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Thgues

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Classes d'équivalence

Bonjour,

Soit (G,*) un groupe agissant sur un ensemble X non vide.
J'ai vérifié que la relation sur x définie par : xRy ssi il existe [tex]g\in G[/tex] tel que y=g.x (le point . désignant l'action de G sur X) est une relation d'équivalence sur X.

Je m'intéresse maintenant à la description des classes d'équivalence.
On a donc : Cl(x)={[tex]y\in G[/tex] tel que xRy}={[tex]y\in G[/tex] tel qu'il existe [tex]g\in G[/tex] tel que y=g.x}=[tex]O_y[/tex] où [tex]O_y[/tex] est l'orbite de y.

Est-ce que je me trompe ?

Merci pour vos indications.

Dernière modification par Thgues (24-12-2021 10:27:04)

Fred

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Re : Classes d'équivalence

Tu veux plutôt parler de l'orbite de x non?

Thgues

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Re : Classes d'équivalence

Oui, effectivement, merci !
Je pense qu'on peut ajouter que, puisque les éléments de la classe d'équivalence peuvent être définis par une action transitive (je ne sais pas si c'est bien formulé), alors le nombre d'orbites de X est égal à 1.

Dernière modification par Thgues (24-12-2021 10:26:23)

bridgslam

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Re : Classes d'équivalence

Bonjour,

L'action est toujours transitive au sein d'une classe (ou orbite) , par définition.
Sur l'ensemble X global c'est faux la plupart du temps, ça dépend de l'action, on peut avoir plusieurs orbites.
C'est comme si tu disais: soit R une relation d'équivalence,  comme entre deux éléments d'une classe,on a xRy, on n'a donc qu'une classe.

A.