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#1 11-12-2021 08:19:12
- Thgues
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Tribu engendrée (dans tous les sens !)
Bonjour,
Soit [tex]f : \Omega_1 \to \Omega_2[/tex], et soit [tex]F_2[/tex] une tribu sur [tex]\Omega_2[/tex].
On définit [tex]\sigma(f)=\{f^{-1}(B), B\in F_2\}[/tex].
On suppose que [tex]F_2=\sigma(\mathfrak{C})[/tex] avec [tex]\mathfrak{C}[/tex] une famille de parties de [tex]\Omega_2[/tex].
Alors la tribu [tex]\sigma(f)[/tex] est engendrée par [tex]f^{-1}(\mathfrak{C})=\{f^{-1}(C), C\in \mathfrak{C}\}[/tex].
Dans la démonstration, on pose [tex]T=\{B\in \Omega_2, f^{-1}(B)\in \sigma(f^{-1}(\mathfrak{C}))\}[/tex].
Puis, on dit que comme [tex]\mathfrak{C}\subset T[/tex], alors [tex]F_2=\sigma(\mathfrak{C})\subset T[/tex].
Mais pourquoi [tex]\mathfrak{C}\subset T[/tex] ? Qu'est-ce qui fait que pour tout [tex]C\in \mathfrak{C}\in P(\Omega_2)[/tex], on a bien [tex]f^{-1}(\mathfrak{C})\in \sigma(f^{-1}(\mathfrak{C}))
[/tex]
Ce n'est pas que je ne comprends absolument pas d'où cela vient, mais c'est surtout que je n'arrive pas à m'en convaincre rigoureusement.
J'imagine cependant que la raison en est évidente.
Par ailleurs, en admettant cela, je comprends les rouages de la preuve.
Merci d'avance pour vos indications.
Dernière modification par Thgues (11-12-2021 08:19:31)
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#2 11-12-2021 08:58:49
- Fred
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Re : Tribu engendrée (dans tous les sens !)
Bonjour,
Si tu prends $C\in\mathcal C$, alors $f^{-1}(C)\in f^{-1}(\mathcal C)$, donc a fortiori $f^{-1}(C)$ est dans la tribu engendrée $\sigma(f^{-1}(\mathcal C))$. Donc $C\in T$.
F.
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