Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 26-12-2021 10:39:39
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Continuité
Bonjour,
Je considère E un espace vectoriel normé sur [tex]K=R[/tex] ou [tex]C[/tex], [tex]a\in E[/tex] et [tex]\lambda \in K[/tex].
On affirme que l'application [tex]f : (\lambda,x)\to \lambda x[/tex] est continue, sans démonstration.
Je souhaite démontrer ce résultat en revenant à la définition de la continuité.
Il s'agit donc de montrer que :
[tex]\forall \epsilon >0, \exists \nu_{\epsilon}>0, \exists \alpha_{\epsilon}>0, \forall a\in E, \forall \gamma \in K, |\lambda-\gamma| <\alpha_{\epsilon}, ||x-a||_E<\nu_{\epsilon}[/tex] implique que [tex]||f(\lambda,x)-f(\gamma,a)||_E=||\lambda x-\gamma a||<\epsilon[/tex].
En regardant un peu ce que l'on veut, on peut déjà obtenir que :
[tex]||f(\lambda,x)-f(\gamma,a)||_E=||\lambda x-\gamma a||_E\le|\lambda| ||x||_E+|\gamma|||a||_E[/tex]
Est-ce que mon raisonnement est pour l'instant correct ?
Je ne vois pas comment conclure si c'est bien le cas.
Merci pour vos indications.
Hors ligne
#3 26-12-2021 12:44:49
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Re : Continuité
Bonjour Fred,
D'accord, je vais essayer.
Entre temps, j'ai remarqué que [tex]||f(\lambda,x)||_E=||\lambda x||_E= |\lambda| ||x||_E[/tex]. L'application [tex]f[/tex] étant de plus bilinéaire, elle est continue.
Dernière modification par Thgues (26-12-2021 12:45:23)
Hors ligne
#4 26-12-2021 13:57:41
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
Re : Continuité
Et voilà Fred, en suivant tes conseils, j'obtiens ceci :
[tex]||f(\lambda,x)-f(\gamma,b)||=||\lambda x-\gamma b||=||\lambda (x-b)+(\lambda-\gamma)b||\le |\lambda|||x-b||+|\lambda-\gamma|||b||[/tex]
ce qui permet de conclure avec [tex]x[/tex] et [tex]b[/tex] proches et [tex]\lambda[/tex] et [tex]\gamma[/tex] proches.
Dernière modification par Thgues (26-12-2021 13:58:06)
Hors ligne
Pages : 1