Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bridgslam

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histoire de tangences

Bonjour,

Suite à une fil ouvert sur l'entraide collège-lycée:

https://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=14523

Je me suis demandé si l'idée de tangence d'une figure géométrique avec une courbe "iso-valeurs" (pour le fil en lien , une simple ellipse en fait) était automatiquement ... vraie (c'est le minimum), ... puis justifiable ( c'est mieux...), voire même généralisable (le Pérou!).

Je m'explique:

Soit C une courbe "régulière" du plan euclidien, et f une fonction C -> [tex]\mathbb{R}[/tex] ( avec suffisamment de propriétés de régularités, à voir).
Si E est  (dans le même plan)  l'ensemble des courbes iso-f  (d' équations f(M) = constes ) , peut -on dire qu'en un point U ( s'il existe) de C où f est extrémum ou stationnaire, une courbe (au moins ) de E et C sont possèdent la même tangente en  U ?

C'est en fait l'idée que j'ai évoquée dans le post du plus court chemin, qui colle en l'occurence dans ce cas particulier (on retrouve automatiquement la "réflexion" pour le plus court chemin avec la propriété principale des tangentes à une ellipse à savoir la bissectricité
de l'angle extérieur entre les droites aux foyers, C est une droite euclidienne, f est la somme des distances à deux points etc).

En fait je me demande si la question dans toute sa généralité ne touche pas au calcul des variations, auquel  je ne connais strictement rien.

Toutes infos bienvenues.  (confirmations ou infirmations, exemples, précisions éventuelles sur les "régularités" à exiger etc)

Merci

Alain