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#1 06-01-2022 14:43:46
- Thgues
- Membre
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- Messages : 127
Isomorphisme et ordre d'un élément
Bonjour, et bonne année !
Je souhaite déterminer s'il existe un isomorphisme entre [tex]\frac{Z}{3Z}\times \frac{Z}{9Z}[/tex] et [tex]\frac{Z}{27Z}[/tex].
J'essaye pour cela d'utiliser l'ordre d'un des éléments du groupe, car j'ai l'intuition que ce n'est pas le cas...
En effet, si les groupes sont isomorphes, alors il y aurait un élément d'ordre 27 dans [tex]\frac{Z}{3Z}\times \frac{Z}{9Z}[/tex], comme dans [tex]\frac{Z}{27Z}[/tex].
Si mon raisonnement est correct, je ne vois alors pas comment déterminer l'ordre d'un élément quelconque de [tex]\frac{Z}{3Z}\times \frac{Z}{9Z}[/tex].
Du coup je bloque :)
Pouvez-vous me donner quelques indications ?
Merci
Hors ligne
#2 06-01-2022 15:12:34
- Paco del Rey
- Invité
Re : Isomorphisme et ordre d'un élément
Bonjour.
Ton idée est bonne.
Tout élément de $\mathbb Z/3 \mathbb Z \times \mathbb Z/ 9\mathbb Z$ est d'ordre au plus 9.
Tout générateur de $\mathbb Z/27\mathbb Z$ est d'ordre 27.
Paco.