y a $4!=24$ éléments dans $S_4$. Parmi ces éléments :
* $1$ élément neutre
* $6=\binom 42$ transpositions
* $8=2\times\binom 43$ 3-cycles
* $6$ 4-cycles
* $3$ doubles transpositions (à support disjoint!).

Et 1+6+8+6+3=24.

F.

Abdoumahmoudy

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Re : Éléments du groupe symétrique S4

Donc ces produit de deux cycles d'ordre 3 , on peut les classer dans quelle partie ?

Fred

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Re : Éléments du groupe symétrique S4

Ca dépend vraiment comment sont les cycles. Compare par exemple :
(1 2 3) o (1 2 3)
(1 2 3) o (2 3 4)
(1 2 3) o (4 3 2)

F.

Abdoumahmoudy

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Re : Éléments du groupe symétrique S4

Ok merci beaucoup @Fred

Dernière modification par Abdoumahmoudy (28-01-2022 19:42:27)