diagonales_d_un_polygone

Zebulor · 19-01-2022 18:12:57

Hello,
j'ai trouvé une tite question de géométrie qui pourrait intéresser ..Bernard Maths par exemple ? :
On considère un polygone convexe a $n$ sommets. En combien de points au plus les diagonales du polygone se coupent elles ?

Dernière modification par Zebulor (21-01-2022 09:15:07)

Bernard-maths · 19-01-2022 21:00:56

Bonsoir !

Moi je pense que ça relève plus du dénombrement que de la géométrie ?

Mais ce n'est pas une tite réponse ... !

Zebulor · 19-01-2022 21:20:24

Bonsoir!
tout à fait, et trouvé ça dans un livre : "probabilités pour la prépa"..

jpp · 20-01-2022 11:30:45

Salut ,

▼sauf erreur

Zebulor · 20-01-2022 13:59:32

Salut,
je n'ai pas étudié la question..
En tout cas le corrigé ne donne pas la même réponse que jpp. C'est un peu plus compliqué que çà..
Toutefois il y a un terme dominant plus ou moins ressemblant à un coefficient près : $\frac {n^4}{8}$.
Certes la formule de jpp marche pour n=4 et n=5, mais..

▼petite aide

Dernière modification par Zebulor (20-01-2022 14:56:52)

jpp · 20-01-2022 16:34:53

Il y a [tex]\frac{n.(n-3)}{2}[/tex] diagonales , il me semble ; mais toutes ne se coupent pas à l'intérieur du polygone

Par contre , a partir de 4 sommets distincts , on peut construire 2 segments qui se coupent .

Avec un octogone irrégulier , on a 70 quadruplets de sommets , autant de quadrilatères et donc autant de paires de diagonales se coupant en autant de points distincts . Non ?

Ce qui donnerait 1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 ..,.points en partant du quadrilatère a l'enneagone par exemple .

Zebulor · 20-01-2022 16:54:40

re jpp,
Ok pour tes deux premières phrases.
Je n'ai pas tour regardé mais ensuite -je n'ai pas beaucoup de mérite avec la correction sous les yeux- il y a 110 points d'intersection pour un octogone régulier.
Un raisonnement possible consiste à considérer une diagonale : celle ci intersecte toutes les diagonales sauf elle même, ainsi que les diagonales issues de ses extrémités.

jpp · 20-01-2022 17:04:41

Oui , mais je n'ai considère que les points à l,intérieur du polygone , irrégulier en plus . Avec l'hexagone régulier les 3 grandes diagonales concourent en un seul point , 3 points avec un hexagone irrégulier .

Zebulor · 20-01-2022 21:10:41

Hello jpp,
d'où le "au plus" dans la question de départ ..

jpp a écrit :

Oui , mais je n'ai considère que les points à l,intérieur du polygone

Moi aussi ... et je ne pense pas qu'il puisse y en avoir à l'extérieur, parce qu'il est question d'un polynôme convexe

Dernière modification par Zebulor (21-01-2022 09:21:54)

Bernard-maths · 23-01-2022 16:20:39

Bonjour à tous !

Après plusieurs reprises de 10 minutes, j'ai envie de vous dire :

Un polygone convexe ne peut avoir de diagonales qu'à partir de n = 4 sommets. A partir de chaque sommet on peut tracer une diagonale vers (n - 3) autres sommets, les 2 sommets adjacents étant exclus. En tout on peut tracer donc N = n (n - 3) /2 diagonales ...

Chaque diagonale recoupe chacune des autres ! Il y a donc au plus N (N - 1)/2 points d'intersection ...
Ce qui devrait donner : n (n - 3) ( n² - 3n - 2) / 8 !!!?

Sauf erreur bien sur ...

Bernard-maths

PS : j'ai vérifié pour n = 1 111 111, et ça tombe assez bien %-))

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2022 18:02:02)

Zebulor · 23-01-2022 18:12:57

Bonsoir Bernard

Bernard-maths a écrit :

Bonjour à tous !
A partir de chaque sommet on peut tracer une diagonale vers (n - 3) autres sommets

Alors je me replonge dans le bouquin... tu es pas loin de la solution mais y a quelque chose qui cloche ..

Et ta vérification mérite une médaille...

Dernière modification par Zebulor (23-01-2022 18:13:35)

Bernard-maths · 23-01-2022 18:16:33

Re !!!

Bien sur il y a une erreur (au moins une), et avec 10 minutes de plus, j'y ai pensé !

Chaque diagonale recoupe chacune des autres, sauf celles issues du même sommet, ou qui arrivent à un même sommet, eh oui !

Ce qui pourrait donner : [n (n - 3) / 2] * [n (n - 3) /2 - (n - 3) - (n - 3)] / 2

"Je vous demande de vous taire", je suis perdu dans les calculs, je finirai demain !

Bonne soirée, Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (23-01-2022 18:45:53)

Zebulor · 23-01-2022 18:23:41

re!
c'est çà si bien que chaque diagonale intersecte $n-4$ diagonales issues de son premier sommet, et autant de son deuxième sommet...
pour ton calcul j'ai $\dfrac {n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}$ points d'intersection.

