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Abdoumahmoudy

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Les ouverts de la droite réelle achevée

Bonjour,
J'aimerais savoir c'est quoi les ouverts de la droite réelle achevée , et comment en les a demétérminé ?

Paco del Rey

Invité

Re : Les ouverts de la droite réelle achevée

Bonjour Abdou.

Les ouverts de  de la droite réelle achevée sont les complémentaires des fermés de \(\overline{\mathbb R}\).

Fermé signifie qu'on ne peut pas en sortir par passage à la limite.
Il y a donc les fermés de \(\mathbb R\). Par complémentaire les ouverts  de \(\mathbb R\) sont des  ouverts  de \(\overline{\mathbb R}\).
Il y a des parties non majorées (mais pas toutes) de \(\mathbb R\), auxquelles on rajoute \(+\infty\).
par exemple : \(\mathbb N \cup \{+\infty\}\). est un fermé de \(\overline{\mathbb R}\). Son complémentaire est un ouvert de \(\overline{\mathbb R}\) sans être un ouvert de \(\mathbb R\).
\(]1 , +\infty [ \cup \{+\infty\}\). n'est pas un fermé de \(\overline{\mathbb R}\).

Vois-tu mieux comme cela ?

bridgslam

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Re : Les ouverts de la droite réelle achevée

Bonjour,

Ce sont les réunions (quelconques ) d' intervalles ouverts, de cet ensemble, à savoir les intervalles ouverts de R , plus les ouverts du type
[ -inf , a [  et ] b , +inf ] a et b étant finis ou pas.
Par exemple ]0,1[ réunie avec ] 5 , +inf ] est un ouvert de R achevé.
En particulier si une partie X ouverte contient un infini, il contient forcément un intervalle ouvert qui  contient cet infini.

Alain

Dernière modification par bridgslam (07-11-2021 11:56:34)

bridgslam

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Re : Les ouverts de la droite réelle achevée

Bonjour Paco,

par exemple : \(\mathbb N \cup \{+\infty\}\). est un fermé de \(\overline{\mathbb R}\). Son complémentaire est un ouvert de \(\overline{\mathbb R}\) sans être un ouvert de \(\mathbb R\).

Forcément.... ce n'est déjà pas une partie de  \(\mathbb R\)... donc ça ne peut pas a fortiori être un ouvert.

Dernière modification par bridgslam (07-11-2021 11:55:52)