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#1 04-12-2021 15:59:31
- Thgues
- Membre
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- Messages : 127
l^p est un complet pour la norme p
Bonjour,
Je cherche à démontrer que l'ensemble [tex]l^p(R)[/tex] muni de la norme [tex]p[/tex] est un espace complet.
Soit donc [tex](u^j)_{j\ge 0}[/tex] une suite de Cauchy dans [tex]l^p[/tex]. On note [tex]u^j=(u_n^j)_{n\ge 0}[/tex].
Par définition d'une suite de Cauchy, pour tout [tex]\epsilon[/tex] strictement positif, il existe J strictement positif tel que, pour tous [tex]j,k\ge J[/tex], on a :
[tex]\|u^j-u^k\|_p \le \epsilon[/tex], et donc [tex](\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n^j-u_n^k|^p)^{\frac{1}{p}}\le \epsilon[/tex].
On en déduit donc que pour tout [tex]n[/tex] fixé, et pour tous [tex]j,k\ge J, |u_n^j-u_n^k|\le \epsilon[/tex], et donc que [tex](u_n^j)_{j\ge 0}[/tex] est une suite de Cauchy dans R, donc converge vers une limite notée [tex]u_n[/tex].
Posons alors [tex]u=(u_n)_{n\ge 0}[/tex]. Montrons que [tex]u\in l^p[/tex].
On a :
[tex]\forall j,k\ge J, \forall N, (\sum_{n=0}^{N}|u_n^j-u_n^k|^p)^{\frac{1}{p}}\le (\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n^j-u_n^k|^p)^{\frac{1}{p}}\le \epsilon[/tex].
En faisant tendre [tex]k[/tex] vers l'infini dans la somme finie allant de [tex]0[/tex] à [tex]N[/tex], on obtient :
[tex]\forall j\ge J, \forall N, (\sum_{n=0}^{N}|u_n^j-u_n|^p)^{\frac{1}{p}}\le \epsilon[/tex] et donc que [tex]\sum_{n=0}^{N}|u_n^j-u_n|^p[/tex] converge.
Voilà, je ne vois pas comment montrer à partir de ce dernier résultat que [tex]u\in l^p[/tex], autrement dit que [tex](\sum_{n\ge 0} |u_n|^p)^{\frac{1}{p}}[/tex] converge.
Faut-il utiliser l'inégalité de Minkowski à partir de : [tex]\sum_{n=0}^{N}|u_n^j-u_n|^p[/tex] ?
Merci d'avance pour vos indications !
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#2 04-12-2021 16:26:23
- Fred
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- Messages : 7 352
Re : l^p est un complet pour la norme p
Bonjour,
[tex]\sum_{n=0}^{N}|u_n^j-u_n|^p[/tex] converge.
Ecris ainsi, cela ne veut rien dire : ce que tu peux écrire, c'est que $\sum_{n=0}^{+\infty}$ converge, mais la somme jusqu'à un rang $N$ est une somme finie....
Pour conclure que $u\in\ell^p$, je dirais que, pour tout $N$, on a
$$\left(\sum_{n=0}^N |u_n|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{n=0}^N |u_n^j|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{n=0}^N |u-u_n^j|^p\right)^{1/p}$$
d'après l'inégalité de Minkowski. Le premier terme, à droite, est majoré par $\left(\sum_{n=0}^N |u_n^j|^p\right)^{1/p}$ et le second
par $\epsilon^{1/p}$. Ainsi, il existe $M>0$ tel que, pour tout $N$, $\sum_{n=0}^N |u_n|^p\leq M$, ce qui prouve que $u\in\ell^p$.
F.
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