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Abdoumahmoudy

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L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Bonjour , s'il vous plaît quelqu'un m'aider à savoir pourquoi l'ensemble vide est un ouvert quelques soit la distance ?

Chlore au quinoa

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Re : L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Salut !

Déjà quelle est la définition d'un ouvert ? Il y en a plusieurs, mais je vais en prendre une qu'on n'a pas l'habitude d'employer : c'est le complémentaire d'un fermé dans ton espace métrique $(E,d)$. Et $E$ est-il fermé ? ;)

Adam

bridgslam

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Re : L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Bonjour,

C'est aussi une notion de cohérence logique. La réunion d'une famille quelconque d'ouverts est un ouvert. Mais une famille indexée par l'ensemble vide a pour réunion  l'ensemble vide... De même l'intersection d'une famille vide de parties d'un ensemble est la partie pleine, on retrouve donc que la partie pleine ( l'ensemble vide étant fini) est fermée comme intersection finie (vide)  de fermés.
On est étroitement lié à la logique dans cette affaire.
Par ailleurs cela évite de distinguer des cas particuliers, par exemple dans [tex]\mathbb{R}[/tex] l'intervalle ]a,a[ est un intervalle ouvert, donc un ouvert...
En général en maths étendre les notions dans leurs derniers retranchements n'apporte que de la simplicité et permet d'éviter d'avoir des sous-cas similaires à retraiter à chaque fois.

Alain

Abdoumahmoudy

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Re : L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Oui merci beaucoup pour vos informations .
Il existe plusieurs façons à définir un ensemble vide comme un ouvert.
Abdou

bridgslam

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Re : L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Bonjour,

En dehors de la topologie, si une proposition commence par [tex]\forall x \in E[/tex] ... , elle est automatiquement vraie si E est vide.
On le voit en écrivant la même chose sous forme d'implication dont la prémisse est fausse (E étant vide) , l'implication est donc vraie.
Ainsi il existe une application (unique, nommée vide) de [tex]\emptyset[/tex] vers [tex]\emptyset[/tex], ce qui peut surprendre de prime abord.
Resituée en topologie munie d'une distance (*), si tu reprends la définition d'un ouvert O avec les boules , le même phénomène se produit :
une partie O est un ouvert si pour tout x dans O etc... Si O est vide, c'est donc vrai aussi, donc [tex]\emptyset[/tex] est un ouvert.
On peut le comprendre comme un passage obligé pour être logiquement cohérent avec le calcul propositionnel en logique classique.
A l'inverse affirmer que le vide n'est pas ouvert aboutirait à des contradictions...

(*) s'il n'y a pas de distance pour la topologie, on le voit aussi en appliquant la même idée avec les voisinages ( qui sont une façon axiomatique équivalente de définir une topologie ): Une partie O est dite ouverte si pour tout x dans O , O est un voisinage de x.
Encore la même chose, si O est vide c'est automatiquement vrai...

Peut-être un conseil si je peux me permettre: ne "tires pas trop dans les coins" si tu commences en études supérieures de maths, tu risques de gaspiller du temps sur des points somme toute mineurs ou te casser les dents sur des questions relativement délicates qui touchent plus à l'axiomatique de base qu' à autre chose. Enfin c'est un avis personnel...

Bon courage
Alain

Dernière modification par bridgslam (18-11-2021 13:20:48)

Abdoumahmoudy

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Re : L'ensemble vide et la notion d'ouvert

Oui oui. L'astuce que tout proposition commençant par le quantificateur pour tout x dans E est géniaale.
Oui , je vous remercie aussi sur votre conseil .
Merci alain.
Abdou