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Thgues

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Cas particulier de l'équation aux classes

Bonjour,

Je m'intéresse à l'équation aux classes, qui dit que pour [tex](G,*)[/tex] un groupe fini opérant sur un ensemble fini [tex]X[/tex], et pour [tex]x_1, ..x_q[/tex] des points de [tex]X[/tex] tels que les orbites [tex]O(x_1), ..., O(x_q)[/tex] réalisent une partition de [tex]X[/tex]. Alors :
[tex]Card(X)=[G:G_{x_1}]+...+[G:G_{x_q}][/tex]

Maintenant, si on fait opérer [tex]G[/tex] sur lui-même par conjugaison, et si on note [tex]x_1, ..x_r[/tex] des éléments de [tex]G[/tex] telles que les orbites [tex]O(x_i)=G.x_i[/tex] soient disjointes deux à deux pour tout [tex]1\le i\le r[/tex], alors on a :

[tex]card(G)=card(Z)+[G:G_{x_1}]+...+[G:G_{x_r}][/tex] avec [tex]Z[/tex] le centre de [tex]G[/tex].

Pour la démonstration de cette proposition, je remarque que si [tex]x\in Z[/tex], alors [tex]O(x)=G.x=\{x\}[/tex].
En appliquant la formule des classes, et en se souvenant que [tex][G:G_{x_i}]=card(O_{x_i})[/tex], on obtient alors que :

[tex]Card(X)=card(O_{x_1})+...+card(O_{x_r})=card(\{x_1\})+...+card(\{x_r\})[/tex]

Je ne pense pas que cela ait du sens.

Pouvez-vous m'aiguiller ?

Merci

Fred

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Bonjour,

  A te lire, je pense qu'il y a un problème dès cette égalité :

Maintenant, si on fait opérer [tex]G[/tex] sur lui-même par conjugaison, et si on note [tex]x_1, ..x_r[/tex] des éléments de [tex]G[/tex] telles que les orbites [tex]O(x_i)=G.x_i[/tex] soient disjointes deux à deux pour tout [tex]1\le i\le r[/tex], alors on a :

[tex]card(G)=card(Z)+[G:G_{x_1}]+...+[G:G_{x_r}][/tex] avec [tex]Z[/tex] le centre de [tex]G[/tex].

A part cela, je n'ai pas compris ce que tu voulais faire...

F.

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Bonjour Fred,

Merci pour ta réponse.
Le but est démontrer que pour [tex]n\in \mathbb{N}^*[/tex], [tex]p[/tex] un nombre premier et [tex]G[/tex] un groupe fini de cardinal [tex]p^n[/tex], le centre de [tex]Z[/tex] de [tex]G[/tex] n'est pas trivial.

Dans la démonstration proposée, on utilise dès le départ l'équation des classes en faisant apparaître [tex]Z[/tex], sous la forme que j'ai proposée. Il y a donc sûrement une erreur.

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

En fait Fred, pour résumer, je cherche à appliquer l'équation des classes pour l'action de G sur lui-même par conjugaison, ce qui assurera, apparement, que le centre de G n'est pas réduit à 0.

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Ah mais oui !

En fait, j'ai démontré que si [tex]x\in Z[/tex], alors [tex]G.x=\{x\}[/tex], donc que le cardinal de l'orbite est [tex]1[/tex].
Dans l'ensemble [tex]G=\cup_{1\le j\le r}O_{x_j}[/tex], il y a donc [tex]card(Z)[/tex] orbites à [tex]1[/tex] élément, et donc, pour tout [tex]1\le j\le r[/tex], [tex]card(G)=card(Z)+\sum_{card(O_{x_j})\ge 2}Card(G,x_j)[/tex].

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Pour en revenir à mon problème, à savoir montrer que le centre de tout p-groupe est non trivial, on considère donc l'action de G sur lui-même par conjugaison, et l'équation des classes s'écrit :

[tex]\forall 1\le j\le r[/tex], [tex]card(G)=card(Z)+\sum_{card(O_{x_j})\ge 2}Card(G,x_j)[/tex]

et donc [tex]\forall 1\le j\le r, p^n=card(Z)+\sum_{card(O_{x_j})\ge 2}Card(G,x_j)[/tex]

Or, d'après Lagrange, [tex]card(Z)[/tex] divise [tex]card(G)=p^n[/tex].

