Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Emiliee

Invité

Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonjour,
Je suis tombée sur une exercice pendant mes révisions, et je n'arrive pas vraiment à résoudre vu qu'on n'a vraiment pas fait cette notion dans le cours, mais qui pourrait bel et bien tomber dans l'examen...
J'ai fait qlq essaies mais je n'en suis pas sûre et donc je ne pourrai pas vraiment avancer dans mon exo. Bref, voilà l'exercice :) merci d'avance.
Soient E = Rn[x] et a0, a1, . . . , an des nombres réels deux à deux distincts. Pour tout
i ∈ {0, 1, . . . , n} on pose :
Li = $\prod_{j≠i}  \frac{x − aj}{ai − aj} $ .
(1) Montrer que L = {L0, L1, . . . , Ln} est une base de E.
(2) Déterminer la base duale L
∗ de L.
(3) Montrer qu’il existe des coefficients uniques b0, b1, . . . , bn ∈ R tels que :
∀P ∈ E ,\[ \int_{0}^{1} P(t) \,dt \ =  \sum_{k=0}^{n}  b_{k} P( a_{k} )  \]
(4) Pour n = 2 expliciter $b_{0}, b_{1}, b_{2}$.

Merci encore!

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonjour,

Quelle est ta question ? Qu'as-tu essayé ? réussi ?

Roro.

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonjour,

Lorsque $x = a_i $ le polynôme $L_i $ est le seul qui ne s'annule pas.
Donc pour qu'une combinaison linéaire quelconque soit nulle, en particulier son annulation en ces valeurs-là doit te fournir un renseignement sur chaque coefficient en regard du polynôme correspondant, séparément , pour en déduire l'indépendance linéaire.
Que peut-tu dire ensuite du nombre d'éléments de cette famille (libre) par rapport à la dimension de l'espace considéré ?

A.

Emiliee

Invité

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonjour,
Je m'excuse j'ai pas pu répondre plus tôt. Alors moi ce que j'ai réussi à faire c'est la question 1) j'avais montré que c libre avec le fait que le Card(L) = n+1 = Card(E) ,par contre bridgslam, j'ai pas bien compris ce que vous suggérez? est ce que c par rapport à la 1ère qst? Parce que je suis partie de cette formule là jusqu'à montrer que c'est une famille libre: ($\lambda$0L0+...+$\lambda$nLn)(x)=0 ....
pour la qst 2), j'ai fait $\lambda_0L0+...+\lambda_nLn=0$ (de E) puis pour tout polynôme P dans E, on a ($\lambda_0L0+...+\lambda_nLn)(P)=0$... Et ensuite que: $P_{0}=(x-x1)(x-x2)...(x-xn)=0 => \lambda_{0}P_{0}(x_{0})=0$ donc: $\lambda_{0}$=0 ensuite, $P_{i}=(x-x_{0})...(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})=>\lambda_{i}P_{i}(x_{i})=0  =>\lambda_{i}=0$ d'où L* libre avec le card(L*)=n+1=Card(E).
la 3e qst je comprends pas la syntaxe, surtout le $a_{k}$ ..
Merci d'avance.

[Edit : Tex modifié]

Emilieee

Invité

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Y a une erreur dans l'affichage de ma réponse:
la 3e qst, je comprends pas la syntaxe surtout le:  P($a_{k}$)
Merci.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonsoir,

Pour comprendre le $P(a_k)$ dans la question 3, il faut surtout avoir bien répondu à la question 2 : es-tu d'accord que la base duale de $L$ est la base $L^\star=(\ell_0,\ell_1,\cdots,\ell_n)$ où les formes linéaires $\ell_k$ sont définies par $\ell_k(P)=P(a_k)$ ?

Roro.

Dernière modification par Roro (17-01-2022 21:29:49)

bridgslam

Membre Expert

Lieu : Rospez

Inscription : 22-11-2011

Messages : 1 903

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonjour,

Je vous répondais pour la question 1/. Vous ne pouvez pas montrez que c'est une famille libre à partir juste de son cardinal.
(Sauf si vous avez montré avant que c'est une famille génératrice).

A.

Pharès

Membre

Inscription : 07-12-2021

Messages : 54

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Bonsoir..

Je profite de ceci pour...
Moi, c'est que j'ai tjr du mal à déterminer la base dual (ou le dual) d'une base (ou un vecteur) de façon pratique. Enfaite, je crois que j'ai jamais compris la définition. Et chaque fois qu'on me le demande, je suis obligé de tricher les méthodes utilisé dans d'autre exo pour le faire bêtement..  Je veux mieux comprendre comment vous avez procédé pour déterminer la base dual L en fait.  Jvp

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 349

Re : Polynôme d'interpolation de Lagrange

Salut,

  Dans le cas qui nous intéresse, c'est assez facile de déterminer la base duale : en effet, on a $L_i(a_j)=1$ si $i=j$, et $L_i(a_j)=0$ si $i\neq j$ : on a donc déjà presque directement la définition de la base duale!
Ceci nous incite donc à poser $\phi_i(P)=P(a_i)$, de sorte que $\phi_i(L_j)=L_j(a_i)=\delta_{i,j}$. C'est bien que $(\phi_0,\dots,\phi_n)$ est la base duale de $(L_0,\dots,L_n)$.

F.