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#1 10-12-2021 10:32:32
- Thgues
- Membre
- Inscription : 02-07-2021
- Messages : 127
D'un segment vers le cercle...
Bonjour,
Je cherche à savoir s'il existe un [tex]C^k[/tex]-difféomorphisme de [tex][0,2\pi][/tex] dans [tex]S^1[/tex], le cercle unité de centre [tex](0;0)[/tex].
J'ai pensé assez naturellement à l'application [tex]f[/tex] de [tex][0;2\pi[[/tex] dans [tex]S^1[/tex], qui à [tex]t[/tex] associe [tex](cos(t),sin(t))[/tex].
Cependant, pour assurer l'injectivité, je dois me débarasser du point [tex]t=2\pi[/tex], et j'obtiens un segment semi-ouvert.
Comment s'en sortir pour "absorber" le [tex]2\pi[/tex] ?
Merci pour vos indications.
Dernière modification par Thgues (10-12-2021 10:32:57)
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#3 10-12-2021 11:51:26
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : D'un segment vers le cercle...
Bonjour,
En fait, ce n'est pas possible pour des raisons de connexité (ou de connexité par arcs) : si tu retires un point au cercle, il est encore en un seul morceau, ce qui n'est pas le cas du segment.
Plus formellement, si $f:S^1\to [0,2\pi]$ était une bijection bi-continue, et si $M=f^{-1}(\pi)$, alors $f$ induirait une fonction continue et bijective de $S^1\backslash\{M\}$ sur $[0,2\pi]\backslash\{\pi\}$, ce qui est impossible.
F.
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#4 10-12-2021 12:05:32
- bridgslam
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Re : D'un segment vers le cercle...
Bonjour,
si on ne veut pas tourner en rond (sans jeu de mot) , avec l'angle moitié on doit avoir un difféomorphisme de S entier sur le demi- cercle dans le demi-plan supérieur ( ce qui permet de scinder géométriquement les deux points ).
Ensuite on doit pouvoir envoyer ce demi-cercle sur $[0, 2\pi]$ par une multiplication de l'angle par 2.
On compose les deux applications...
Il reste à formaliser évidemment, ce qui ne doit pas être faisable d'après le précédent post de nôtre ami Fred.
Néanmoins en suivant son raisonnement , si on retire d'un segment pile une extrémité, le segment reste connexe par arcs.
Quelque chose doit m'échapper... cela doit rester faisable avec une autre fonction que f à mon avis.
Alain
Dernière modification par bridgslam (10-12-2021 12:23:36)
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#5 10-12-2021 13:17:46
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 352
Re : D'un segment vers le cercle...
Il reste à formaliser évidemment, ce qui ne doit pas être faisable d'après le précédent post de nôtre ami Fred.
Néanmoins en suivant son raisonnement , si on retire d'un segment pile une extrémité, le segment reste connexe par arcs.
Ce n'est pas pour rien que j'ai retiré $\pi$ et pas $0$ ou $2\pi$.....
F.
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#6 10-12-2021 14:10:53
- bridgslam
- Membre Expert
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- Messages : 1 910
Re : D'un segment vers le cercle...
Bjr,
Oui en se basant strictement sur sa fonction f c'est vrai: tu as raison.
A mon sens, la continuité ( nécessaire ) dans mon précédent post suffisait aussi à contre-carrer son exemple sans invoquer des notions topologiques plus élaborées (connexité, connexité par arc...)
La mienne fonctionne sauf erreur (sans être un spécialiste de l'holomorphie, le seul souvenir que j'ai est que si une fonction de la variable complexe est dérivable, elle est indéfiniment dérivable) ou y vois-tu de ton côté un schmilblick?
En fait non, (rature) il n'y a pas d'holomorphie sur le cercle, cela ne peut donc convenir.
Alain
Dernière modification par bridgslam (10-12-2021 18:04:03)
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#7 10-12-2021 17:02:26
- Fred
- Administrateur
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Re : D'un segment vers le cercle...
Re-
En fait, mon raisonnement dit qu'aucune fonction ne convient! Celle que tu proposes pas plus qu'une autre....
(en particulier, c'est lié au fait que la racine carrée ne peut pas être défini holomorphiquement sur $\mathbb C^*$).
F.
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#8 10-12-2021 17:39:09
- bridgslam
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Re : D'un segment vers le cercle...
Bonsoir,
J'utilise sa restriction à S, pas au champ complexe entier, ce qui n'exige pas qu'elle soit holomorphe sur [tex]C^*[/tex].
Il suffit qu'elle soit holomorphe sur S.
Hélas ton raisonnement supprime un point particulier ( à l'intérieur du segment ) dont le choix est imposé par sa fonction f, qui effectivement ne fonctionne pas (continuité, connexité...) .
Qu'est-ce-qui nous dit ( toujours en rapport avec la connexité ) qu'avec d'autres fonctions ad hoc tu n'enlèverais pas un point extrémité, auquel cas on reste bien sur un connexe ?
Mais encore une fois l'holomorphie est assez loin dans mes souvenirs...
Peux-tu confirmer que la première "flèche" n'est pas holomorphe sur S ?
Alain
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#9 10-12-2021 17:46:52
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : D'un segment vers le cercle...
Bonsoir,
Apparemment sur la toile on ne considère l'holomorphie que sur des ouverts de [tex]\mathbb{C}[/tex] ,
il faut donc chercher ailleurs vu que S n'est pas franchement un ouvert.
Alain
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#10 10-12-2021 18:00:18
- bridgslam
- Membre Expert
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Re : D'un segment vers le cercle...
Apparemment sur la toile la raison (si je comprends bien ) est que sur un cercle tous les points sont équivalents pour la tentative de déconnexion (qui échoue),
tandis que pour un segment, seuls les deux extrémités conviennent.
Ils ne sont donc pas difféomorphes.
Alain
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