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Thgues

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Le cercle privé d'un point

Bonjour,

Je cherche à démontrer que le cercle unité privé d'un point n'est pas ouvert dans [tex]R^2[/tex].

Pour cela, j'ai commencé par regarder ce qu'il se passait avec le cercle unité.
Pour [tex]a\in R[/tex], en considérant [tex](u_n)\ge 0[/tex] définie par [tex]u_n=\frac{ne^{ia}}{n+1}[/tex] (indication de l'énoncé) pour tout [tex]n\ge 0[/tex], on remarque que [tex]u_n\notin S^1[/tex], et que [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=e^{ia}\in S^1[/tex].
Ainsi, [tex]R^2-S^1[/tex] n'est pas fermé, et donc son complémentaire [tex]S^1[/tex] n'est pas ouvert.

Maintenant, en notant [tex]A[/tex] le cercle unité privé d'un point, je dois montrer que [tex]A[/tex] n'est pas ouvert.
Pour cela, je montre que son complémentaire n'est pas fermé, autrement dit que [tex]R^2-A[/tex] n'est pas fermé.
Je note [tex]e^{ia}[/tex] le point dont le cercle [tex]S^1[/tex] est privé, donc [tex]A=S^1-\{e^{ia}\}[/tex].

On a [tex]u_n=\frac{ne^{ia}}{n+1}\in R^2-A[/tex] et [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=e^{ia}\notin R^2-A[/tex] et donc [tex]R^2-A[/tex] n'est pas fermé, donc [tex]A[/tex] n'est pas ouvert.

Qu'en pensez-vous ?

Merci pour vos indications.

Fred

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Re : Le cercle privé d'un point

Bonjour,

  Ce que tu as écrit est faux : $e^{ia}$ est dans $\mathbb R^2\backslash A$, puisqu'il n'est pas dans $A$....

Mais tu peux reprendre le même raisonnement en choisissant n'importe quel autre point du cercle que $e^{ia}$....

F.

Thgues

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Re : Le cercle privé d'un point

Bonjour Fred,

Effectivement, merci !

Si je prends [tex]u_n=e^{ib}\frac{n}{n+1}[/tex] avec [tex]a\neq b[/tex], alors [tex]u_n\in R^2\backslash A[/tex] et [tex]\lim_{n\to +\infty}[/tex] [tex]u_n=e^{ib}\notin R^2\backslash A[/tex] car [tex]\lim_{n\to +\infty} u_n=e^{ib}\in A[/tex].