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Thgues

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Montrer que c'est une tribu

Bonjour,

Montrons que [tex]T=\{B\subset\Omega_2 ∶f^{-1}(B)∈\sigma(f^{-1} (C))\}[/tex] est une tribu sur [tex]\Omega_2[/tex].

Montrons que [tex]\Omega_2\in T[/tex].
Choisissons [tex]C=P(\Omega_2)\subset P(\Omega_2)[/tex].
Alors [tex]C=\Omega_2\in C=P(\Omega_2)[/tex] donne [tex]f^{-1} (\Omega_2)\in f^{-1} (C)[/tex], avec [tex]f^{-1} (\Omega_2 )\subset\Omega_1\in F_1[/tex].
Or, [tex]f^{-1} (C)\subset\sigma(f^{-1} (C))[/tex] donc [tex]f^{-1}(\Omega_2)∈σ(f^{-1}(C))[/tex].
En conclusion, [tex]\Omega_2\in T[/tex].

Est-ce que c'est correct ?

Fred

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Re : Montrer que c'est une tribu

Bonjour,

  Ce que tu écris n'est pas clair du tout. Qui est $f$? $\Omega_2$? $C$?? 
Une ligne tu écris $C=P(\Omega_2)$ et la suivante $C=\Omega_2$....

F.

Thgues

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Re : Montrer que c'est une tribu

Bonjour Fred.
Effectivement, j'ai oublié de différencier les deux C.

Je recommence.
Bonjour,

Je souhaite montrer que [tex]T=\{B\subset\Omega_2 ∶f^{-1}(B)∈\sigma(f^{-1} (C))\}[/tex] est une tribu sur [tex]\Omega_2[/tex], avec les hypothèses suivantes : [tex]f[/tex] est une application de [tex](\Omega_1,\mathcal{F_1})[/tex] dans [tex](\Omega_2,\mathcal{F_2})[/tex], [tex]\mathcal{F_2}=\sigma(\mathcal{C})[/tex] pour une certaine famille [tex]\mathcal{C}\subset P(\Omega_2)[/tex] et pour tout [tex]C\in \mathcal{C}[/tex], on a [tex]f^{-1}(C)\in \mathcal{F_1}[/tex].

Montrons que [tex]\Omega_2\in T[/tex]. Pour cela, je cherche à trouver [tex]\mathcal{C}[/tex] et [tex]C[/tex] qui vérifient les hypothèses.
Choisissons [tex]\mathcal{C}=P(\Omega_2)\subset P(\Omega_2)[/tex].

Alors pour [tex]C=\Omega_2\in \mathcal{C}=P(\Omega_2)[/tex] donne [tex]f^{-1} (\Omega_2)\in f^{-1} (\mathcal{C})[/tex], avec [tex]f^{-1} (\Omega_2 )\subset\Omega_1\in F_1[/tex].

Or, [tex]f^{-1} (\mathcal{C})\subset\sigma(f^{-1} (\mathcal{C}))[/tex] donc [tex]f^{-1}(\Omega_2)∈σ(f^{-1}(\mathcal{C}))[/tex].
En conclusion, [tex]\Omega_2\in T[/tex].

Dernière modification par Thgues (29-12-2021 09:38:14)

Thgues

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Re : Montrer que c'est une tribu

En fait, je ne comprends pas bien l'hypothèse "pour une certaine famille [tex]\mathcal{C}[/tex]; on a...".
Est-ce que cela veut dire que c'est vrai pour n'importe quelle famille [tex]\mathcal{C}\subset P(\Omega_2)[/tex] ?

Fred

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Re : Montrer que c'est une tribu

Re-

  Non, a priori tu ne peux pas choisir $\mathcal C$. On te fixe une famille $\mathcal C\subset\Omega_2$ et on te demande de démontrer que $T$ est une tribu, ce $\mathcal C$ étant fixé.

Pour prouver que $\Omega_2$ est dans $\mathcal C$, c'est facile : $f^{-1}(\Omega_2)=\Omega_1$, et $\Omega_1$ est bien dans $\sigma(f^{-1}(\mathcal C))$ puisque ceci est une tribu de $\Omega_1$.

F.

Thgues

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Re : Montrer que c'est une tribu

Merci Fred pour tes deux réponses.

J'ai toujours des automatismes qui m'échappent ^^