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#1 05-12-2021 15:24:45
- Thgues
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Groupes normaux et homéomorphismes
Bonjour,
Je cherche à démontrer la proposition suivante :
Soient [tex]G[/tex] et [tex]H[/tex] des groupes, [tex]K[/tex] un sous-groupe de [tex]G[/tex], [tex]L[/tex] un sous-groupe de [tex]H[/tex] et [tex]f\in Hom(G,H)[/tex].
1) Si [tex]K[/tex] est un groupe normal dans [tex]G[/tex], alors [tex]f(K)[/tex] est normal dans [tex]f(G)[/tex].
2) Si [tex]L[/tex] est est un groupe normal dans [tex]H[/tex], alors [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex]. En particulier, [tex]Ker f[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].
3) Le centre [tex]Z(G)[/tex] de [tex]G[/tex] est un sous-groupe normal de [tex]G[/tex].
Pour 1).
Soit K un groupe normal dans [tex]G[/tex].
Alors, pour tout [tex]g\in G[/tex] et tout [tex]k\in K, g.k.g^{-1}\in K[/tex].
Or, [tex]f\in Hom(G,H)[/tex], donc [tex]f(g).f(k).f(g)^{-1}=f(g.k.g^{-1})\in f(K)[/tex] et donc [tex]f(K)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].
(J'utilise ici le fait que la restriction de [tex]f[/tex] à [tex]K[/tex] est aussi un homéomorphisme de [tex]K[/tex] dans [tex]H[/tex])
Pour 2).
Soit L un groupe normal dans [tex]H[/tex].
Alors pour tout [tex]h\in H[/tex] et pour tout [tex]l\in L, h.l.h^{-1}\in L[/tex].
Montrons que [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans G, c'est-à-dire que pour tout [tex]g\in G[/tex] et tout [tex]\alpha \in f^{-1}(L)[/tex], [tex]g.\alpha.g^{-1}\in f^{-1}(L)[/tex].
Comme [tex]f\in Hom(G,H)[/tex], alors [tex]f(g.\alpha.g^{-1})=f(g).f(\alpha).f(g)^{-1}[/tex].
Or, [tex]f(G)\in H[/tex] et [tex]f(\alpha)\in L[/tex] et donc [tex]f(g.\alpha.g^{-1})\in L[/tex], car [tex]L[/tex] est normal dans [tex]H[/tex].
Ainsi, [tex]g.\alpha.g^{-1}\in f^{-1}(L)[/tex]. et donc [tex]f^{-1}(L)[/tex] est normal dans [tex]G[/tex].
En particulier, pour [tex]L=\{0_L\}[/tex], on a [tex]f^{-1}(\{0_L\})=ker f[/tex]
De plus, pour tout [tex]h\in H[/tex] et pour tout [tex]l\in L=\{0_L\}[/tex], on a : [tex]h.l.h^{-1}=h.0_L.h^{-1}=0_L\in L=\{0_L\}[/tex] donc [tex]L[/tex] est normal dans [tex]H[/tex].
Pour 3).
Soit i l'application de [tex]G[/tex] dans [tex]Aut(G)[/tex], qui à tout [tex]a\in G[/tex] associe [tex]i_a[/tex] l'application de [tex]G[/tex] dans [tex]G[/tex] qui à a associe [tex]i_a(x)=axa^{-1}[/tex].
Or, par définition, [tex]Z(G)=ker i[/tex]. J'aimerais pouvoir dire que [tex]i\in Hom(G,H)[/tex] pour pouvoir conclure grâce à 2).
Je sais que [tex]i\in Aut(G)[/tex], mais est-ce que cela implique que [tex]i(G)\subset H[/tex] avec [tex]H\subset G[/tex] ?
Merci pour vos indications.
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#2 05-12-2021 16:21:57
- bridgslam
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Re : Groupes normaux et homéomorphismes
Bonsoir,
i est un morphisme de groupes de G dans Aut( G), donc un élément de Hom( G, Aut(G) ), pas de Aut(G).
En posant L = Aut(G) qui est un sous-groupe normal de H=L ( lui-même) tu peux donc appliquer la question 2/ avec H= L =Aut(G) et Z = Ker(i).
Alain
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