Je ne vois pas comment progresser...

Dernière modification par Thgues (07-01-2022 14:16:00)

Fred

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Peut-être que tu devrais utiliser que le cardinal de chaque orbite est un diviseur du cardinal de $G$, donc une puissance de $p$ (qui n'est pas $p^0$ si l'orbite n'est par réduite à un élément)....

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Effectivement, [tex]Card(G)=p^n=Card(St_x)\times Card(O_{x})[/tex].
Donc chaque [tex]Card(O_{x_j})[/tex] est un diviseur de [tex]Card(G)[/tex].

Je laisse mûrir cela et je continue plus tard.

Merci beaucoup Fred.

Dernière modification par Thgues (07-01-2022 15:09:45)

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Bonjour tout le monde, bonjour Fred.

Effectivement, comme [tex]G[/tex] agit sur lui-même et que, dans ce cas, les orbites forment une partition de [tex]G[/tex], alors le cardinal de chaque orbite divise le cardinal de [tex]G[/tex].
Ainsi, comme [tex]card(G)=p^n[/tex], alors pour tout [tex]1\le j\le r[/tex] tel que [tex]Card(O_{x_j})\ge 2[/tex], on peut écrire que [tex]Card(O_{x_j})=p^s[/tex] avec [tex]s[/tex] strictement plus grand que [tex]0[/tex].

Or, [tex]p^n=Card(Z)+\sum_{Card(O_{x_j})\ge 2,1\le j\le r} Card(O_{x_j})[/tex] donc [tex]p^n=Card(Z)+(p^{s_1}+p^{s_2}+...+p^{s_r})[/tex] avec [tex]p^{s_1}=Card(O_{x_1})[/tex], etc

Le but est donc de montrer que [tex]Card(Z)>1[/tex]. Et je n'ai pas encore utilisé le fait que [tex]p[/tex] était premier.

Fred

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Un indice supplémentaire : démontrer que $p$ divise le cardinal de $Z$.

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

D'accord.
Alors, comme Z est un sous-groupe de G, alors card(Z) divise [tex]card(G)=p^n[/tex] d'après le théorème de Lagrange.
En termes de congruences, on a donc que [tex]card(Z)=card(G)=0 (mod p)[/tex]. Autrement dit, p divise card(Z).

Or, [tex]Z[/tex] est un sous-groupe de [tex]G[/tex], donc [tex]e_G\in Z[/tex] et donc [tex]card(Z)\ge 1[/tex].
Si card(Z)=1, alors p divise 1 et donc p=1, impossible car p est premier.
Donc card(Z) est strictement plus grand que 1, et Z n'est donc jamais trivial.

Fred

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

D'accord.
Alors, comme Z est un sous-groupe de G, alors card(Z) divise [tex]card(G)=p^n[/tex] d'après le théorème de Lagrange.
En termes de congruences, on a donc que [tex]card(Z)=card(G)=0 (mod p)[/tex].

Pas forcément le cardinal pourrait être égal à 1. Repars de l'équation des classes pour démontrer que p divise le cardinal de G.

F.

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

En effet, je comprends le problème.

Pour l'indication que tu me proposes, [tex]Card(G)=p^n[/tex], donc [tex]p[/tex] divise [tex]Card(G)[/tex], non ?

Sinon, d'après l'équation des classes, il y a [tex]Card(Z)[/tex] orbites ne contenant qu'un seul élément, et le cardinal des autres orbites est supérieur ou égal à [tex]2[/tex], et est un diviseur de [tex]Card(G)[/tex].
Comme [tex]p[/tex] est premier, on en déduit que le cardinal de chacune des orbites non réduites à un élément est divisible par [tex]p[/tex].
Ainsi, [tex]Card(G)=p^n[/tex] est la somme de [tex]Card(Z)[/tex] et d'un multiple de [tex]p[/tex], et donc p divise [tex]Card(Z)[/tex].

Si c'est correct, voilà où j'en suis.

Merci encore !

Dernière modification par Thgues (08-01-2022 19:36:47)

Fred

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Oui c'est ça

Thgues

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Re : Cas particulier de l'équation aux classes

Merci Fred !