Bernard-maths · 23-01-2022 18:47:23

Re !

En tout cas, Zebulor, ta formule est juste pour n=4, n=5 ...

Zebulor · 23-01-2022 21:38:15

Re Bernard,
je peux te dire d'où elle vient si nécessaire. Je te laisse vérifier si elle est juste pour n=1 111 111

Bernard-maths · 24-01-2022 10:29:07

Bonjour à tous !

Mes neurones se sont reposés, même si ils ont tourné au ralenti la nuit !

Il y a plusieurs façons de traiter ce problème !

Zebulor ! Ta formule "ne marche pas" pour n = 6, on doit trouver 15 points ... et toi 18 ...

Voici la formule que j'ai calculée : F(n) = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) /24

A plus, Bernard-maths

Zebulor · 24-01-2022 10:59:56

Bonjour à tous,
Bernard, on dit que la nuit porte conseil... mais est ce que "ma" formule n'en est pas moins bonne dans la mesure où la question est :

"En combien de points au plus les diagonales du polygone se coupent elles ?"

Bernard-maths · 24-01-2022 11:35:11

Hello !

pour un pentagone convexe, le tracé des diagonales donne toujours "une étoile à 5 branches", et il y a exactement 15 points d'intersection ...

DESOLE je viens de mélanger 2 figures et donc 2 cas, ANNULER !!!

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 12:13:15)

Zebulor · 24-01-2022 11:45:05

re,
le raisonnement proposé est le suivant : chacune des N diagonales rencontre N-1-2(n-4) autres diagonales..on a compté chaque point d'intersection en procédant de cette manière (une fois par diagonale) d'où le nombre de points d'intersection possibles, au maximum..
(avec N=n(n-3)/2 )

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 11:46:14)

Bernard-maths · 24-01-2022 12:16:20

Hello !

Je reprends ! Voici un pentagone bleu et un hexagone vert convexes, avec toutes les diagonales, et les points d'intersection en rouge.

JU'ai sauté le triangle et le quadrilatère convexe, pour lesquels il est "évident" de voir que le nombre de points d'intersections des diagonales est respectivement F(3)=0 et F(4)=1. Ici on peut constater que F(5)=5 et F(6)=15. Evidement c'est "au plus" car si les polygones sont réguliers, dans le cas où n est pair au moins, on aura des superpositions de diagonales et des points d'intersection en moins ... !

A tout à l'heure, mon estomac crie famine !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 12:22:27)

Zebulor · 24-01-2022 12:16:59

Re,
ok Bernard pour l annulation. pas grave cetait pas un devoir noté

Bernard-maths · 24-01-2022 13:39:33

Re-hello !

Bon, je revois la formule de jpp en #8, soit Ni=C₄ⁿ ... ça ressemble fort à la mienne, non ?

Alors Zebulor, quelle est la bonne formule ?

Merci pour ce tit exercice.

Bernard-maths

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 13:40:45)

Zebulor · 24-01-2022 14:09:43

Re,
pour le moment la formule du post #13 me paraît bonne, et pour le moment je ne comprends pas comment vous trouvez ce $C_n^4$, 4 en raison des 4 extrémités de deux diagonales ?

La "mienne" et la vôtre donnent le même résultat pour 4 et 5 mais ensuite il y a forte divergence..

Quand $n$ tend vers l'infini ma formule donne un résultat 3 fois plus grand..

je t en prie.

PS : je commence à comprendre après ma longue digestion du repas de midi d'où vient ton $C_n^4$ : une partie à 4 éléments de l'ensemble contenant les sommets des diagonales constitue un point d'intersection

Bernard-maths a écrit :

Alors Zebulor, quelle est la bonne formule ?

Je ne sais pas .. Les deux si elles répondent toutes deux à la question ?

Bernard-maths a écrit :

Zebulor ! Ta formule "ne marche pas" pour n = 6, on doit trouver 15 points ... et toi 18 ...

oui ..je vois çà et je ne comprends pas ce qui cloche

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 17:09:55)

Bernard-maths · 24-01-2022 17:17:38

Me voilà de retour, bonsoir à tous !

Je viens de me taper un ptit boulot de compte sur un décagone convexe ! Que voici !

LAyqqSt4zne_Bibmath-d%C3%A9cagone-2022-01-24.jpg

Avec toutes ses diagonales et points d'intersection ... n(n-3)/2=35 diagonales.

Vous pouvez compter les points, il y en 210, ce que prévoient les formules !

Dernière modification par Bernard-maths (24-01-2022 18:17:56)

Zebulor · 24-01-2022 18:01:24

re,
210 contre 385 avec ma formule sur un polynôme irrégulier..

Dernière modification par Zebulor (24-01-2022 18:34:59)

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#1 19-01-2022 18:12:57

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#4 20-01-2022 11:30:45

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#10 23-01-2022 16:20:39

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#11 23-01-2022 18:12:57

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#13 23-01-2022 18:23:41

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