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Thgues

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Classe à gauche et action de groupe

Bonjour,

Soit H un sous-groupe de (G,*) et [tex](\frac{G}{H})={ah,a\in G}[/tex] l'ensemble des classes à gauche.
On considère l'opération [tex]f:G\to S(\frac{G}{H})[/tex] telle que [tex]f(g)(a)=g.(a.H)=(g*a).H[/tex].

Pourquoi a-t-on que [tex]ker(f)=\cap_{a\in G} aHa^{-1}[/tex] ?

Quand je regarde ce qu'il se passe, on a [tex]b\in ker(f)[/tex] équivaut à [tex]f(b)\in e_G.H=H[/tex] équivaut à [tex](g*b).H=H[/tex]

Et je ne vois pas comment poursuivre...

Dernière modification par Thgues (19-12-2021 07:31:24)

bridgslam

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Re : Classe à gauche et action de groupe

Bonjour,

g est dans le noyau de f SSI  f(g) est l'identité sur G/H.
Si tu écris [tex]\forall a \in G, gaH = aH[/tex] cela revient exactement à dire que[tex] \forall a  \in G, a^{-1}ga H = H[/tex] , soit[tex] g \in aHa^{-1}  \; \forall a  \in G[/tex].

Dans ces affaires les quantificateurs sont importants.
par ailleurs dans ton écriture f(g)(a)  est à remplacer par f(g)(aH),  ce n'est pas du tout pareil...

A.

Thgues

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Re : Classe à gauche et action de groupe

Bonjour bridgslam, et désolé pour ma réponse tardive.

C'est très clair, merci beaucoup pour tes explications.